数列综合练习

一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．若公比为2的等比数列{an｝的各项都是正数，且a3a11=16，则a5等于(）。 A.1B。2C.4D.8

2．若数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*）,则a4等于

A。11B。15C。17D.20

3．已知｛an｝，｛bn｝都是等差数列，若a1+b10=9，a3+b8=15，则a5+b6等于

A.18B.20C.21D。32

4.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产。已知该生产线连续生产n年的产量为f（n)=

1n（n+1）(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨，将会给2环境造成危害。为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是

A.5年B。6年C。7年D。8年

5．设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)SnA。Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7

6．若2a，b，2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是( )

A．0 B．1C．2 D．0或2

7．各项均为正数的等比数列｛an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于（) A。80B。30C.26D.16

8．若数列｛an｝的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an｝的前n项和为（). A.2n+n2—1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2—2D.2n+n-2

9．等差数列{an}的首项为1,公差不为0。若a2,a3，a6成等比数列，则｛an｝前6项的和为()

A.-24B。—3C。3D.8

1

a8＜-1则 a710．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11,a4+a6=—6,则当Sn取最小值时，n等于(） A.6B.7C.8D。9

11。设数列{2n-1}按第n组有n个数（n是正整数)的规则分组如下：（1）,(2,4）（,8，16,32）,…,则第101组中的第一个数为(） A.24 951B.24 950C.25 051D.25 050

12．已知函数f(x）是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有f（x·y）=f(x)+f

（y),若数列｛an}的前n项和为Sn,且满足f（Sn+2）-f(an）=f（3)（n∈N+),则an等于（)

A.2n—1B。nC。2n-1D.32n1

二、填空题：本大题共4小题,每小题6分。

13．在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列,则此未知数是__________．

14．设数列｛an}为公比q〉1的等比数列,若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根,则a6＋

a7＝________。

15．已知两个数列{an｝，{bn}满足bn=3nan,且数列{bn}的前n项和为Sn=3n—2，则数列｛an｝的通项公式为。 16.若数列｛an｝满足

11=d（n∈N+,d为常数），则称数列｛an}为调和数列,已知数an1an列{

1}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=. xn三、解答题:本大题共3小题,满分45分．

17．（10分）已知a1＝2，点(an,an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上,其中n＝1，2,3，…。

（1）证明数列{lg（1＋an)｝是等比数列； (2)求an的通项公式．

2

18．（15分)设数列{an｝的前n项和为Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*。 (1)求通项公式an;

(2）求数列{|an-n-2|｝的前n项和。

19．(15分）已知等差数列｛an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=-5。 (1)求数列｛an}的通项公式； （2）求数列{

20．(10分）已知{an｝为等差数列，且a3＝－6，a6＝0。

(1)求{an｝的通项公式;

(2）若等比数列｛bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn｝的前n项和公式．

3

1}的前n项和

a2n1a2n1

21．(15分)已知｛an｝是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9,a1=b1，a14=b4. (1)求｛an｝的通项公式；

(2）设cn=an+bn，求数列｛cn｝的前n项和.

22．（15分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r（b〉0,且b≠1,b，r均为常数)的图象上。 (1)求r的值； （2)当b=2时，记bn

n1(nN*)，求数列{bn｝的前n项和Tn。 4an

4

参

一、选择题:本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

21．解析:∵a3a11a716,且an>0，∴a7=4.∴a5a741 22q2答案:A

2．解析：a4=S4-S3=20-9=11. 答案：A

3． 解析：因为｛an｝，{bn｝都是等差数列，

所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,

所以2（a3+b8)=（a1+b10)+（a5+b6）， 即a5+b6=2(a3+b8）—(a1+b10)=2×15-9=21.

答案:C

4．解析:由题意可知第一年的产量为a1=

1×1×2×3=3；以后各年的产量分别为an=f2（n）-f（n—1)

11=n（n+1）（2n+1)—(n-1）·n·（2n-1）=3n2。 22令3n2≤150，∴1≤n≤52又n∈N+，

∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年。

答案:C

5。解析:由(n+1)Sn〈nSn+1，得（n+1)·n(a1an)(n1)(a1an1)＜n,整理得an

22a8＜1,所以a8>0,a7<0,所以数列{an｝的a7〈an+1,所以等差数列{an｝是递增数列。又前7项为负值,即Sn的最小值是S7.

5

答案：D

6．解析：由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0,

∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.

答案：B

7．解析：设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14—a）=（a—2)2,解得a=6或a=-4（舍去)，同理（6-2）(b—14)=（14-6)2,所以b=S4n=30。 答案:B

2(12n)(12n1)2n12n2 8．解析：Sn=（2+2+…+2)+(1+3+5+…+2n—1）

1222

n

答案：C

a3=a2·9。解析：设等差数列的公差为d，则d≠0，a6,即（1+2d)2=(1+d)(1+5d）,解得d=—2,

2所以S6=6×1+

答案：A 10．答案：A

65×(—2)=—24，故选A。 211．解析：前100组共有1+2+3+…+100=5050个数，则第101组中的第一个数为数列｛2n-1}

的第5051项,该数为25050. 答案:D

12．解析:由题意知f（Sn+2）=f（an）+f(3）（n∈N+),

∴Sn+2=3an，Sn—1+2=3an-1（n≥2）,两式相减得2an=3an—1（n≥2），又n=1时，S1+2=3a1=a1+2，

33∴a1=1，∴数列{an｝是首项为1,公比为的等比数列,∴an=.22

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

13．解析：设此三数为3，a，b 则错误!，

n1答案：D

6

解得

｛

a＝3b＝3

，或错误!.

∴这个未知数为3或27.答案：3或27

14.解析：由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝错误!，∵q〉1，∴a5>a4，解得a4＝错误!，

a5＝错误!,∴q＝3，

∴a6＋a7＝a5（q＋q2）＝18.

答案：18

15．解析：由题意可知3a1+32a2+…+3nan=3n—2.① 当n=1时,a1=

1; 31， n131相矛盾。 3当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1an-1=3（n-1)—2,②

①—②,得3nan=3，an=

此时,令n=1，有a1=1，与a1=

1,n13故an=

1,n23n11,n13答案：an=

1,n23n116。解析：由题意知,若｛an｝为调和数列，则{11}为等差数列，∴由{}为调和数列，anxn可得数列｛xn｝为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11=答案:20

三、解答题：本大题共3小题，满分45分． 17解:（1）由已知得an＋1＝a错误!＋2an，

7

200=20。 10∴an＋1＋1＝a错误!＋2an＋1＝(an＋1）2 ∵a1＝2,∴an＋1＋1＝(an＋1)2〉0， ∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)

即

lg1＋an＋1

＝2,且lg（1＋a1)＝lg3

lg1＋an

∴{lg(1＋an)｝是首项为lg3，公比为2的等比数列． （2)由（1）知，lg（1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1 ∴1＋an＝32n－1 ∴an＝32n－1－1。

18。解：(1）由题意a1a24a1,则1

a2a1a3122又当n≥2时，由an+1—an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an， 得an+1=3an.

所以，数列{an}的通项公式为an=3n-1，n∈N*.

(2)设bn=|3n-1-n-2｜,n∈N*,b1=2，b2=1.

当n≥3时,由于3n—1>n+2，故bn=3n—1-n-2，n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2，T2=3。

9(13n2)(n7)(n2)3nn25n+11当n≥3时，Tn=3

13222,n1所以Tn3nn25n11 *,n2,nN219.解：（1)设等差数列｛an}的公差为d,则Sn=na1n(n1)d 23a13d0由已知可得

5a10d51解得a1=1，d=—1。

故数列{an｝的通项公式为an=2-n.

8

(2）由（1）知

11111()

a2n1a2n1(32n)(12n)22n32n1从而数列{1}的前n项和为

a2n1a2n1

20． 解：(1)设等差数列{an｝的公差为d，

∵a3＝－6，a6＝0. ∴错误!，解得错误!，

∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. (2）设等比数列｛bn｝的公比为q。 ∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24,b1＝－8。 ∴－8q＝－24，∴q＝3. ∴｛bn｝的前n项和为

Sn＝错误!＝错误!＝4（1－3n）．

21.解：(1）等比数列｛bn｝的公比qb393, b23所以b1b21,b4b3q27 q设等差数列{an｝的公差为d。 因为a1=b1=1,a14=b4=27， 所以1+13d=27,即d=2。 所以an=2n—1（n=1,2，3,…).

（2）由(1)知，an=2n—1，bn=3n-1。

因此cn=an+bn=2n-1+3n-1。 从而数列{cn｝的前n项和

9

Sn=1+3+…+(2n—1)+1+3+…+3n-1

n(12n1)13n3n12n

213222。解析:(1）由题意,得Sn=bn+r,

当n≥2时,Sn-1=bn—1+r，an=Sn—Sn-1=bn—1(b—1）.

∵b〉0,且b≠1，∴当n≥2时，数列｛an}是以b为公比的等比数列。

又a1=b+r,a2=b（b-1）,a2b(b1)b即b，解得r=—1。 a1br（2)由(1)知,an=(b—1）bn—1=2n—1，n∈N*，

n1n1 42n12n1234n1Tn234n1

2222∴bn

两式相减,得Tn1221122232411(1)n11n1123n12n1n2n21222212

31n1n1n242231n13n3故Tnn n1n1

22222

10