宝山区 2020 学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分）
考生注意：
1. 本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
2. 在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
3. 可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.若集合 A (, 3),B (4, ) ，则 A B
．
2. 抛物线 y
2
6x 的准线方程为 ．
．
．（结果用反三角函数表示）.
3. 已知复数 z 满足
1
i （ i 为虚数单位），则 z z 1
4. 设 a (1, 2),b (2,1) ，则 a 和b 的夹角大小为
1
5. 已知二项式 2x ，则其展开式中的常数项为
x
6
．
x 0
6. 若实数 x, y 满足2x y 0 ，则 z 2x y 的最大值为
x y 3 0
．
7. 已知圆锥的底面半径为1，高为 3 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角θ 的大小为 8. 方程cos 2x sin x 0 在区间[0, π] 上的所有解的和为
．
．
那么 f 9. 已知函数 f (x) 的周期为 2 ，且当0 x 1时， f (x) log4 x ，
9
2
．
10. 设数列
S n N * ，均有 S x n 的前 n 项和为 n ，对任意 n x n 1，则 S 6 ．
11. 设函数 f (x) a sin 2x b cos 2x(a,b R) ，给出下列的结论：
②当 a 1, b 0 时， f (2x) 在区间0,
①当 a 0, b 1 时， f (x) 为偶函数；
x
3,b 1 时 ， f ③当 a 2 在区间(2, 2) 上恰有3 个零点；
④当 a 3, b 1 时，设 f (x) 在区间t,t (t R)
4 上是单调函数；
(t) ，则(t) (t) 2 2 .
则所有正确结论的序号是
4
上的最大值为(t) ，最小值为
x0 g x0 成立，则称 f (x) 12. 若定义在 N 上的函数 f (x), g(x) 满足：存在 x0 N ，使得 f
与 g x 在 N 上具有性质 P( f , g) ，设函数 f (x)
ax 1 2
与 g(x) x ，其中， a 0 ，已知
3
f (x) 与 g x 在上不具有性质 P( f , g) ， 将 a 的最小值记为 a0 。设有穷数列bn 满足
b 1 b n n N * , n 504 ，这里a 表示不超过n1 1 1,b 0 0 a 的最大整数。若去掉n b 0 a
2 中的一项b m N * t 后，剩下的所有项之和恰可表为 m
，则b m 的值为
t
二、选择题（本题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结 论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
13. 直线 x 3y 1 0 的一个法向量可以是（
）
D. (1,3)
A. (3, 1) B. (3,1) C. (1,3)
14. “函数 f (x) sin(ωx) （ x, ω R ，且ω 0 ）的最小正周期为 2 ”，是“ ω π ”的（ ）
A.充分非必要条件 C.充要条件
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
15. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这10 个数中任取5 个不同的数，则这5 个不同的数的中位数为 4 的
概率为（ ）
A. 121 B. 21
C. 21
D. 21
16. 下列结论中错误的是（ ）
x 1
A.存在实数 x, y 满足，并使得4(x 1)( y 1) 9 成立；
x y 1 x 1
B.存在实数 x, y 满足，并使得4(x 1)( y 1) 7 成立；
x y 1 C.满足
x 1
，且使得4(x 1)( y 1) 9 成立的实数 x, y 不存在；
x y 1
x 1
，且使得成4(x 1)( y 1) 9 立的实数 x, y 不存在.
x y 1
D.满足
三、解答题（本题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤．
17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，T 为 DD1 上一点，已知 DT 2, AB 4, BC 2 ，
AA1 6 .
（1） 求直线TC 与平面 ABCD 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2） 求点C1 到平面 A1TC 的距离.
18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
m
已知函数 f (x) x (m R) .
x 1
（1）当 m 1 时，解不等式 f (x) 1 f (x 1) ；
（2）设 x [3, 4] ，且函数 y f (x) 3 存在零点，求实数 m 的取值范围.
19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
设函数 f (x) sin(ωx φ) ω 0, φ 的最小正周期为2π ，且 f (x) 的图像过坐
π 2
π 2
标原点.
（1）求ω、φ 的值；
（2）在ABC 中，若 2 f (B) 3 f (C) 2 f ( A) f (B) f (C) f ( A) ，且三边 a,b, c 所
2
2
2
对的角分别为 A, B,C ，试求
b f (B C)
c
的值.
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
x2 2
已知 F1 , F2 分别为椭圆 : y 1 的左、右焦点， M 为 上的一点.
4
（1） 若点 M 的坐标为(1, m)(m 0) ，求F1MF2 的面积 （2） 若点 M 的坐标(0,1) ，且直线 y kx
3
(k R) 与 交于两不同点 A、B ，求证： 5
MA MB 为定值，并求出该定值：
（3） 如右图，设点 M 的坐标为(s,t) ，过坐标原点O 作圆 M : (x s)
2
( y t)2 r 2 （其中r
为定值， 0 r 1且| s | r ）的两条切线，分别交 于点 P,Q ，直线OP,OQ 的斜率分别记为 k1 , k2 .如果 k1k2 为定值，试问：是否存在锐角，使得2 | OP | | OQ | 5 sec？若存在， 试求出的一个值；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
若有穷数列x : x , x ,, x 满足 x x t, x 0（这里i, n N *, n 3,1 i n 1 ，
n
1
2
n
i1 i i
常数t 0 ），则称又穷数列xn 具有性质 P(t) .
（1）已知有穷数列x 具有性质 P(t) （常数t ），且
1
x x
2
1
n
x x x x
3
2
n
n 1
2
n 1 ，试求t 的值；
2
*
（2）设 ai 1 2 ai t 2 ai t 2 （ i, n N , n 3,1 i n 1 ，常数t 2 ），判断有 穷数列an 是否具有性质 P(t 2) ，并说明理由；
（3）若有穷数列yn : y1 , y2 ,, yn 具有性质 P(1) ，其各项的和为 20000 ，将 y1, y2 ,, yn 中 的最大值记为 A ，当 A N * 时，求 A n 的最小值.
