二次函数经典例题及知识点

第16课时 二次函数

一、中考导航图

顶点对称轴1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质

开口方向增减性2

顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0) 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式  两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。 三、中考知识梳理 1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+4ac-b4a2b2a)2+

的形式,先确定顶点(-

b2a,

4ac-b4a2),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点

公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y

最小值

=

4ac-b4a2;

反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-

b2a时y最大值=

4ac-b4a2.

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个

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交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,•方程ax+bx+c=0无实根.

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定

a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;•简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定

例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

(1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 3abc,a1, 3abc, 解得b0,

c2.64a2bc.2

∴解析式为y=x2+2.

(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).• 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x2-4x-6.

解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

∵函数有最小值-8. ∴

4a(3a)(2a)4a2=-8.

又∵a≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x-4x-6.

(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

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又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2). 2. 二次函数的图象

例2 (2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( • ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上a>0.

抛物线与y轴负半轴相交c0yOx

bbc<0.

对称轴x在y轴右侧b02a ∴点M(a,bc)在第一象限. 答案:A.

点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.

例3 (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、•四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;•对于二次函数y=•ax2+bx+c(a≠0)来讲:

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开口上下决定a的正负左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号 与a的符号相同;)来判别b的符号

抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c的正负 解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=•ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.

答案:D.

3. 二次函数的性质

例4 (2002·杭州)对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3,•请说出他们的两个相

同点:①_________,•②_________;•再说出它们的两个不同点:••①________,••②_________.

分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.

解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);

不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.

4. 二次函数的应用

例5 (2003·厦门)已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k, (1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点.

(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1. ①求抛物线的解析式.

②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m的值.

分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.

(2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;•②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1. 解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k) =4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. ∵8k+1>0,

即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.

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2

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(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k. ∵x1+x2=-2k+2k+1, ∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. ∴8k2=0,∴k=0,

∴抛物线的解析式是y=x2+x.

②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称, ∴n1=n2.

又n1=m12+m1,n2=m22+m2. ∴m12+m1=m22+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. ∵P、Q是抛物上不同的点, ∴m1≠m2,即m1-m2≠0. ∴m1+m2+1=0

即m1+m2=-1.

点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.

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2

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基础达标验收卷

一、选择题:

1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).

A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,

ca)在( ).

A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限

3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0

4.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下

平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15

C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21

5.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).

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2

6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题

1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则

y=_______.

2.(2003·)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.

3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该

抛物线的解析式为_________.

4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满

足条件的二次函数的解析式:_________. 5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____. 6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题

1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;

(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围. 2.已知抛物线y=- 对称.

(1)求m的值;

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;

(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 一、学科内综合题

1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;

(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.

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1222

x+(6- m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴

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二、实际应用题

3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:

(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.

(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

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6.(2004·重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-且与OE平行.现正方形以每秒

a1035a,0)

的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,

正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S. (1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;

(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.

答案:

基础达标验收卷

一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C

二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=-6.y=

151252x2+2x+

85 4.如y=-x2+1 5.1

15x2-

x+3或y=-

x2+

85x-3或y=-

17x2-

87x+1或y=-

17x2+

87x-1

三、

1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x2-2x-1.

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(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略.

图象的顶点坐标为(1,-2).

(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2. ∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3. 2.(1)设A(x1,0) B(x2,0). ∵A、B两点关于y轴对称.

2x1x20,2(6m)0, ∴ ∴

xx0.122(m3)0. 解得m=6. (2)求得y=- (3)方程-1212x2+3.顶点坐标是(0,3)

2x2+(6-m)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).

3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:

①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交. 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.

94a2bc,29 将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得abc0,

216a4bc. 解这个方程组,得a=

14,b=-

54 ,c=1.

14∴抛物线DBC的解析式为y=x-

2

54x+1.

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【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, 又将直线AE的解析式为y=mx+n.

2mn0,将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得

n6.92),得a=

14也可.】

解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习 一、

1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.

又∵对称轴在y轴的左侧, ∴-b2a<0,∴b>0.

又∵抛物线交于y轴的负半轴. ∴c<0.

(2)如图,连结AB、AC.

∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°, ∴OC=OA·cot60°=3 ,∴C(3,0). 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0).

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3a,9a3bc0,3 由题意3a3bc0,b31,

c3.c3.∴所求二次函数的解析式为y=332

x+ (3-1)x-3.

3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c

1a,abc1.5,abc1.5,2由题意得4a2bc2, 或4a2bc2, 解得b2,

25a5bc2.5;c0.c0. ∴s=

12t2-2t.

12 (2)把s=30代入s=

t2-2t, 得30=

12t2-2t.

解得t1=0,t2=-6(舍).

答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元. (3)把t=7代入,得s= 把t=8代入,得s= 16-10.5=5.5.

答:第8个月公司获利润5.5万元.

4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3).

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2

12×72-2×7=

212=10.5;

12×82-2×8=16.

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1a,25ah, ∴ 解得25

100ah3.h1. 抛物线的解析式为y=-

125x.

2

(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h. 当4x+40×1=280时,x=60.

∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h. 5.略

6.解:(1)当0≤t<4时, 如图1,由图可知OM= ∵当t=4时,BB1=OM=

a10a10t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN, ×4=

25a,

∴点B1在C点左侧.

∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG, 其面积为:

平行四边形COPG-△NPQ的面积. ∵CO=

35a,OD=a,

35 ∴四边形COPQ面积=a.

a22

又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(,a),∴DP=

a2.

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∴NP=

a2-

a10t.

1a2a10t)

2 由y=2x知,NQ=2NP,∴△NPQ面积=NPNQ(235a2a1035∴S=a-(

2

t)=

2

a-

2

a2100(5-t)=

2

a2100[60-(5-t)2].

(2)当4≤t≤5时,

如图,这时正方形移动到ABMN, ∵当4≤t≤5时,

25a2a≤BB1≤ ,当B在C、O点之间.

∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,即平行四边形COPG•被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:平行四边形COPG-△NPQ的面积-△CB1R的面积. 与(1)同理,OM=

∵CO=

35a2a2a10a2a10t,NP=

a10a10t,S△NPQ=(

t)2 ,

a,CM=

3535a+a+

t,BiM=a, t-a=

a10a10 ∴CB1=CM-B1M= ∴S△CB1R=

∴S=

35352

t-

25a.

25122

CB1·B1R=(CB1)2=(

a2t-25a)2.

2

a-(a2-

a10t) -(

2

a10t-a)

=a-

100[(5-t)2+(t-4)2]

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=

3535a-

2

a2100a2(2t-18t+41)

2

=a-

2

1009[2·(t-

92)2+

12].

∴当t=时,S有最大值,S最大=

3a-

a2·

1=

119a.

2

251002- 14 -

200