1、二次函数和等腰三角形：
(2008 重庆 )已知：如图，抛物线
y
ax 2
2ax
c( a
0) 与 y 轴交于点 C（ 0，4），与 x 轴
交于点 A 、 B，点 A 的坐标为（ 4， 0）。
（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）点 Q 是线段 AB 上的动点， 过点 Q 作 QE∥ AC ，交 BC 于点 E，连接 CQ。当△ CQE 的面积最大时，求点
Q 的坐标；
l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标
为（ 2， 0）。问：是否存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 P
（ 3）若平行于 x 轴的动直线 的坐标；若不存在，请说明理由。
Y
C
B O Q D A
X
2. 二次函数和矩形、等腰三角形：
如图 19-1， OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，
28 题图
O 为原点，点 A 在 x 轴的正
半轴上，点
C 在 y 轴的正半轴上， OA 5 ， OC
4 ．
（ 1）在
OC 边上取一点 D ，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求
D， E 两点的坐标；
（2）如图 19-2，若 AE 上有一动点 P （不与 A，E 重合）自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动， 运动的速度为每秒 1 个单位长度， 设运动的时间为 t 秒（ 0 t 5 ），过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M ，过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N ．求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式；当 t 取何值时， S 有最大值？最大值是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，当 t 为何值时，以 A，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点 M 的坐标．
y C
y
E
B
C
N D
x
A
E
B
D O
P
M
A
图 5- 2
O
x
图 5- 1
3、二次函数和梯形：
（ 2009 临沂） 如图，已知抛物线与 x 轴交于 A （－ 1， 0）、 B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点C（ 0， 3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为 D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 腰三角形？若存在，求出符合条件的点
⑶若点 M 是抛物线上一点，以 的坐标。
P，使得△ PDC 是等
P 的坐标 ; 若不存在，请说明理由 ;
B、 C、 D、 M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点
M
y
D
C
M P
A O
Bx
第 26 题图
4、动态、二次函数、相似
（
2009 年
济
南
） 如
图 ， 在
梯
形
ABCD
中
，
AD ∥ BC， AD
3， DC 5， AB
4 2，∠ B
45 ．动点 M 从 B 点出发沿线段
BC 以
每秒 2 个单位长度的速度向终点
C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单
t 秒．
位长度的速度向终点
D 运动．设运动的时间为
（ 1）求 BC 的长．
（ 2）当 MN ∥ AB 时，求 t 的值．
（ 3）试探究： t 为何值时， △ MNC 为等腰三角形．
D
N
M
B
C
5、二次函数和平行四边形： 如图，在平面直角坐标系
xOy 中， O 为原点，点 A、 C 的坐标分别为（
2， 0）、（ 1， 3 3 ）.
将△ AOC 绕 AC 的中点旋转 180°，点 O 落到点 B 的位置，抛物线
y ax 2
2 3x 经
过点 A，点 D 是该抛物线的顶点 .
（ 1）求证：四边形 ABCO 是平行四边形； （ 2）求 a 的值并说明点 B 在抛物线上；
（ 3）若点 P 是线段 OA 上一点，且∠ APD= ∠OAB，
求点 P 的坐标；
(4) 若点 P 是 x 轴上一点，以 P、A、 D 为顶点作
平行四边形，该平行四边形的另一顶点在 上，写出点 P 的坐标 .
y 轴
B
6、二次函数中的线段长最短问题：
如图，抛物线
y
x2
2x 3 与 x 轴相交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴
相交于点 C ，顶点为 D .
（ 1）直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （ 2）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点
E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作
PF ∥ DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ；
①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形
PEDF 为平行四
边形？
②设 △BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系
式.
补充：四边形 PEDF 可能是等腰形吗？如果可能求 m
的值；如果不可能，请说明理由？
1. 如图，已知抛物线
y x2 1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点
C．
（ 1）求 A、B、C三点的坐标 ;
（ 2）过点 A 作 AP∥ CB交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积 ;
（ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与
PCA相似．若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由．
2. 如图 , 在平面直角坐标系中，△ ABC是直角三角形 , ∠ ACB=90, AC=BC, OA=1， OC=4，抛物
线 y
x2 bx c 经过 A， B两点，抛物线的顶点为 D．
（ 1）求 b, c 的值；
（ 2）点 E是直角三角形 ABC斜边 AB上一动点 ( 点 A、 B 除外 ) ，过点 E 作 x 轴的垂线
交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E 的坐标；
（ 3）在（ 2）的条件下：①求以点 Ｅ 、Ｂ、 Ｆ、 Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物 线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形 ? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由 .
3. 如图 , 已知二次函数
为 C（ 1，－ 2）.
y x
2
bx c
的图象与
x
轴交于 、 两点， 与
A B
y
轴交于点 ，顶点
P
（ 1）求此函数的关系式；
（ 2）作点 C关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A、 C、B、D.若在抛物线上存在点 E，使直 线
PE
将四边形
ABCD
分成面积相等的两个四边形，求点
E
的坐标；
F，使得△ PEF是以 P 为直角顶点的
（ 3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在一点 直
角三角形？若存在，求出点 的坐标及△ 的面积；若不存在，请说
明理由 .
F PEF
4 如图，已知抛物线
0,3 ，与 轴交于
x C
y ax 2 bx c(a
、 两点（点
A
0) 的顶点坐标为
B
的右侧），点
Q 2, 1 ，且与 y 轴交于点
是该抛物线上一动点，从点
P
沿抛物线向点 A运动（点 P 与 A不重合），过点 P 作 PD∥ y 轴，交 AC于点 D．
(1) 求该抛物线的函数关系式； (2) 当△ ADP是直角三角形时，求点 P 的坐标；
B
A
在点
C
(3) 在问题 (2) 的结论下，若点
E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以
F 的坐标；若不存在，请说明理由．
A、 P、 E、
F 为顶点的平行四边形？若存在，求点
二次函数和圆
【例题 1 】 (芜湖市 ) 已知圆 P 的圆心在反比例函数
交于 A、B 两点．
且始终与 y 轴相切于定点 C(0， 1)．
y
k
(k 1) 图象上，并与 x 轴相
x
(1) 求经过 A、B、C 三点的二次
函数图象的解析式 ; (2) 若二次函数图象的顶点为
D，问当 k 为何值时，四边形 ADBP 为菱形．
【例题 2 】
) 25. 如图 6，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC是矩形， OA=4， (湖南省韶关市
AB=2，直线 y
3 2
x与坐标轴交于 D、 E。设 M是 AB 的中点， P 是线段 DE上的动点 .
（ 1）求 M、 D 两点的坐标；
（ 2）当 P在什么位置时， PA=PB？求出此时 P 点的坐标；
（ 3）过 P 作 PH⊥ BC，垂足为 H，当以 PM为直径的⊙ F 与 BC相切于点 N 时，求梯形 PMBH的面积 .
y
H
C
N
B M
E
F
P
O
D
Ax
图 6
【例题 3 】(甘肃省白银等 7 市新课程 )28. 在直角坐标系中，⊙ A 的半径为 4，圆心
A 的坐标为（ 2，0），⊙ A 与 x 轴交于 E、F 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，过点 C 作⊙ A 的切线 BC，交 x 轴于点 B．
（ 1）求直线 CB 的解析式；
（ 2）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 BC 上，与 x 轴
的交点恰为点 E、 F ，求该抛物线的解析式；
（ 3）试判断点 C 是否在抛物线上？
（ 4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与
△AOC 相似？直接写出两组这样的点．
【例题 4 】（绵阳市） 25. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B
C A B C Mm
两点，与 轴交于 点，经过 、 、 三点的圆的圆心 （1， ）恰好在此抛物 线的对称轴上，⊙ M的半径为 5 ．设⊙ M与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E． （ 1）求 m的值及抛物线的解析式；
y
（ 2）设∠ DBC= ，∠ CBE= ，求 sin （ － ）的值；
P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△ BCE
（3）探究坐标轴上是否存在点 相
似？若存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题 5 】（南充市） 25. 如图，点 M（4，0），以点 M为圆心、 2 为半径的圆
与 x 轴交于点 A、B．已知抛物线 y
1 6
x bx c 过点
2
A
和 ，与
By
轴交于点
C
．
（ ）求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
1
（ ）点 Q（ ，m）在抛物线
y 2 8
1 2
6 x bx c 上，点 P 为此抛物线对称轴上一个动
点，求 PQ＋PB的最小值．
（ 3） CE是过点 C的⊙ M的切线，点 E 是切点，求 OE所在直线的解析式．
y
O
DA
M
x
B
E
【例题 6 】(山西省临汾市
)26. 如图所示， 在平面直角坐标系中， e M 经过原点 O ，
且与 x 轴、 y 轴分别相交于
A( 6，0)， B(0， 8) 两点．
（1）请求出直线 AB 的函数表达式； （ 2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M ，顶点 C 在 e M 上，开口向下，且经 过点 B ，求此抛物线的函数表达式；
（ 3 ） 设 （ 2 ） 中 的 抛 物 线 交 x 轴 于 D， E 两 点 ， 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P ， 使 得 S△ PDE
1
S△ ABC ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
15
y
A D
C
E
x
O
M
B
