一、选择题（共20分，每题4分）
1. 已知累积额函数A（/） = 2r+5/ + l，则累积函数。（7）= （ A ）o A、2/\" + 5/ +1 B2/ + 5 C4-t + 5 D57 + 1 2. 对符号d歆含义的表述正确的是（B ）。
A、 一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的终值
m B、 一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的现值
m C、 一年支付m次，且每期期末支付L元的n年期确定年金的现值
m D、 一年支付m次，且每期期初支付1元的n年期确定年金的现值
3. 在复利场合下，关于贴现函数QT。）的计算，下列各式不正确的选项为：（C ）o
小盼 mt-C^ds
A、厂。）=（1 —d）‘ B、QTQ）=（I + —广，\"C> tz\"'（/） = （l ---- y D、厂（/）=那。
m m 4. 关于期初付确定年金的现值，下列表述错误的是（B ）。 A、有= 1 +。一B、— va-i C、（1 + z） D、a-, = a—. - vn\\ n n-\\\\ n\\ n\\ n\\ n\\ xn\\ n+\\\\ 5. 王先生因为买房向招商银行贷款30万元，月按揭等额还贷，设贷款利率恒定，则下列表 述
错误的是（D ）
A、月付利息所占月还款额的比例越来越小 C、每月所付本金越来越多
B、每月所付利息越来越少 D、每月偿还的本金一样
1. 下列关于累积函数。（7）的表述，错误的是（B ）。 A、 tz（O） = 1
C、表示单位本金的累积额
B、。⑺时间的递增函数 D、。（7）不一定为连续函数
2. 对符号耳任含义的表述正确的是（C ）。
A、 一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的终值 m B、 一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的现值
m C、 一年支付m次，且每期期末支付上元的n年期确定年金的现值
m D、 一年支付m次，且每期期初支付1元的n年期确定年金的现值 3.
在复利场合下，关于累积函数\"(7)的计算，下列各式不正确的选项为：(D )。
A、a(t) = (l-dy B、a(t) = (l + ——严 C、= -------------------- )一湿 D、a(t) = e~° t]sm m 4. 关于确定年金的现值与终值的计算，下列各式正确的是(D )o A、 s~| —
B、 Cl—i — C、 d—\\ — D、
一 F i » n\\ n\\
\" i d i 5. 王先生因为买房向招商银行贷款30万元，月按揭等本金还贷，设贷款利率恒定，则下列
表述错误的是(C ) A、每月偿还的本金一样 C、每月所付金额越来越多
B、每月所付利息越来越少 D、每月所付的利息比例越来越小
二、计算题(共70分，1-5题每题8分，6-8题每题10分) 24 '利息度量(3) 16 '年金(2) 30 '债务偿还(3)
1. 已知累积函数ci(t)=就*g，如果在时刻t=0投资1000元，在时刻t = 6的累积额为
1560元，试计算在t = 6时刻再追加投资额1440元，到时刻9时的总累积额。 解：<7(0) = ” = 1
A(6) = A(0)a(6) = 1000x[ax63 + 1] = 1560 /. a = ----------
7
2700
所以时刻9的总累积额为
7 7
A(9) = 1000。(9) +1440^(3) = 1000(五命乂 9’ +1) + 1440(^^x33 +1) = 20+1540.8 = 4430.8 (元)
2. 一笔1000元的投资，前5年的年实际利率为2.5%,第6-14年，每半年计息一次，第 6-8年
的年名义利率为2%,第9-14年的年名义利率为1.8%,则在第14年年末，该项投 资可获得多少利息？
2%
1 QO/
解：累积额为 1000(1 + 2.5%沪(1+ 等)6(1+ 二|勺|2 =1337.34 所产生的利息为1337.34-1000 = 337.34。
[0.05 + 0.1/ 03.
投资10000元，求该投资
'1.05 到时刻15的累积额。
某基金的利息力为々=
10,若在时刻6
「4
解：累积函数。（15） =
，
= e°25
5+01fP105x5
累积额A（15） = 10000eJ° °°e =5180128.25 （元）
4. 某人想要购买一份每年支付100元的永续年金，第一次支付在第11年末。他可以通过
以 下两种方式购买：
（1） 每年年末支付90元，共支付10年； （2） 前5年每年年末支付k元，后5年不支付。 请计算ko
□ onri _ v10）
解：依题意得90% =切孑=100%护°, mv'° =—，所以* =弋~广= 151.94 （元）。
5. 延期1年连续变化的年金共付款9年，在时刻t时的年付款效率函数为f（/） =尸-1,且
连续变化的利息力为〃=上，求该年金的现值。
1 + t ] -f —1
解：依题意得贴现函数为。T（f） = eLi+s = ——，
1 + 1 年金的现值为『（尸-IK1 （f）dt = 6.
。— 1）力=40.5
某借款人向银行贷了一笔款，每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还
清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。试计算 （1） 该借款人的借款额为多少？
（2） 第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？
（3） 若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次 共偿还了多少利息？
解：（1）该借款人的借款额为3171.52x12“骨）=400000 （元） （2）第12次还款中的利息为A =帆1 =，*“国邙
=1609.63 （元）
第12次还款中的本金为七=印\"11 =1561. （元），或巳=尸―112 =1561. （元）
=0.42(3
12 % )
1
已知累积函数a^ = at~+b,如果在0时刻投资100元，能够在时刻5获得累积额为 180元，试确定在时刻5再追加投资300元，到时刻8可获得的总累积额。 解：•.•。(0)=< = 1,。(5) = 25^ + 1 = 180+100 = 1.8 「・ a = 0.032
A(8) = 100(0.032X81 2+1) + 300(0.032x32+1) = 691.2 (元)
5.04% 若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，他需要一次性偿还
Pa 180-7.
= 372172.97
前 18 次共偿还了利息 /018 =18P-（B0-B18） = 29260.33 （元）
某人从银行贷款140000元，贷款名义利率为6%,按月结息。合同规定从贷款交付后第
一个月末起，每月偿还一次，偿还金额为1000元，在最后一次还可能存在的不足1000元的 余额。求：（1）偿还金额为1000元的还款次数。（2）最后一次偿还的金额。 解：设偿还金额为1000元的还款次数为n,最后一次应偿还余额为f元。 半年实际利率为;=6%/12 = 0.5%
因为 1000c成(j) =139881.36 < 140000 , 1000。访(j) = 140180.46>140000 , 所以n=241o 140000-o^(j) = 118.
所以最后一次偿还额为f=118.x(l+ ,)242 =396. (元) 8.
设某人向银行贷款10万元，使用5年等额偿债基金的方式还款，假如还银行的利率为
5%, 偿债基金利率为3%,请按照时期、支付贷款利息额、偿债基金储蓄额、偿债基金累积额、 未偿还贷款额和未偿还贷款净值六要素构造偿债基金表。 解： 时期 0 1 2 3 4 5 支付贷款 偿债基金 储利息额 蓄额 0 0 5000 5000 5000 5000 5000 18835 18835 18835 18835 18835 偿债基金 累积额 0 18835 38236 58218 78800 100000 未偿还 贷款额 100000 100000 100000 100000 100000 100000 未偿还 贷款净值 100000 81165 617 41782 21200 0 第8个月末还款3000元，问在年末该人还应还款多少元？ 解：1 — d =9100 + 10000 = 0.91,所以单贴现率为d = 0.09
2
3000元还款的现值为3000x（1-= 2820
还应还款（9100 —2820） + （1 —d） = 6901.10 （元）。
4. 某人从保险公司得到12000元的补偿金，用于购买两份不同的年金，每份价值6000元。 第一份年金可在每年年末向其支付k元，共支付24年。第二份年金可在每年年末向他的儿 子支付2k元，共支付8年。两年金的年实际利率均为i, 1>0。计算M
解：依题意得如成=2知矿 所以V24-2V8+1 = 0, \"8=0.6180, v = 0.9416, 从而 i = 0.062 o
5. 连续年金A的支付期为10年，在时刻t的支付率为t。如果利息力为常数0.05,试求年金 A的现值。
「10 . rlO
解：年金A的现值为v'e—°」％力= 36.0816。
n
Jo Jo
6. 王先生因买房向银行贷款30万元，还款期限为10年，采用每月末等本金的还贷方式， 银行的贷款年利率为5%，问：
（1） 王先生第8期还款多少元？第8期还款中利息有多少元？本金有多少元？ （2） 王先生如果在第24期提前还贷，应还款多少？ 解：（1）第8期还款本金为［=300000 + 120 = 2500 （元）
5% 120 — 7
第8期还款利息为匕=jxB,=——x ------------------- x300000 = 1177.08 （元）
8 7
12 120 第8期还款氏=匕+ g = 3677.08 （元）
（2）如果在第24期提前还贷，应还款300000-2500x23 = 242500 （元）。
7. 金先生为购买住房从银行贷款20万元，银行规定的还款方式是每6个月末偿还金额12000 元，到第10年末还清贷款。金先生向银行提出另一种偿还贷款的方式：从第2个月起，每 月初偿还相等金额，还款期限还是10年。试计算（1）年实际利率i； （2）金先生每月须向 银行偿还的金额；（3）金先生应偿还的利息总额。
解：（1）设半年实际利率为j ,则12000a初（/） = 200000,解得/ = 1.8030% 又 1 + / = （1 + 祥,解得 i = 3.% o
（2） 设金先生每月须向银行偿还的金额为R,月实际利率为k,贝n + z = （l + ^12,解得 * = 0.2983%,又Ra园（幻= 200000,解得R = 1985.14 （元）。 （3） 金先生应偿还的利息总额为120R-200000 = 38216.66 （元）。
8. 设某人向银行贷款10万元，使用5年等额偿债基金的方式还款，假如还银行的利率为5%, 偿债基金利率为6%,请按照时期、支付贷款利息额、偿债基金储蓄额、偿债基金累积额、 未偿还贷款额和未偿还贷款净值六要素构造偿债基金表。
时期 0 1 2 3 4 支付贷款 利息额 0 5000 5000 5000 5000 5000 偿债基金 储蓄额 0 17740 17740 17740 17740 17740 偿债基金 累积额 0 17740 36544 576 77604 100000 未偿还 贷款额 100000 100000 100000 100000 100000 100000 未偿还 贷款净值 100000 82260 63456 43524 22396 0 5 三、证明题(共10分，第1题4分，第2题6分) 1 .证明关系式禺=S「1 + (1 +，)\"。 ° (1+zT-i v (i+，y—1
证：= -------------------- , 5-1 = --------------------
nl d i 所以 S「l + (l + z・)\"=[(l + i)”—1](： + 1)
= [(l + z) -1J-—— = ------------- -------- = -------- -- ----- = *，碍证。
1 + Z
2.如果在n年定期内，第一年末收付1元，第二年末收付2元，以后每次比上一次递增1元
a-i 一 nvn 的期末付年金现值以(血)川表示，求证：(/。)相= 证：依题意得(Id) -(= v + 2v2 +3v3 ------------ nv, (1) 所以(1 + Z)(/Q) -| = 1 + 2v + 3v2 + • • • + nv 2, (2) (2) 一 (1),得，(/。)亓|= 1 +v + 皆 ------ vn-1 -nv, 又 d彳=l + v + v2++
nnn—O
•. n
i -nv
。一
从而(血)旷 一。 P78 11
1.证明关系式：^=0+1 —V”。
n\\ n\\
2 —v”
证
1-v\"
1 n /I 〃、/1 〃\\1 +， l~V l~V .. 。方+l — u =(l-v )(- + l)=(l-v )— =—:—=—-—=与，得证。
1nn/曰、〒
I I I a n' 1 + z
2.当第一年收付n元，以后每年收付额减少一元的n年定期递减的期初付年金的现值为
n-a-> (皮山，求证：(应山
证：依题意，得(7)们日=〃 + (〃 —l)u + ・・・ + v〃T (1) 两边同时乘以v,得v(Da)^ =nv + (n-l)v2 H ------------ v (2) (1) - (2)得(1 -v)(Da)-^ =n-(y + v --------------- vn) =n-a^f
2n1-v
2. 已知利率恒定，300元的投资经过3年将增长至400元，若分别在第2年年末、第4年年 末、第6年年末各付款500元，求其现值之和。
解：设年实际利率为i,则300x(1 + 1)3 =400,解得z = 0.1002
所以现值之和为 pv = 500(1 + iy- + 500(1 + z)-4 + 500(1 + 沪=1034.7 (元)。 3.
某人向银行贷款10000元，期限为1年，按单贴现计息，且立即收到银行9100元。他在
