数值分析作业答案第6章part2 第7章1

—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

解 雅可比迭代法的迭代矩阵

雅可比迭代法收敛的充分必要条件是|ab|

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵

100。 3100。 3高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是|ab|32x136.5.对线性方程组121，若用迭代法 x2求解，问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛更快？

解 迭代公式可以写成 迭代矩阵为BIA。由

故矩阵A的特征值为1与4，所以矩阵B的特征值为1，14，因而 这样

所以当0时迭代收敛。

当时，

35252512达到最小值，故时收敛最快。

6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组Axb，证明若

302取A021，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？

212解 雅可比迭代法的迭代矩阵 故雅可比迭代法收敛。

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高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵

故高斯—塞德尔迭代法收敛。

因(BS)1111(BJ)，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。 12126.9.设有线性方程组Axb，其中A为对称正定矩阵，迭代公式 试证明当02时上述迭代法收敛(其中0(A))。

证明 将迭代公式写成

迭代矩阵为BIA，其特征值1(A)。

由1，即1(A)1，得

2故当0时，有02，即1，这时(B)1，故迭代收敛。 (A)7.1.用二分法求方程x2x10的正根，要求误差小于0.05.

解 设f(x)x2x1，因为f(0)10，f(2)10，所以[0,2]为f(x)的有根区间。

又f'(x)2x1，故当0x时，f(x)单调递减，当x时，f(x)1212单调递增。

15*而f，f(0)1，由单调性知f(x)的唯一正根x(1.5,2)。

24根据二分法的误差估计式，要求误差小于0.05，只需

10.05，2k1解得k15.322，故至少应二分6次。具体计算结果见下表。

k ak bk xk f(xk)的符号 0 1 1 1.5 2 2 第 2 页

1.5 1.75 - + 2 1.5 3 1.5 4 1.5625 5 1.59375 因此x*x51.609375。

1.75 1.625 + 1.625 1.5625 - 1.625 1.59375 - 1.625 1.609375 - 第 3 页