波动习题11
习题11
1一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ，振幅
A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程．
解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为2
π,取波动方程为])( 2cos[0φλ π++=x T t A y 则有 ]2 )12(2cos[1.0π π++=x t y )2
24cos(1.0π ππ++=x t m
2 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ,y 以米计，t 以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x =0.2m 处质点在t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式
)22cos(x t A y λ π πυ- =
相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1
-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1
s m -?． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
ππω5.005.010m ax =?==A v 1s m -? 222m ax 505.0)10(ππω=?==A a 2s m -?
(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为 08.05
.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相， 即 2.9=φπ． 设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则
825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m
3 如题图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线．(1)若波沿x 轴正向传播，该时刻O ，A ，B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?
解: (1)波沿x 轴正向传播，则在t 时刻，有
题3图
对于O 点：∵0,0<=O O v y ，∴2 π φ= O
对于A 点：∵0,=+=A A v A y ，∴0=A φ 对于B 点：∵0,0>=B B v y ，∴2π
φ- =B
对于C 点：∵0,0<=C C v y ，∴2
3π φ-=C
(取负值：表示C B A 、、点位相，应落后于O 点的位相) (2)波沿x 轴负向传播，则在t 时刻，有 对于O 点：∵0,0>'='O O
v y ，∴2 π φ-='O
对于A 点：∵0,='+='A A v A y ，∴0='A φ 对于B 点：∵0,0<'='B B v y ，∴2
π φ= B
对于C 点：∵0,0>'='C C v y ，∴2 3π φ='C
(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相) 4 一列平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5m ·s -1 ，波长为2m ，原点处质点的振动曲线如题5图所示． (1)写出波动方程；
(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质点的振动曲线． 解: (1)由题5 (a)图知，1.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，∴2 30πφ=， 又5.22 5 == = λ υu
Hz ，则ππυω52==
题4图(a)
取 ])(cos[0φω+-=u x
t A y ， 则波动方程为 )]2
35(5cos[1.0π π+-
=x t y m (2) 0=t 时的波形如题5 (b)图
题4图(b) 题4图(c) 将5.0=x m 代入波动方程，得该点处的振动方程为
)5cos(1.0)2
35.05.055cos(1.0πππ ππ+=+?-
=t t y m 如题5 (c)图所示．
5 如题图所示，已知t =0时和t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；
(2)P 点的振动方程．
解: (1)由题5-12图可知，1.0=A m ，4=λm ，又，0=t 时，0,000<=v y ，∴2
0π φ=，
而25.01==??= t x u 1s m -?，5.04 2
===λυu Hz ，∴ππυω==2 故波动方程为 ]2
)2(cos[1.0π π+-=x t y m
(2)将1=P x m 代入上式，即得P 点振动方程为 t t y ππ π
πcos 1.0)]2 2cos[(1.0=+- = m
题图
6一列机械波沿x 轴正向传播，t =0时的波形如题7图所示，已知波速为10 m ·s -1
，波长为2m ，求： (1)波动方程；
(2) P 点的振动方程及振动曲线； (3) P 点的坐标；
(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由题5-13图可知1.0=A m ，0=t 时，0,2
00<= v A y ， ∴30π
φ=，由题知2=λm ， 10=u 1s m -?，则52 10 == = λυu Hz
∴ ππυω102== (1)波动方程为 ]3
)10(10cos[.01π π+- =x t y m
题图
(2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴3 4π φ-=
P (P 点的位相应落后于0点，故取负值) ∴P 点振动方程为)3 4
10cos(1.0ππ-=t y p (3)∵ πππ34|3)10(100-=+- =t x t ∴解得 67.13 5 ==x m
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题7图(a)，则由P 点回到平衡位置应经历的位相角
题图(a) ππ π φ6 523 =+
=? ∴所属最短时间为 12 1 106/5== = ππωφ t s
8 题图中(a)表示t =0时刻的波形图，(b)表示原点(x =0)处质元的
振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x =2m 处质元的振动曲线．
解: 由题8(b)图所示振动曲线可知2=T s ,2.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ， 故知2
0π φ-
=,再结合题8(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x 轴负向传播， 且4=λm ，若取])( 2cos[0φλ π++=x T t A y
题8图 则波动方程为 ]2
)42(2cos[2.0ππ-+=x t y
