首都师范大学学报（自然科学版） 第３４卷第４期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃａｐｉｔａｌ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＮＯ．４ ２０１３年８月 （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ａｕｇ．，２０１３ ＣＴ扫描中的数学 石冶郝 （１．首都师范大学初等教育学院，北京拉东（Ｒａｄｏｎ）变换木 余玉峰 程小红 １０００４８） １０００４８；２．首都师范大学数学科学学院，北京摘 本文介绍了拉东变换和ＣＴ扫描的原理 关键词：拉东变换，ｃＴ扫描． 中图分类号：Ｏ１８６．５，Ｒ８１４．４２ 《普通高中数学课程标准（试验）》中数学文化 的参考选题共有１９个，其中涉及数学应用的有军 事与数学、电视与图像压缩、ＣＴ扫描与拉东变换、天 气预报中的数学等６个．这些内容让学生认识到数 学对社会的发展进步，初步了解数学科学与人类社 会发展之间的相互作用，体现数学的科学价值、应用 价值、人文价值．鉴于此，我们选择“ＣＴ扫描与拉东 变换”，讲清其来龙去脉，使学生体会到“高科技实 际上是数学技术”，达到教育的目的． １ 拉东简介 拉东（Ｊｏｈａｎｎ Ｋａｒｌ Ａｕｇｕｓｔ Ｒａｄｏｎ，１８８７～１９５６） 是奥地利数学家，奥地利科学院院士．他于１９１０年 在维也纳大学获得了博士学位．他在多所大学任教， 在１９５４年至１９５５年担任维也纳大学校长．拉东主 要研究变分法、实变函数论、泛函分析和几何．１９１３ 年拉东给出了一种积分定义，它包括了勒贝格积分 和斯蒂尔吉斯积分，后被称为拉东积分，它在概率 论、谱论、遍历理论和调和分析中都有应用．１９１７ 年，拉东在积分几何研究中引入拉东变换，例如一 个三维物体，如果知道它在各个方向的平面投影，能 不能推出它的精确形状，这个数学问题可以由拉东 变换解决．除了著名的拉东变换外，拉东的贡献还有 以他名字命名的拉东一尼科迪姆定理，拉东测度等． 收稿Ｅｔ期：２０１２—１０－１１ 国家基金项目《带有反射不变测度的拉东变换》 （Ｎｏ．１０９７１１４１）和２０１２年首都师范大学校级教学改革研究项目《数 学建模思想融人数学类课程的研究与实践》资助． 要 奥地利科学院为了奖励在拉东工作过的领域（如拉 东变换等方面）做出贡献的数学家，设立拉东奖章， 该奖章将不定期颁发，１９９２年首次颁奖，由美国库 朗研究所荣誉教授约翰获得．２００３年，奥地利科学 院成立一个以拉东命名的计算和应用数学研究所． ２ 拉东变换 Ｒ 上实值函数的拉东变换定义为／７，一１维超平 面上的积分值，它是由拉东引入的．拉东变换与从函 数在空间Ｒ 的所有超平面上计算的积分值去还原 该函数的问题直接相联系（即拉东变换反演问题）． 拉东变换以及特别是相应的反演公式（即从函数 的拉东变换还原．厂的公式）在断层照相法中具有最 关键的重要性． 拉东变换是调和分析和积分几何领域中的重要 课题．它与Ｆｏｕｒｉｅｒ变换、Ｌａｐｌａｃｅ算子和球面调和函 数有着密切的联系．从分析学的角度看，研究一种积 分变换的动机是希望把某些问题从原来的框架转移 到新的框架中，从而将在原始的表达方式下难以处 理的问题转化为比较容易处理的形式，然后再用积 分变换的逆变换转回到原来的框架中．一个典型的 例子就是拉东变换在波方程求解中的应用． 除了在理论研究中的重要作用外，拉东变换在 实际应用中也占有重要的地位．计算机断层扫描 （ＣＴ扫描）仪的问世是２０世纪医学中的奇迹，设计 ＣＴ扫描的主要理论基础是数学上的拉东变换． １９６３年，Ａ．Ｍ．Ｃｏｒｍａｒｋ（美）把拉东变换首次应用到 成像技术中，成功地利用不同方向上的ｘ一射线变 １ ５ 首都师范大学学报（自然科学版） 换重构物体的密度函数．他不仅给出了重构的数学 公式，还通过设计和测试ＣＴ扫描仪来实现他的 想法．Ｃ．Ｎ．Ｈｏｕｎｓｆｉｅｌｄ（英）推导了一个算法并 用于医学上的ＣＴ扫描，为此他和Ｃｏｒｍａｒｋ于１９７９ 年共同获得了诺贝尔医学奖．拉东变换作为积分几 何学的基石，已被广泛应用于物理、医学、天文、分子 生物、材料科学、核磁共振、无损检测、地球物理等 方面． ２．１ Ｒ 上的拉东变换 二维拉东变换（或称经典拉东变换）是拉东 １９１７年提出来的，后来推广到高维欧氏空间．经典 拉东变换实质是沿直线积分，实际应用中拉东变换 的定义被拓展为沿曲线簇积分，被称为广义拉东变 换，如地震数据处理中的抛物拉东变换和双曲拉东 变换都是广义的拉东变换． 定义平面上函数Ｉ厂（ ，Ｙ）的拉东变换为Ｒｆ（Ｌ） ＝Ｊ ，Ｙ）ｄｓ，由积分学知识，Ｊ ，Ｙ）ｄｓ表示函数 ，（ ， ）在积分路径 上的第一型曲线积分．若光滑 曲线 ：｛Ｌ Ｙ＝ （ｔ） ， ∈［ ，卢］，函数 ， ）为定义 ｒ ｒ８ 在 上的连续函数，则Ｊ ，Ｙ）ｄｓ＝Ｊ厂（ （ｔ）， （ｔ））￣／［ （ｔ）］ ＋［ （ｔ）］ ｄ ． 令 表示平面上任何一条直线，方程 ：￣ＣＯＳＯ ＋ｙｓｉｎ０＝ｔ，它的位置由两个参数（ｔ，０）来决定，其 中ｔ表示向量Ｘ＝（ ，Ｙ）在单位向量 ＝（ｃｏｓＯ， ｓｉｎ０）上的投影，即Ｘ・元＝ｔ．将单位向量元＝（ｃｏｓＯ， ｓｉｎ０）逆时针旋转９Ｏ度得单位向量 ＝（一ｓｉｎ０， ｃｏｓＯ），记ｘ・ ＝ｓ，由Ｘ＝￡ ＋ｓ ｎ ，得直线 以ｓ 为参数的参数方程：｛Ｌ ｃｙ＝ ＋ｔｓｉｏ—ｎｓＯ￥０＋－ ｓＣｓ０ｉｎｓ０Ｏ一・根据第一 定义中积分也可写为型曲线积分的参数表达式，现定义参数形式的拉东 变换． 定义：设函数，（ ，Ｙ）沿平面上任何一条直线 ：￣ｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎ０＝ 可积，称 ，０）＝ｆ ｔｃｏｓＯ —ｓｓｉｎ０，ｔｓｉｎ０＋ＳＣＯＳ０）ｄｓ为函数 ，Ｙ）的拉东变换． 说明： （１）习惯上称线积分 ，），） 为投影值・ ＋∞ ．当０＝０时，Ｒｆ（ｆ，０）＝ｊ ，Ｙ）ｄｙ表示在 轴的投影； １ ６ 当ｐ＝詈时，叫 ，詈）＝ ，ｙ） 表示在ｙ 轴的投影． （２）从形式上看，Ｒｆ（ｔ，０）是一个无穷区间上的 广义积分，但在实际应用中函数 ，Ｙ）有紧支集， 即在某个圆外为零，广义积分变成了特定区间上的 定积分． 例１ 对固定的ｒ＞０，定义函数 （ ，Ｙ）＝ 』 ，（ ，ｙ）∈Ｄ，Ｄ是圆｛（ ，ｙ）ｌ ２＋ｙ２≤ｒ２｝，则函 ｔｏ，（ ，Ｙ）隹Ｄ 数 （ ，Ｙ） 的拉东变换 （ ）（ｔ，０） ＝ 『２￣／ｒ 一ｔ ，ｌ ｔ Ｉ≤ｒ １０．Ｉ ｆ Ｉ＞ｒ ‘ 解：在直线 日：￣ＣＯＳＯ＋ｙｓｉｎ０＝ｔ上，由直线的参 数方程ｆ 。。 一 ｉＭ，有 ｚ＋ｙ２：ｔｚ＋ｓ２，因此 ＬＹ ｔｓｉｎ０＋￥Ｃ０Ｓ０ （ ，Ｙ）＝ （ｔｃｏｓＯ—ｓｓｉｎ０，ｔｓｉｎ０＋￥ＣＯＳ０） ｒ１，ｔ ＋ｓ ≤ｒ 【０．ｔ ＋ｓ ＞ｒ２ 显然当ｌ ｔ Ｉ＞ｒ时，Ｒ（Ｚ）（ｔ，０）＝０； 当ｌ ｔ Ｉ≤ｒ时，一 ｒ 一ｔ ≤ｓ≤，／７一ｔ ，对任意０， （ ）（ｔ，０）＝Ｉ （ｔｃｏｓＯ—ｓｓｉｎ０，ｔｓｉｎ０＋￥ＣＯＳ０）ｄｓ ： １ｄ ：２ Ｊ ｒ２一ｔ 说明：从上看出，函数 （ ，Ｙ）的拉东变换 Ｒ（Ｚ）（ｔ，０）其实是直线 ：ＸｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎ０＝ｔ和圆 ｛（ ，Ｙ）Ｉ ＋Ｙ。≤ｒ ｝相交的弦长． 若借助Ｄｅｌｔ 函数 （ ）：』 ， ＝０， ＾Ｊ Ｊ，、／Ｊ 。 ／ ‘ Ｖ＼ ，Ｖ）：／ 一 Ｊ— ｆ．． Ｊ ＼巾＇，／ｕ＼ 一￣ＣＯＳ０一ｙｓｉｎ０１ ｄｘｄｙ． 由拉东变换的定义，不难得到拉东变换的一些 简单性质． （１）平移性质 若 ，Ｙ）＝ｇ（％一ａ，Ｙ一６），贝４ 厂（ｔ，０）＝Ｒｇ（ｔ —ａｃｏｓＯ—ｂｓｉｎ０，０）． （２）旋转性质 若 ，Ｙ）：ｇ（ ｃ０ｓ 一ｙｓｉｎ￣，ｘｓｉｍｐ＋ｙｃｏｓ￣）， 则Ｒｆ（ｔ，０）＝Ｒｇ（ｔ，０＋ ）． （３）伸缩性质 若Ｃ≠０ ，Ｙ）＝ｇ（ＣＸ，ｃｙ），则Ｒｆ（ｔ，０）＝ 第４期 石冶郝等：ＣＴ扫描中的数学——拉东（Ｒａｄｏｎ）变换 奇 （ｃｔ，０）． （４）线性性质 Ｒ（ｑ厂＋６ｇ）（ｔ，０）＝ａＲｆ（ｔ， ）＋ｂＲｇ（ｔ，０）． ２．２ Ｒ 上的拉东变换的逆变换 下面简要说明重构图像的思路． 固定０，将Ｒｆ（ｔ，０）的一维傅里叶变换（关于变 量ｔ）写为 Ｒｆ（ ，０）＝Ｊ ｔ，０）ｅ－ｔｅａｔｄｔ Ｊ ｆ ｔｃｏｓＯ—ｓｓｉｎＯ，ｔｓｉｎＯ＋ ＳＣＯＳＯ、ｄｓｅ一 ｄｔ ＝Ｉ 』 ，（ ，Ｙ）ｅ …卵＋ｙ ｄｘｄｙ ：ｆ ｆ ，Ｙ）ｅ 卜 … 砌 ｄｘｄｙ ＝ （￣ｃｏｓＯ，ｗｓｉｎＯ） 这表明对图像投影Ｒｆ（ｔ，０）的一维傅里叶变换 （关于变量ｔ）等于对图像 ，Ｙ）的二维傅里叶变 换，称为中心切片定理．图像重构就是求投影 ｔ， ０）的逆变换（反演变换）．对一切（ｔ，０）值知道了函 数 ，Ｙ）的拉东变换时，相当于知道了函数 ，Ｙ） 的二维傅里叶变换，因此对，（￣ＣＯＳＯ，ｔｏｓｉｎＯ）作傅里 叶逆变换，从而得到拉东变换的逆变换： ｆ（ｘ，ｙ）＝ ｅｉ（Ｕｘ＋ｖｙ）ｄｕｄ ＝ ～ｆｏ ｔｏｃｏｓＯ，ｔｏｓｉｎＯ … 枷 础 ＝ ～ｆｏ ）ｅｉ￣（ｘｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎＯ）ｒｏｄ ｄ 这些公式只是形式的推导，具体的便于数值计 算的公式可以看文献［３］． ３ ＣＴ的工作原理 ＣＴ是计算机断层扫描（ｃｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄ ｔｏｍｏ— ｇｒａｐｈｙ）的简称，是计算机图像处理在医学领域中应 用的成功范例．ｃＴ的主要结构包括两大部分：ｘ线 体层扫描装置和计算机系统．其工作原理为：人体各 种组织（包括正常和异常组织）对ｘ线的吸收不等， ｃＴ即利用这一特性，将人体某一选定层面分成许多 立方体小块，这些立方体小块称为体素．医学上绘 制计算机断面图的基本问题是：如何利用由位于同 一截面，但方向不同的大量射线所收集的信息，恢复 该截面人体组织的图像，并将其显示在终端屏幕上． ｘ线通过人体测得每一体素的密度或灰度，即为ＣＴ 图像上的基本单位，称为像素．它们排列成行列方 阵，形成图像矩阵．当ｘ线球管从一方向发出ｘ线 束穿过选定层面时，沿该方向排列的各体素均在一 定程度上吸收一部分ｘ线，使ｘ线素衰减．当该ｘ 线束穿透组织层面（包括许多体素）为对面探测器 接收时，可以测得该方向所有体素ｘ线衰减值的总 和．然后ｘ线球管转动一定角度，再沿另一方向发 出Ｘ线束，则在其对面的探测器可测得沿第二次照 射方向所有体素ｘ线衰减值的总和；以同样方法反 复多次在不同方向对组织的选定层面进行ｘ线扫 描，即可得到若干个ｘ线衰减值总和．在上述过程 中，每扫描一次，即可得一方程．该方程中ｘ线衰减 总量为已知值，而形成该总量的各体素ｘ线衰减值 是未知值．经过若干次扫描，即可得一方程组，经过 计算机运算可解出这一方程组，从而求出每一体素 的ｘ线衰减值，因而能分辨出人体内的脂肪、脑髓 液、白质、肌肉等，再经数字信息、模拟信息转换，使 各体素不同的衰减值形成相应各像素的不同灰度， 各像素所形成的矩阵图像即为该层面不同密度组织 的黑白图像． 从数学模型上说，设 （ ，Ｙ）是Ｘ一射线对组织 或器官在点（ ，Ｙ）的衰减系数，厶表示射线源的强 度，即ｘ一射线进入生物组织或器官前的强度，简称 入射强度，穿过生物组织或器官后，ｘ一射线的强度 变为， ，即探测器接收的强度，，０和， 是可以测量 ， ｒ 的．由物理知识， ＝ｅ ， 』１ ，， 、 即 ＪＪ （ ，Ｙ）ｄｓ＝Ｉｎｆ＿、１１，１０ ｌ， 其中Ｌ是ｘ— 射线的透射路径． 在扫描过程中，肛（ ，Ｙ）沿着任一条直线的线积 分都可以通过探测获得，从所有这些积分中可以重 构函数 （ ，Ｙ）． ＣＴ技术就是利用ｘ射线在通过不同物质时的 衰减系数随物质的密度和原子序数而不同这一原理 进行工作的．图像重构的问题就是由测量出来的多 个方向的投影值 （ｔ，０）来求得物体内部多个部位 的衰减系数肛（ ，Ｙ）．当ｘ射线通过人体时，由于内 部器官等组织的密度不同，所以衰减系数就不同．于 是图像重构所求出的 值和断面的各部位应有 值 的对比，便可确定各部位有否病变及病变程度如何； ｃＴ成像相当于对一切已知的Ｒｇ（ｔ，０）值，反求函数 （ ，Ｙ）． １ ７ 首都师范大学学报（自然科学版） ２０１３拄 参 考 文 献 ［１］ 国家数学课程标准研制工作组．普通高中数学课程标准（试验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３：４． ［２］ 数学辞海编辑委员会．数学辞海，第六卷［Ｍ］．山西教育出版社，中国科学技术出版社，东南大学出版社，２００２ ［３］王金平．平面Ｒａｄｏｎ变换的反演公式［Ｊ］．ＣＴ理论应用与研究，２０００，９（１）． ［４］ 杨玉东，范文贵．高中数学新课程——理念与实施［Ｍ］．海南出版社，２００４． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄ Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ‘。・・－＿—— Ｒａｄｏｎ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ Ｓｈｉ Ｙｅｈａｏ ・ Ｙｕ Ｙｕｆｅｎｇ。Ｃｈｅｎｇ Ｘｉａｏｈｏｎｇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｆｉｍａ￣Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｃａｐｉｔａｌ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４８； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｃｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃａｐｉｔａｌ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４８） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｃｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ． 作者简介石冶郝（１９７６一），女，汉族，籍贯湖南，就职于首都师范大学初等教育学院，讲师，现为首都师范大学数学科学学院 在职博士，主要研究方向是函数论中的调和分析及高等数学教育． （上接第８页） Ａ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ Ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｌｉｎｅａｒ Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ Ｍｉｎｅｒｒｏｒ ｆｏｒ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｂｉｎａｒｙ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ —Ｌｉ Ｙｕｅｑｉｎｇ （Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４２） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃａｌｌｙ ｓｔｒｏｎｇ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ ａ ｌａｒｇｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ａ ｆｅｗ ｔｅｒｍｓ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｃａｕｓｅ ａ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｄｅｃｒｅａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ．Ｔｈｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｆａｅｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｘ 一１ ｉｎ Ｆ２，ｔｈｉｓ ｅｏｒｒｅｓｐｏｎ— ｄｅｎｃｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｆｏｒ ２＂ｐ 一ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｉｎａｒｙ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ，ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｔｏ ｄｅｃｒｅａｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｎ ｍｉｎ—ｅｒｒｏｒ（Ｓ），ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｂｉｔｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｅｒｒｏｒ（Ｓ）． ｔｏ ｂｅ ｃｈａｎｇｅｄ ｔｏ ｄｅｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｗｈｅｒｅ Ｐ ｉｓ ａｎ ｏｄｄ ｐｒｉｍｅ ａｎｄ ２ ｉｓ ａ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｒｏｏｔ ｍｏｄｕｌｏ Ｐ ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｅａｍ ｃｉｐｈｅｒ，ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｍｉｎ—１８
