数列中的放缩法解题策略

数列中的放缩法解题策略

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：

2nn1122(nn1)nnn1

（1）根式的放缩：；

2n1n1112(k2)k(k1)kk(k1)（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；

11111nn12n12n()k2k212k1k1；n1n；2n2n1；

11111n(n1)(n1)(n2)3n(n1)(n2)2 nnn2nn222n2nn2n（3）应用基本不等式放缩：；

4、把握放缩的尺度、精度的控制

5、典型问题

（一） 放缩为可求和型

（1） 等差数列型

n(n1)n(n2)1223n(n1)(nN) 221、证明：

(2) 等比数列型

111372n(nN) 214421211、证明：

（3）裂项相消型

11222(nN) 2n1、证明：

1变式：调整放缩度 证明：

1115223(nN) 2n2、证明：

111133252(2n1)22(nN)

变式：调整放缩度 证明：

111153252(2n1)24(nN)

3、证明：

1115334(nN) 2n

11152n(nN) 21321214、证明：

5、已知

bn12n1，求证：b1b2bn2n11

（4）错位相减法型

12n2n2(nN) 21222n1、证明：

（二） 放缩为可求积型

132n12n1、证明：2412n1(nN)

3572n1n1(nN) 2462n2、证明：

综合应用：

11(an)2an，

1、正项数列{an}前n项和为Sn，满足

Sn（1）求an，（2）求

S111S1S2S100的整数部分

1a,an2SnSn10(n2)1{an}Snn22、已知数列的前项和为，且满足。

1}S（I）数列n是否为等差数列？并证明你的结论； （II）求Sn和an；

{（III）求证：

2S12S2S322Sn12。

3、已知数列an的各项均为正数，且满足列bn的前n项和为xn，且

f(xn)1xn2．

a12,an112an(nN),an1an1记

bnan2an，数

（I）数列bn和an的通项公式；

（II）求证：

n1f(x1)f(x2)2f(x2)f(x3)f(xn)n(nN)f(xn1)2．