四川省2018年高考文科数学试卷
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用整、笔迹清楚。
2B铅笔填涂；非选择题必须使用
0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。1．i(2+3i)A．32i2．已知集合A
A．33．函数f(x)
e
x
B．32iC．3
1,3,5,7，B2,3,4,5则AB
B．5ex
2
x
2iD．32i
C．3,5D．1,2,3,4,5,7
的图象大致为
4．已知向量a，b满足|a|1，abA．4 B．3
5．从2名男同学和3名女同学中任选
A．0.66．双曲线
xa
22
1，则a(2ab)
C．2
2人参加社区服务，则选中
C．0.4
3，则其渐近线方程为
22
32
D．0
2人都是女同学的概率为D．0.3
B．0.5
yb2x
C2
22
1(a0,b0)的离心率为
A．yB．y55B．14
3xC．yxD．yx
7．在△ABC中，cos
A．428．为计算S1
12
，BC1，AC30199
1100
5，则AB
C．
29
D．25开始
N
i是1i1i1
结束
i0,T1100
否0
序框图，
13
，设计了右侧的程
则在空白框中应填入A．i
B．iC．iD．i
i1i2i3i4
1
NNSNT
TT
输出S
9．在长方体ABCD
A．
22
A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线B．
32
C．
52
AE与CD所成角的正切值为D．
72
10．若f(x)A．
π
cosx
sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是
B．
π
C．
3π
PF1
D．πPF2，且
PF2F1
60，则C的离心率
424
11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若
为A．1
32
B．2
3
C．
312
D．
31
12．已知f(x)是定义域为(,f(50)
)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则
f(1)f(2)
A．
f(3)
50B．0 4小题，每小题
C．2
5分，共20分。
D．50
二、填空题：本题共13．曲线y
2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．
x
2y2y
5≥0,3≥0,则z
14．若x,y满足约束条件
xx
x
y的最大值为__________．
5≤0,
15．已知tanα
5π4
15
，则tanα__________．
16．已知圆锥的顶点为
则该圆锥的体积为三、解答题：共
S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为
__________．
30，若△SAB的面积为8，
70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1
7，S3
15．
（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
2
y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了
t的值依次为1,2,
y与时间变量t的两个线性回归模型．根据
y?
30.413.5t；根据2010
2000年至2016年的数据（时间变量年至2016年的数据（时间变量
,17）建立模型①：
t的值依次为1,2,,7）建立模型②：?9917.5t．y
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）如图，在三棱锥
PABC中，AB
BC
22，
P
PAPBPCAC4，O为AC的中点．
平面ABC；
（1）证明：PO
（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离．
A
B
O
M
C
20．（12分）
3
设抛物线C：y
2
4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8．
（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）已知函数
f(x)
13
x
3
a(x
2
x1)．
（1）若a
3，求f(x)的单调区间；
（2）证明：f(x)只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
4
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
xy
2cosθ,4sinθ,
（θ为参数），直线l的参数方程为
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xy
1tcosα,2
tsinα,
（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)5|xa||x2|．
（1）当a
1时，求不等式
f(x)≥0的解集；（绝密★启用前
2）若f(x)≤1，求5
a的取值范围．
四川省2018年高考文科数学试卷答案
一、选择题
1．D 7．A 二、填空题
13．y=2x–2 三、解答题17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为
2
2．C 8．B
3．B 9．C
4．B 10．C
5．D 11．D
6．A 12．C
14．9 15．
32
6．8π
an=2n–9．
2
（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为18．解：
（1）利用模型①，该地区
2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$y=–30.4+13.519=226.1×（亿元）．
利用模型②，该地区
2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$y=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
（i）从折线图可以看出，
2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
y=–30.4+13.5t上下，
–16．
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，
2010年至2016年的数据对应的点位于一条
利用2010年至2016
直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，年的数据建立的线性模型
$y=99+17.5t可以较好地描述
2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因
此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于
2016年的环境基础设施投资额
220亿元，由模型①得到的预测值
226.1
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
6
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP=23．
连结OB．因为AB=BC=形，且OB⊥AC，OB=
由OP
2
OP⊥AC，且
22
AC，所以△ABC为等
腰直角三角
12
2
AC=2．
OB
2
PB知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=所以OM=
253
12
AC=2，CM=
23BC=
423=
，∠ACB=45°．455
．
，CH=
OCMCsin
OM455
ACB
所以点C到平面POM的距离为20．解：
．
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由
yy
2
k(x1)4x
2
得kx
22
(2k
2
4)x
2
k
2
0．
16k所以AB由题设知
160，故x1x2
2k4
．2
k
4k
2
AF4k
2
BF4
(x11)(x21)
4
2
k
．
k
2
8，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为（
x0，y0），则y0(x0
因此所求圆的方程为(x
3)
2
y2(x3)，即yx5．
x01)
2
5，(y0
x02
1)
2
解得16.
x0y0
3，x0
或2y0
11，6.
(y2)
2
16或(x11)
2
(y6)
2
144．
7
21．解：
（1）当a=3时，f（x）=令f ′（x）=0解得x=3当x∈（–∞，3当x∈（3
13x
3
3x
2
2
3x3，f ′（x）=x
6x3．
23或x=3
23．
23）∪（3
（x）>0；23，+∞）时，f ′
23，3（x）<0．23）时，f ′23），（30，所以f(x)
23，+∞）单调递增，在（0等价于x(x(x
22
2
故f（x）在（–∞，3（2）由于x2设g(x)=
x1
3
3
23，323）单调递减．
xx
2x
2
3
x1
3)
2
3a
0．
xx
2
x1
（x）=3a，则g ′
x1)
≥０，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，
+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而
2
f（x）至多有一个零点．0，f（3a+1）=
13
0，故f（x）有一个零点．
1）=6a又f（3a–
2a
13
6(a
16
)
2
16
综上，f（x）只有一个零点．【注】因为f(x)
13
x1)
13
(x
2
x1)(x13a)，x
2
x1(x
12
)
2
34
0，所以f(13a)
13
0，
f(23a)(x
2
0．
综上，f（x）只有一个零点．22．解：
（1）曲线C的直角坐标方程为当cos当cos
x
2
y
2
416y
1．tan
x
2
tan
，
0时，l的直角坐标方程为0时，l的直角坐标方程为
x1．
t的方程
（2）将l的参数方程代入(13cos
2
C的直角坐标方程，整理得关于
sin)t
8
0．①
)t
2
4(2cos
因为曲线C截直线l所得线段的中点又由①得t1
t2
4(2cos13cos
sin
2
(1,2)在C内，所以①有两个解，设为，故2cos
t1，t2，则t1
t2
0．
)
sin0，于是直线l的斜率ktan2．
23．解：
（1）当a
1时，
8
2x
f(x)
2,12x
可得f(x)（2）f(x)0的解集为{x|21等价于|xa|
x|x
3}．2|4．
4,xx6,x
1,2,2.
而|xa||x
2||a
2|，且当x2时等号成立．故
f(x)1等价于|a
2|4．
由|a
2|4可得a6或a
2，所以a的取值范围是(
,6]
[2,
)．
绝密★启用前
四川省2019年高考文科数学试卷
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用
0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2
≤1}，则A∩B＝（
）A．{﹣1，0，1}
B．{0，1}
C．{﹣1，1}
D．{0，1，2}
2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）
A．﹣1﹣i
B．﹣1+i
C．1﹣i
D．1+i
3．（5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼
梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
5．（5分）函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2
B．3
C．4
D．5
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列
{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（
）
9
）
A．16
7．（5分）已知曲线A．a＝e，b＝﹣18．（5分）如图，点B．8
x
C．4D．2y＝2x+b，则（
D．a＝e
﹣1
y＝ae+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为
B．a＝e，b＝1
C．a＝e
﹣1
），b＝﹣1
，b＝1
N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面
ECD⊥平面ABCD，M是线段
ED的中点，则（
）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的
?为0.01，则输出s的值等于（
）
A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣
10．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若则△OPF的面积为（）A．
B．
C．D．
10
|OP|＝|OF|，
11．（5分）记不等式组表示的平面区域为D．命题p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：?（x，
y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q
这四个命题中，所有真命题的编号是（A．①③
B．①②
）C．②③
R的偶函数，且在（
D．③④
）
12．（5分）设f（x）是定义域为0，+∞）单调递减，则（
A．f（log3
）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2
）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3
）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3
）
二、填空题：本题共13．（5分）已知向量
4小题，每小题5分，共20分。
＞＝
．
．
MF1F2为等
＝（2，2），＝（﹣8，6），则cos＜，
14．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝15．（5分）设F1，F2为椭圆C：腰三角形，则
M的坐标为
+．
3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体
O为长方体的中心，
3
＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△
16．（5分）学生到工厂劳动实践，利用ABCD﹣A1B1C1D1
挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D质量为
g．
E，F，G，H分别为所在棱的中点，
打印所用原料密度为0.9g/cm．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
11
三、解答题：共生都必须作答。第
70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17～21题为必考题，每个试题考
60分。
200只小鼠随机分成
A、B
（一）必考题：共
17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，
B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体
根据试
积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．验数据分别得到如图直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于（1）求乙离子残留百分比直方图中
a，b的值；
5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且
c＝1，求△ABC面积的取值范围．
a，b，c．已知asin
＝bsinA．
．
19．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
AB＝1，BE＝BF＝
12
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面（2）求图2中的四边形ACGD的面积．20．（12分）已知函数
f（x）＝2x﹣ax+2．
3
2
ABC⊥平面BCGE；
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．21．（12分）已知曲线C：y＝（1）证明：直线（2）若以E（0，（二）选考题：共
AB过定点．
）为圆心的圆与直线
AB相切，且切点为线段
AB的中点，求该圆的方程．
[选
，D为直线y＝﹣
上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为
A，B．
10分。请考生在第
]（10分）
22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）如图，在极坐标系
，M3是弧
所在圆的圆心分别是（．
Ox中，A（2，0），B（1，0），（1，
，），C（，），D（2，π），弧，曲线M2是弧
，
），（1，π），曲线M1是弧，曲线
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝
，求P的极坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）+（y+1）+（z+1）的最小值；（2）若（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）≥
2
2
2
2
2
2
成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
13
四川省2019年高考文科数学试卷答案解析
一、选择题：本题共要求的。
1．【分析】解求出B中的不等式，找出
A与B的交集即可．
2
12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．
【点评】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．2．【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位
i的幂运算性质，属于基础题．
3．【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．
【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有再所有的4个人全排列有：A4＝24种排法，利用古典概型求概率原理得：故选：D．
【点评】本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．4．【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．
【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有阅读过《红楼梦》的学生共有作出维恩图，得：
90位，
60位，
100位学生，
70人，由此能求出该学校阅读过《西
p＝
＝
，
4
2
A3A2＝123
种排法，
80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有
14
∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，
＝0.7．
则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：故选：C．
【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．【分析】解函数f（x）＝2sinx﹣sin2x＝0，在[0，2π]的解，即2sinx＝sin2x令左右为新函数（x），作图求两函数在区间的交点即可．
【解答】解：函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sinx﹣sin2x＝0在区间[0，2π]的根个数，即2sinx＝sin2x，令左右为新函数h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，作图求两函数在区间
[0，2π]的图象可知：
3个．
h（x）和g（x），
h（x）和g
h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．
6．【分析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据条件可得，解方程即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
，∴
，
∴
故选：C．
，
15
【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，属基础题．
ae+1+0＝2，可得a，进而得到切点，
7．【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得代入切线方程可得
b的值．
x
x
【解答】解：y＝ae+xlnx的导数为y′＝ae+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为可得ae+1+0＝2，解得a＝e
﹣1
y＝2x+b，
，
又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8．【分析】推导出BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，从而直线是相交直线，设
DE＝a，则BD＝
，BE＝
＝
，从而BM≠EN．
ECD⊥平面ABCD，M是线段
BM，EN
【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ED的中点，
∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝∴BM＝
a，EN＝
，BE＝
＝a，
＝
，
∴BM≠EN，故选：B．
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
9．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
16
s的值，模拟程序的
【解答】解：第一次执行循环体后，再次执行循环体后，再次执行循环体后，…由于
＞0.01，而++++…+…s＝1+s＝1+
，x＝+
s＝1，x＝，不满足退出循环的条件
x＜0.01；
x＜0.01；
，不满足退出循环的条件
，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
＜0.01，可得：，x＝＝2﹣
，此时，满足退出循环的条件．
x＜0.01，
当s＝1+
输出s＝1+故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，属于基础题．
10．【分析】由题意画出图形，不妨设
当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，
F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点，求出P点
坐标，得到sin∠POF，再由三角形面积公式求解．【解答】解：如图，不妨设
F为双曲线C：
﹣
＝1的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，a＝4，b＝5，则
x+y＝9．
2
2
22
，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为
联立，解得P（，）．
∴sin∠POF＝则
故选：B．
．
．
17
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．【分析】由不等式组画出平面区域为D．在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可．
【解答】解：作出等式组的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：
命题p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；
命题q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；故答案①③真，正确．故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】根据log34＞log33＝1，【解答】解：∵f（x）是定义域为∴
，
R的偶函数
，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断．
∵log34＞log33＝1，
，
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴
故选：C．
＞＞，
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题．二、填空题：本题共
4小题，每小题
5分，共20分。
13．【分析】数量积的定义结合坐标运算可得结果【解答】解：||＝||＝
＝2
＝2×（﹣8）+2×6＝﹣4，，＝10，
18
cos＜，＞＝＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力．14．【分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前
n项和公式求解．
，
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．则
故答案为：100．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前
n项和，是基础的计算题．
．
15．【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能
可得|MF1|
|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．
+
＝1的a＝6，b＝2
，c＝4，
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：e＝
＝
，
由于M为C上一点且在第一象限，可得△MF1F2为等腰三角形，可能即有6+6﹣
|MF1|＞|MF2|，
|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
；
m＝8，即m＝3，n＝
m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
）．
）．
可得M（3，故答案为：（3，
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．【分析】该模型体积为
（cm），再由3D打印所用原料密度为【解答】解：该模型为长方体长方体的中心，
E，F，G，H，分别为所在棱的中点，∴该模型体积为：
19
3
﹣VO﹣EFGH＝6×6×4﹣
3
＝132
0.9g/cm，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．
O﹣EFGH后所得的几何体，其中
O为
ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥
AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，
﹣VO﹣EFGH
＝6×6×4﹣
＝144﹣12＝132（cm），∵3D打印所用原料密度为
0.9g/cm，不考虑打印损耗，
132×0.9＝118.8（g）．
3
3
∴制作该模型所需原料的质量为：故答案为：118.8．
【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：共生都必须作答。第
70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17～21题为必考题，每个试题考
60分。
a，b．
（一）必考题：共
17．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于根据直方图得到
P（C）的估计值为
0.70．
5.5”，
则由频率分布直方图得：
，
解得乙离子残留百分比直方图中
a＝0.35，b＝0.10．
（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：
＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值为：
＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．
【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
18．【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
20
（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得
a+a﹣a+1＞1且1+a﹣a+1＞a，求
2222
得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：（1）asin
＝bsinA，即为asin
cossinA，
＝acos＝bsinA，
可得sinAcos＝sinBsinA＝2sin∵sinA＞0，∴cos＝2sin
cos，
若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin
＝
，
；
c＝1，
＝
2
2
由0＜B＜π，可得B＝
（2）若△ABC为锐角三角形，且由余弦定理可得
b＝
，
2
2
由三角形ABC为锐角三角形，可得解得
＜a＜2，
a?sin
＝
a+a﹣a+1＞1且1+a﹣a+1＞a，
可得△ABC面积S＝a∈（，）．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．
19．【分析】（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）连接BG，AG，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值．
【解答】解：（1）证明：由已知可得则AD，CG确定一个平面，从而由四边形ABED为矩形，可得由△ABC为直角三角形，可得
AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG，
A，C，G，D四点共面；AB⊥BE，AB⊥BC，
又BC∩BE＝E，可得AB⊥平面BCGE，AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；（2）连接BG，AG，
由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，
21
在△BCG中，BC＝CG＝2，∠BCG＝120°，可得BG＝2BCsin60°＝2可得AG＝
在△ACG中，AC＝可得cos∠ACG＝则平行四边形
＝
，
，
，
，
，CG＝2，AG＝
＝﹣
，即有sin∠ACG＝×
＝4．
ACGD的面积为2×
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查推理能力，属于中档题．
20．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，在区间[0，1]的最小值为
a分类求解原函数的单调性；
，1）上单调递增，求得
f（x）
）上单调递减，在（
，最大值为f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．得到M﹣m＝
，分类求得函数值域，可得M﹣m的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝6x﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f′（x）＝0，得x＝0或x＝
．
）时，f′（x）＞0；当x∈（0，
）上单调递增，在（
0，
）上单调递减；
）时，f′（x）＜0．
2
若a＞0，则当x∈（﹣∞，0）∪（故f（x）在（﹣∞，0），（
若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＜0，则当x∈（﹣∞，故f（x）在（﹣∞，
）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（
，0）时，f′（x）＜0．
），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；
，1）上单调递增，
（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，∴f（x）在区间[0，1]的最小值为
）上单调递减，在（
，最大值为f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．
22
于是，m＝，M＝．
∴M﹣m＝．
当0＜a＜2时，可知2﹣a+当2≤a＜3时，
单调递减，∴M﹣m的取值范围是（
，1）．
）；
单调递增，∴M﹣m的取值范围是[
，2）．
综上，M﹣m的取值范围[
【点评】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归
与转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．21．【分析】（1）设D（t，﹣
，则），A（x1，y1）
，利用导数求斜率及两点求斜率可得
2tx1﹣2y1+1
＝0，设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0，得到直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0，再由直线系方程求直线AB过的定点；
（2）由（1）得直线AB的方程y＝tx+得线段AB的中点M（t，
），再由
，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求
，可得关于t的方程，求得
t＝0或t＝±1．然后分类
求得||＝2及所求圆的方程．
），A（x1，y1），则
，
【解答】（1）证明：设D（t，﹣
由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．
设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，
）；
．
，
（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+
由，可得x﹣2tx﹣1＝0．
2
23
于是
设M为线段AB的中点，则M（t，由于
2
．
），
，
与向量（1，t）平行，
，而
∴t+（t﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，|当t＝±1时，|
|＝2，所求圆的方程为|＝
，所求圆的方程为
；
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（二）选考题：共
10分。请考生在第
]（10分），
，
所在圆的圆心分别是（
1，0），（1，
），（1，π），结合极坐标方程
22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选
修4-4：坐标系与参数方程22．【分析】（1）根据弧进行求解即可；
（2）讨论角的范围，由极坐标过程【解答】解：（1）由题设得，弧2cosθ，
则M1的极坐标方程为M3的极坐标方程为
|OP|＝，
，
，进行求解即可得P的极坐标；
ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣
所在圆的极坐标方程分别为
ρ＝2cosθ，（0≤θ≤
），M2的极坐标方程为
ρ＝2sinθ，（≤θ≤），
ρ＝﹣2cosθ，（≤θ≤π），
（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）知，若0≤θ≤若若
≤θ≤
，由2cosθ＝，由2sinθ＝
得cosθ＝得sinθ＝得cosθ＝﹣
，得θ＝，得θ＝，得θ＝
24
，或
，
，
≤θ≤π，由﹣2cosθ＝
综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查极坐标方程的应用，关键．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）运用柯西不等式可得（结合极坐标过程公式求出对应点的极坐标方程是解决本题的
1+1+1）[（x﹣1）+（y+1）+（z+1）]≥（x﹣1+y+1+z+1）
2222222
＝4，可得所求最小值；（2）运用柯西不等式求得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2
的最小值，由题意可得
不大于最小值，解
不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，由柯西不等式可得
（12
+12
+12
）[（x﹣1）2
+（y+1）2
+（z+1）2
]≥（x﹣1+y+1+z+1）2
＝4，可得（x﹣1）2
+（y+1）2
+（z+1）2
≥
，
即有（x﹣1）2
+（y+1）2
+（z+1）2
的最小值为；
（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2
，可得（x﹣2）2
+（y﹣1）2
+（z﹣a）2
≥
，
即有（x﹣2）2
+（y﹣1）2
+（z﹣a）2
的最小值为，
由题意可得
≥
，
解得a≥﹣1或a≤﹣3．
【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．
25
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