专题五--二次函数的最值问题

专题五 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc (a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在x2b处取得最2a4acb24acb2b小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值，无最小

4a4a2a值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

(1)若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧； ②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部； ③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。 (2) 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论：

2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5； （2）yx3x4．

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22专题五--二次函数的最值问题

同步练习：已知函数y12x2x1 2（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点；

（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；

（4）观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y<0。

例2 已知函数yx,2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

同步练习：当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

同步练习：已知二次函数y2xx3,（1）x为何值时y0？ （2）x为何值时y0？ （3）x为何值时y0？

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专题五--二次函数的最值问题

例4当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)． 22

同步练习：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量

m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

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