ω2，选项C、D正确．2．(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图4
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星绕太阳做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 答案 C
解析 根据万有引力定律F＝G2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A项错误；由
MmrMm4π2
G2＝m2r，得T＝2πrTr3
，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球GMFMMmv2
的周期，B项错误；向心加速度a＝＝G2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G2＝mmrrr得线速度v＝GM，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D项错误． r3．(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图5
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大 答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由
2
Mm4πv2GM2
牛顿第二定律G2＝ma＝m2r＝mωr＝m，可得a＝2，T＝2π
rTrrr3，ω＝GMGM，v＝r3GM.由已知条件可r得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
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4．(天体运动的分析与计算)如图6所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
图6
(1)A的线速度大小v1； (2)A、B的角速度之比ω1∶ω2. 答案 (1)gR2 (2)R＋h1R＋h2
3 R＋h1
3解析 (1)设地球质量为M，行星质量为m，
GMmv12
由万有引力提供向心力，对A有：① 2＝mR＋h1R＋h1
在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G由①②得v1＝Mm′
② R2
gR2 R＋h1
2
(2)由G2＝mω(R＋h)得ω＝
R＋hω1
所以A、B的角速度之比＝ω2
MmGM3 R＋h
3
R＋h2
3. R＋h1
一、选择题
考点一 天体运动各物理量与轨道半径的关系
1．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A．周期越大 C．角速度越大 答案 A
B．线速度越大 D．向心加速度越大
Mmv2
解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G2＝m得v＝
rrMm2
越大，线速度越小，B错误．由G2＝mωr得ω＝
rMmrGMrGM，可知rrGMr3
，可知r越大，角速度越小，C错误．由2＝k知，r越r3T大，T越大，A正确．由G2＝ma得a＝2，可知r越大，向心加速度a越小，D错误．
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2．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示，下列说法中正确的是( )
图1
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D．a、c存在在P点相撞的危险 答案 A
2
Mmv24π2
解析 由G2＝m＝mωr＝m2r＝ma可知，选项B、C错误，选项A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，
rrT既然图示时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误．
3．(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( ) A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B．火星公转的周期比地球的长 C．火星公转的线速度比地球的大 D．火星公转的向心加速度比地球的大 答案 AB
MmMMm2π2
解析 由G2＝mg得g＝G2，计算得A对；由G2＝m()r得T＝2π
RRrT(或由v＝
r3，计算得B对；周期长的线速度小GMGMM判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转的向心加速度a＝G2，计算得D错． rr4．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( ) A．若v∝R则该层是土星的卫星群 B．若v∝R则该层是土星的一部分 1
C．若v∝则该层是土星的一部分
2
R12
D．若v∝则该层是土星的卫星群
R答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；
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若是土星的卫星群，则由GMmv12
2＝m，得v∝，故A错误，D正确． RRR2
5．(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最大)( ) A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将变小 C．月球绕地球运行的周期将变大 D．月球绕地球运行的周期将变小 答案 BD
解析 万有引力公式F＝
GMm中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减小时，两者的乘积减r24πr23
2
GMm4π
小，万有引力减小，故选项A错误，选项B正确；又2＝mr2，T＝
rTGM，M增大，则T减小，故选项C
错误，选项D正确．
考点二 天体运动的分析与计算
6．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.19
B.18
19
C.18
1818 D. 1919
答案 C
Mmv2
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根2＝mr＋hr＋hv1 r＋h2成反比，则有＝＝v2 r＋h1
18. 19
7．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为( ) A.pq B．qp C．p答案 D
MAMBRARBTaTbp D．qqq pMm2π2
解析 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：G2＝mR()，得T＝
RT＝q4πR23GM，解得：TaTbq，故D正确，A、B、C错误． p8．天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”．该行星绕母星(中心天体)运行
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的周期约为地球绕太阳运行周期的
1，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”480
与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
3
A．轨道半径之比约为60 480602 480
3
2
3
B．轨道半径之比约为C．向心加速度之比约为60×480 D．向心加速度之比约为60×480 答案 B
3
Mm2π2
解析 由公式G2＝m()r，可得通式r＝
rTr1
则＝r2
3
3
3
GMT24π
2
，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，
2
M1T12·＝M2T22
4
3
60MmMa1M1r2
2，从而判断A错，B对；再由G2＝ma得通式a＝G2，则＝·2＝480rra2M2r1
3
M1T24·＝M2T14
60×480，所以C、D皆错．
9．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
mv2mv4Nv2Nv4A. B. C. D. GNGNGmGm答案 B
解析 设卫星的质量为m′
Mm′v2
由万有引力提供向心力，得G2＝m′①
RRv2
m′＝m′g②
R由已知条件：m的重力为N得N＝mg③
Nmv2
由③得g＝，代入②得：R＝
mNmv4
代入①得M＝，故B项正确．
GN10.如图2所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同．已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲同居地球一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )
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图2
98109A.T B.T C.T D.T 910答案 A
2π2π
解析 由(－)t＝2π①
TT乙
t＝9T②
9
由①②得T乙＝T，选项A正确．
8二、非选择题
11．(天体运动的分析与计算)两行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA∶MB＝2∶1，两行星半径之比RA∶RB＝1∶2，则两个卫星周期之比Ta∶Tb＝________，向心加速度之比为________． 答案 1∶4 8∶1
解析 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，
Mm4π2
有：G2＝m2R，得T＝2π
RTTa故＝TbRA3·RB3
R3. GMMB1MmM＝，由G2＝ma，得a＝G2， MA4RRaaMARB28
故＝·2＝. abMBRA1
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