56圆锥曲线的综合问题

编者：陈彩余 审核：陆海蓉

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第一部分 预习案

一、知识回顾

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．

(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0. Ax＋By＋C＝0由，消元 fx，y＝0

如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.

a．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x1－x2|

1或P1P2＝1＋2|y1－y2|.

k(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题

x2y2

遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆2＋2＝1中，以P(x0，y0)为

ab

222bx0xy

中点的弦所在直线的斜率k＝－2；在双曲线2－2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜

ay0ab

2bx0p率k＝2；在抛物线y2＝2px (p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. ay0y0

4．注意点

(1)直线和圆锥曲线问题解法的一般规律：

“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

(2)“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．

三、基础训练

x2y2

1．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若AF2＋BF2＝12，

259则AB＝________.

y2

2．已知双曲线方程是x－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的

2

2

中点，则此直线方程是____________．

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．

→→

4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA·OB＝________.

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5．以直线x±2y＝0为渐近线，且截直线x－y－3＝0所得弦长为的双曲线的方程为___________．

3

四、我的疑惑 第二部分 探究案

探究一 圆锥曲线中的范围、最值问题

→→

问题1、已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP＝λAQ. (1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；

11(2)若λ∈3，2，求PQ的最大值．

问题2、如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动

点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程． (2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点

PR

Q，R，且PQPQ

探究二 圆锥曲线中的定点、定值问题

3

1，，两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭问题3、已知椭圆C经过点A2圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求

出这个定值．

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1，且离心率为. (1)求椭圆C问题4、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P22的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为

直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

探究三 圆锥曲线中的探索性问题 问题5、已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

→→→→→

问题6、已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|MA＋MB|＝OM·(OA＋OB)＋2. (1)求曲线C的方程； (2)动点Q(x0，y0)(－2探究四 圆锥曲线中的函数思想

x2y2

问题7、已知椭圆4＋2＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2. (1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A； (2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．

我的收获 第三部分 训练案 见附页