极限1/(n*根号n)*(1+根号2+根号3+......+根号n) n趋于无穷大

在探讨这个数学问题时，我们先给出最终的答案：极限值为2/3。这个问题的核心在于如何处理根号的和除以n倍根号n的形式。如果我们直接将整个和式除以n倍根号n，那么随着n趋于无穷大，结果将接近于0，这显然没有多少意义。

为了更深入地理解这个问题，我们可以采用一种更为严谨的方法进行求解。首先，考虑将根号的和表示为一个连续函数的积分近似。通过这种方法，我们可以将离散的和式转化为连续的积分表达式，进而简化求解过程。

具体来说，设S_n为根号1到根号n的和，即S_n = √1 + √2 + √3 + ... + √n。我们希望求出S_n / (n * √n) 当n趋于无穷大时的极限。

为了将S_n表示为连续函数的积分近似，我们可以考虑将S_n视为从1到n的函数f(x) = √x在区间[1, n]上的黎曼和。利用积分的概念，我们可以将S_n近似表示为定积分∫₁ⁿ √x dx。

接下来，我们需要计算这个定积分。通过换元法，设u = √x，则x = u²，dx = 2u du。将这些代入定积分中，我们得到：

∫₁ⁿ √x dx = ∫₁^√n 2u² du = 2/3 * u³|₁^√n = 2/3 * (√n)³ - 2/3 = 2/3 * n^3/2 - 2/3。

接下来，我们回到原问题，将这个结果除以n倍根号n，即(2/3 * n^3/2 - 2/3) / (n * √n) = (2/3 * n^3/2 - 2/3) / (n^3/2) = 2/3 - 2/(3 * n^1/2)。随着n趋于无穷大，2/(3 * n^1/2) 趋于0，因此最终的极限值为2/3。

这个求解过程不仅展示了数学的美妙，也体现了积分在处理极限问题时的强大工具。通过这种方法，我们不仅得到了答案，也加深了对数学概念的理解。