2019-2020学年成都市武侯区七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
下列各式的计算结果中，不正确的是( )
A. 𝑥+4𝑥=5𝑥
C. −5𝑥2𝑦+7𝑥𝑦2=2𝑥2𝑦
2.
B. 3𝑎𝑏−2𝑎𝑏=𝑎𝑏
D. 4𝑚+2𝑛−(𝑛−𝑚)=5𝑚+𝑛
如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，若重叠部分为△𝐸𝐵𝐷，那么下列结论：①△𝐸𝐵𝐷是等腰三角形；②△𝐸𝐵𝐴≌△𝐸𝐷𝐶；③∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐷；④折叠后得到的图形是轴对称图形，其中错误的结论的序号是( )
A. ①
3.
B. ② C. ③ D. ④
3.𝑃𝑀2.5是指大气中直径小于或等于2.5𝜇𝑚(1𝜇𝑚= 0.000001𝑚 )的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5𝜇𝑚用科学记数法可表示为
A. C.
4.
B. D.
BD是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐸𝐷//𝐵𝐶，且∠𝐶=76°，∠𝐴=如图，在△𝐴𝐵𝐶中，60°，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为( )
A. 20° B. 22° C. 44° D. 82°
5.
下列运算中，计算结果正确的是( )
A. 3(𝑎−1)=3𝑎−1 C. 𝑎6÷𝑎3=𝑎2
6.
B. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+𝑏2 D. (3𝑎3)2=9𝑎6
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐸=𝐸𝐶，直接使用“SSS”可判定( )
A. △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷 B. △𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝐷𝐶
C. △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸 D. △𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐷
7.
对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是( )
A. 某市明天将有75%的时间下雨 C. 某市明天一定下雨
8.
B. 某市明天将有75%的地区下雨 D. 某市明天下雨的可能性较大
如图，DE是△𝐴𝐵𝐶的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=5，则△𝐵𝐸𝐶的周长是( )
A. 12
9.
B. 13 C. 14 D. 15
一列火车从甲站出发开往乙站，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，临近乙站时开始减速直至停下，下列图象能大致描述这一过程中火车行驶速度与行驶时间之间关系的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上一面的点数为5的概率是( )
A. 1
B. 5
1
C. 6
1
D. 0
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若3𝑚=2，3𝑛=5，则32𝑚−𝑛= ______ ．
𝑂𝐸⊥𝐶𝐷，∠𝐸𝑂𝐹=142°，∠𝐵𝑂𝐷：12. 如图，直线AB和CD相交于O点，
∠𝐵𝑂𝐹=1：3，则∠𝐴𝑂𝐹的度数为______．
13. 掷一枚均匀的骰子，出现正面朝上的数字不小于3的概率是______． 14. 如图所示，BD为∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠𝐶=90°，𝐶𝐷=3，则点D到AB
的距离是______．
15. 如图放置的△𝑂𝐴𝐵1，△𝐵1𝐴1𝐵2，△𝐵2𝐴2𝐵3，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点
O，𝐵1，𝐵2，𝐵3…都在直线l上，则点𝐵2017的坐标是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分） 16. (本题满分6分)
如下图，已知：AB= AD，BC= DE，AC= AE，∠1=42°，求∠3的度
数．
四、解答题（本大题共5小题，共48.0分） 17. 计算：
(1)−12020+(2)−2+(𝜋−3)0； (2)𝑎(−𝑎)3+(2𝑎2)3÷𝑎2； (3)(2𝑥−𝑦)2−(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)．
18. 先化简，再求值：(2𝑥3𝑦−3𝑥2𝑦2−𝑥𝑦3)÷𝑥𝑦−𝑥(𝑥−3𝑦)，其中𝑥=√3+2，𝑦=√3−2．
1
19. 为迎接：“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研
得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
(1)求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中买A型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费𝑤(元)与A型垃圾箱𝑥(个)之间的函数关系式； ②当买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？？
20. 某市正在建造文化广场，其中有一种是长为acm，宽为bcm的长方形板材(如图① )用如图①所
示的四块长方形板材铺成如图②所示的大正方形。
① ②
(1)图中阴影部分的正方形的边长是 . (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S 阴影= ；
【方法2】S 阴影= ；
(3)观察图，写出(a+b)2，(a−b)2，ab这三个代数式 之间的等量关系．
的值。
若(4)根据(3)题中的等量关系，解决问题：，求
21. 已知，如图，矩形ABCD中，𝐴𝐷=6，𝐷𝐶=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形
ABCD的边AB，CD，DA上，𝐴𝐻=2，连接CF．
(1)如图1，若𝐷𝐺=2，求证四边形EFGH为正方形； (2)如图2，若𝐷𝐺=4，求△𝐹𝐶𝐺的面积； (3)当DG为何值时，△𝐹𝐶𝐺的面积最小．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：A、𝑥+4𝑥=5𝑥，所以此结论正确； B、3𝑎𝑏−2𝑎𝑏=𝑎𝑏，所以此结论正确；
C、−5𝑥2𝑦与7𝑥𝑦2不是同类项，不能合并，所以此结论不正确； D、4𝑚+2𝑛−(𝑛−𝑚)=5𝑚+𝑛，所以此结论正确； 本题选择结论不正确的， 故选：C．
根据合并同类项的法则把系数相加即可．
本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
2.答案：C
解析：解：①由题意得：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐵𝐹𝐷， ∴𝐷𝐶=𝐷𝐹，∠𝐶=∠𝐹=90°； ∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐹𝐵𝐷；
又∵四边形ABCD为长方形，
∴∠𝐴=∠𝐹=90°，𝐷𝐸//𝐵𝐹，𝐴𝐵=𝐷𝐹； ∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐹𝐵𝐷，𝐷𝐶=𝐴𝐵； ∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐷，
∴△𝐸𝐵𝐷为等腰三角形； 故此选项正确； ②在△𝐴𝐵𝐸与△𝐶𝐷𝐸中， ∵{
𝐵𝐸=𝐷𝐸
，
𝐴𝐵=𝐶𝐷
∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸(𝐻𝐿)； 故此选项正确；
③折叠后∠𝐴𝐵𝐸+2∠𝐶𝐵𝐷=90°， ∠𝐴𝐵𝐸和∠𝐶𝐵𝐷不一定相等(除非都是30°)，
故此选项错误；
④∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸， 又∵△𝐸𝐵𝐷为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形； 故此选项正确；
综上所述，错误的结论的序号是③， 故选：C．
根据题意结合图形可以证明𝐸𝐵=𝐸𝐷，进而根据HL证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐸；此时可以判断选项①②④正确，③错误，问题即可解决．
本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答．
3.答案：C
解析：
4.答案：B
解析：
本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先根据三角形的内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶的度数，然后根据角平分线的性质求出∠𝐶𝐵𝐷的度数，继而根据平行线的性质求出∠𝐵𝐷𝐸的度数．
解：在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴=60°，∠𝐶=76°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=180°−∠𝐴−∠𝐶=44°， ∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝐷=2∠𝐴𝐵𝐶=22°， ∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐷𝐵𝐶=22°， 故选：B．
1
5.答案：D
解析：解：A、3(𝑎−1)=3𝑎−3，故本选项错误； B、(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2，故本选项错误；
C、𝑎6÷𝑎3=𝑎3，故本选项错误； D、(3𝑎3)2=9𝑎6，故本选项正确． 故选D．
根据去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则作答．
本题综合考查了去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，是基础题型，比较简单．
6.答案：C
解析：解：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸， 理由是：∵在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸中
𝐴𝐵=𝐴𝐶
{𝐴𝐸=𝐴𝐸 𝐵𝐸=𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝑆𝑆)， 故选：C．
根据已知得出𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐸，𝐵𝐸=𝐶𝐸，根据SSS即可推出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸．
本题考查了全等三角形的判定定理，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7.答案：D
解析：解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大， 故选：D．
根据概率的意义进行解答即可．
本题考查的是概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
8.答案：B
解析：解：∵𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边AB的垂直平分线， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=5，
∴△𝐵𝐸𝐶的周长是：𝐵𝐸+𝐸𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐸+𝐸𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐶+𝐵𝐶=13． 故选：B．
直接利用线段垂直平分线的性质得出𝐴𝐸=𝐵𝐸，进而得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
9.答案：A
解析：解：根据题意可得此函数图象应分三段， 故选：A．
速度的变化是从0开始，加速是直线上升，匀速行驶时时间加长，速度不变，呈直线形式，减速时直线下降，至速度为0停下．
此题主要考查了函数图象，应抓住速度的变化趋势：从0开始，变大，不变，回到0．
10.答案：C
解析：解：∵任意抛掷一个均匀的正方体骰子，朝上的点数总共会出现6种情况，且每一种情况出现的可能性相等，而朝上一面的点数为5的只有一种， ∴朝上一面的点数为5的概率是6． 故选：C．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
11.答案：5 解析：解：∵3𝑚=2，3𝑛=5， ∴32𝑚=22=4，3−𝑛=5−1=5， ∴32𝑚−𝑛=4×=．
55故答案为：5．
首先根据幂的乘方的运算法则，求出32𝑚、3−𝑛的值各是多少；然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．
(1)此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)底数必须相同；(2)按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． (2)此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：因为0不能做除数；其指数是1，而不是0；①底数𝑎≠0，②单独的一个字母，③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4
1
4
1
4
(3)此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛(𝑚,n是正整数)；②(𝑎𝑏)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(𝑛是正整数)．
12.答案：102°
解析：解：∵𝑂𝐸⊥𝐶𝐷， ∴∠𝐸𝑂𝐷=90°， ∵∠𝐸𝑂𝐹=142°，
∴∠𝐷𝑂𝐹=142°−90°=52°， ∵∠𝐵𝑂𝐷：∠𝐵𝑂𝐹=1：3， ∴∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐷𝑂𝐹=26°，
21
∴∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐷+∠𝐷𝑂𝐹=78°， ∵∠𝐴𝑂𝐹+∠𝐵𝑂𝐹=180°，
∴∠𝐴𝑂𝐹=180°−∠𝐵𝑂𝐹=180°−78°=102°． 故答案为：102°．
根据垂直的定义，可得∠𝐷𝑂𝐸的度数，根据角的和差，可得∠𝐷𝑂𝐹的度数，根据角的倍分关系，可得∠𝐵𝑂𝐹的度数，根据∠𝐵𝑂𝐹与∠𝐴𝑂𝐹是邻补角，可得答案．
本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出∠𝐷𝑂𝐹，再求出∠𝐵𝑂𝐹，最后得出答案．
13.答案：3
解析：解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种情况都是等可能的， 其中不小于3的情况有3，4，5，6四种， ∴朝上的数字不小于3的概率是6=3， 故答案为：3．
根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查了概率的计算公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2
4
2
2
14.答案：3
解析：解：过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，
∵∠𝐶=90°， ∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐷=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3．
首先过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，由在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，AD是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，根据角平分线的性质，即可得𝐷𝐸=𝐶𝐷．
此题考查了角平分线的性质，此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．
15.答案：(2017√3,2017)
解析：解：过点𝐵1 作𝐵1 𝐶⊥𝑥轴，
∵△𝐵1𝐴1𝐵2，△𝐵2𝐴2𝐵3，…都是边长为2的等边三角形， ∴𝑂𝐵1=2，∠𝐴𝑂𝐵1=60°，∠𝐵1 𝑂𝐶=30°，
∴𝑂𝐶=𝑂𝐵1 𝑐𝑜𝑠30°=2×√=√3，𝐶𝐵1=𝑂𝐵1 𝑠𝑖𝑛30°=
22×2=1，
∴𝐵1的坐标为(√3,1)，
∴𝐵2的坐标为(2√3,2)，𝐵3的坐标为(3√3,3)，𝐵4的坐标为(4√3,4)， …
∴𝐵2017的坐标是(2017√3,2017)． 故答案为(2017√3,2017)．
根据题意得出𝐵1的坐标，进而得出𝐵2，𝐵3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案． 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出坐标变化规律是解题关键．
1
3
16.答案：解：∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，(𝑆𝑆𝑆)
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵，
∵∠1+∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐵=180° ∠3+∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐴𝐷𝐵=180°
∴∠3=∠1=42°．
解析：易证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，可得∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵，可以求得∠3=∠1．
17.答案：解：(1)−12020+(2)−2+(𝜋−3)0；
=−1+4+1
=4；
(2)𝑎(−𝑎)3+(2𝑎2)3÷𝑎2 =𝑎⋅(−𝑎3)+(8𝑎6)÷𝑎2
=−𝑎4+8𝑎4
=7𝑎4；
(3)(2𝑥−𝑦)2−(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦) =4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦2−(𝑥2−4𝑦2) =4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦2−𝑥2+4𝑦2
=3𝑥2−4𝑥𝑦+5𝑦2．
解析：(1)根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题； (2)根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题； (3)根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题．
本题考查整式的混合运算、有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
1
18.答案：解：∵𝑥=√3+2，𝑦=√3−2，
∴𝑥+𝑦=2√3，𝑥−𝑦=4，
(2𝑥3𝑦−3𝑥2𝑦2−𝑥𝑦3)÷𝑥𝑦−𝑥(𝑥−3𝑦)
=2𝑥2−3𝑥𝑦−𝑦2−𝑥2+3𝑥𝑦
=𝑥2−𝑦2 =(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
=2√3×4
=8√3．
解析：求出𝑥+𝑦和𝑥−𝑦的值，先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19.答案：解：(1)设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元，
3𝑚+2𝑛=540
根据题意得：{，
2𝑚+160=3𝑛𝑚=100
解得：{．
𝑛=120
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元． (2)①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30−𝑥)个B型垃圾箱，
根据题意得：𝑤=100𝑥+120(30−𝑥)=−20𝑥+3600(0≤𝑥≤16且x为整数)． ②∵𝑤=−20𝑥+3600中𝑘=−20<0， ∴𝑤随x值增大而减小，
∴当𝑥=16时，w取最小值，最小值=−20×16+3600=3280． 答：买16个A型垃圾箱总费用最少，最少费用是3280元．
解析：(1)设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30−𝑥)个B型垃圾箱，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于x的函数关系式；
②利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①根据各数量间的关系，找出w关于x的函数关系式；②利用一次函数的性质，解决最值问题．
20.答案：(1)(𝑎−𝑏)𝑐𝑚；(2)
(4)6．
；；(3)；
解析：本题主要是考查裁剪拼图的问题，通过图形的面积关系即可解答． 解：(1)
；
(2)
；
；
(3)
；
(4)由(3)可知，
=
，
=
=24，
=6.
21.答案：解：(1)∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠𝐷=∠𝐴=90°，𝐻𝐺=𝐻𝐸，又𝐴𝐻=𝐷𝐺=2， ∴𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐸≌𝑅𝑡△𝐷𝐺𝐻(𝐻𝐿)， ∴∠𝐷𝐻𝐺=∠𝐻𝐸𝐴， ∵∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐻𝐸𝐴=90°， ∴∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐷𝐻𝐺=90°， ∴∠𝐸𝐻𝐺=90°，
∴四边形HEFG为正方形；
(2)过F作𝐹𝑀⊥𝐷𝐶，交DC延长线于M，连接GE， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐺=∠𝑀𝐺𝐸， ∵𝐻𝐸//𝐺𝐹， ∴∠𝐻𝐸𝐺=∠𝐹𝐺𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝐻=∠𝑀𝐺𝐹，
在△𝐴𝐻𝐸和△𝑀𝐹𝐺中，∠𝐴=∠𝑀=90°，𝐻𝐸=𝐹𝐺， ∴△𝐴𝐻𝐸≌△𝑀𝐹𝐺，
∴𝐹𝑀=𝐻𝐴=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此𝑆△𝐹𝐶𝐺=2×𝐹𝑀×𝐺𝐶=2×2×(7−6)=1；
(3)设𝐷𝐺=𝑥，则由第(2)小题得，𝑆△𝐹𝐶𝐺=7−𝑥，在△𝐴𝐻𝐸中，𝐴𝐸≤𝐴𝐵=7， ∴𝐻𝐸2≤53， ∴𝑥2+16≤53， ∴𝑥≤√37，
∴𝑆△𝐹𝐶𝐺的最小值为7−√37，此时𝐷𝐺=√37， ∴当𝐷𝐺=√37时，△𝐹𝐶𝐺的面积最小为(7−√37).
(1)由于四边形ABCD为矩形，𝐻𝐺=𝐻𝐸，解析：四边形HEFG为菱形，那么∠𝐷=∠𝐴=90°，而𝐴𝐻=𝐷𝐺=2，易证△𝐴𝐻𝐸≌△𝐷𝐺𝐻，从而有∠𝐷𝐻𝐺=∠𝐻𝐸𝐴，等量代换可得∠𝐴𝐻𝐸+∠𝐷𝐻𝐺=90°，易证四边形HEFG为正方形；
(2)过F作𝐹𝑀⊥𝐷𝐶，交DC延长线于M，连接GE，由于𝐴𝐵//𝐶𝐷，可得∠𝐴𝐸𝐺=∠𝑀𝐺𝐸，同理有∠𝐻𝐸𝐺=∠𝐹𝐺𝐸，𝐻𝐸=𝐹𝐺，利用等式性质有∠𝐴𝐸𝐻=∠𝑀𝐺𝐹，再结合∠𝐴=∠𝑀=90°，可证△𝐴𝐻𝐸≌△𝑀𝐹𝐺，从而有𝐹𝑀=𝐻𝐴=2(即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；
(3)先设𝐷𝐺=𝑥，由第(2)小题得，𝑆△𝐹𝐶𝐺=7−𝑥，在△𝐴𝐻𝐸中，𝐴𝐸≤𝐴𝐵=7，利用勾股定理可得𝐻𝐸2≤53，在𝑅𝑡△𝐷𝐻𝐺中，再利用勾股定理可得𝑥2+16≤53，进而可求𝑥≤√37，从而可得当𝑥=√37时，△𝐺𝐶𝐹的面积最小．
本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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