2020年上海市青浦区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 已知a，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠
日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 记椭圆
上时，
围成的区域含边界为的最大值分别是
，
，
，则
2，
，当点
分别在
，
，
A.
4. 已知函数当
当
B. 4 C. 3
，关于x的方程
在
在
在在
D.
时，方程
时，方程
有以下结论：
内最多有3个不等实根；
内有两个不等实根；
． ．
若方程若方程
其中所有正确结论的序号是
内根的个数为偶数，则所有根之和为内根的个数为偶数，则所有根之和为
B. C.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 已知全集，集合，则集合6. 已知i为虚数单位，复数的共轭复数7. 已知函数8. 若9. 双曲线
，则方程
的展开式中
的解
A. D.
______．
______． ______．
的系数是80，则实数a的值是______ ．
的一个焦点到一条渐近线的距离是______．
，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积的最小值为______． ，
4，
，则函数
满足
，
，则
与
的夹角为______．
10. 用一平面去截球所得截面的面积为
是______． 11. 已知x，12. 已知平面向量13. 设14. 已知函数
3，
且，满足，
，则
是减函数的概率为______．
，则实数a的取值范围是______．
，若存在实数
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15. 已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为
的三个顶点的横坐标之和为______．
16. 定义函数，其中表示不小于x的最小整数，如，
当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 如图，在正四棱柱中，．
求直线与平面ABCD所成的角的大小； 求异面直线与所成角的大小．
18. 已知函数
若函数若存在
的图象关于直线，使
．
对称，求a的最小值； 成立，求实数m的取值范围．
，则，______．
19. 常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的
发车时间间隔单位：分钟满足，经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．
求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
若该线路每分钟的净收益为线路每分钟的净收益最大？
元，问当发车时间间隔为多少时，该
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20. 已知椭圆
过
的左、右焦点分别是
，
，其长轴长是短轴长的2倍，
且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． 求椭圆C的方程；
点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且
，
的斜率分别为
，
，若
，证明
为定值，
只有一个公共点，设直线
并求出这个定值；
点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点
，求m的取值范围．
21. 对于无穷数列、，，若，，
则称数列是数列的“收缩数列”其中、分别表示，，，中的最大项和最小项．已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”．
若，求数列的前n项和； 证明：数列的“收缩数列”仍是；
若
，求所有满足该条件的数列
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：当时，成立． 当，时，满足成立，但不成立． “”是“”充分不必要条件． 故选：A．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 2.答案：C
解析：解，设大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列，，它们的前n项和分别为，， 则，，是以1为首项，2为公比的等比数列，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
令，即，解得，
故选：C．
将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列，，它们的前n项和分别为求n即可．
本题考查了等比数列的前n项和，属基础题． 3.答案：D
，，令，
解析：解：椭圆的参数方程为：为参数，
，
． ．
故选：D．
先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：为参数，再由三角
函数知识求的最大值，从而求出极限的值．
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本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用． 4.答案：C
解析：解：由已知得
，做出图象如下：
由得：
．
显然
，
，舍．
原方程的根看成与的交点的横坐标． 对于，如图所示：因为，当时，，时，分别有2个、1个、0个交点，故正确；
与恰好有三个交点；当
对于，结合可知，时，有3个根，故错误； 对于，如图所示，由题意，只能满足：只与象各有两个交点．
在，，上的图
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易知这六个零点分别关于
．
对称，所以六个根的和为：
故正确，错误． 故正确命题的序号是． 故选：C． 先研究在内的图象，求其值域，进而研究方程两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．
本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．
5.答案：
解析：解：由题知全集，集合，故， 故答案为：．
由补集的定义直接可以得出．
本题主要考查的是补集及其运算，是道基础题．
6.答案：
解析：解：i为虚数单位， 复数的共轭复数． 故答案为：． 复数的共轭复数．
本题考查复数的共轭复数的求法，考查共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
7.答案：
解析：解：函数则方程
故答案为：．
的解
，
．
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利用互为反函数的性质即可得出．
本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8.答案：2
解析：解：由题意可得，令
可得
故答案为：2 由题意可得，
，令
可得
，则有
，从而可求
本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础试题． 9.答案：2
解析：解：双曲线
．
故答案为：2．
求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
10.答案：
解析：解：用一平面去截球所得截面的面积为 ， 小圆的半径为；
已知球心到该截面的距离为1 cm， 球的半径为：
， 的一个焦点
到一条渐近线
的距离：
该球的表面积是． 故答案为：16．
由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．
本题考查球的截面小于的半径、球心到球的截面的距离与球的半径之间的关系，是基础题．
11.答案：
解析：解：由已知：当且仅当
时等号成立，则
的最小值为
，
，
故答案为：．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
12.答案：
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解析：解：根据题意，设又由若解可得：则
；
． 与，则，则有，
与的夹角为， ，
，
故答案为：根据题意，设
的夹角为，由的坐标求出的值，进而由数量积的计算公式可得
，计算可得
的值，分析可得答
案．
本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
13.答案：
解析：解：基本事件总数函数函数
，函数
故答案为：． 基本事件总数
，由函数
是减函数，得有6个，由此能求出函数
，利用列举法求出函数
是减函数的概率．
，
3，
，
，
4，
，
是减函数，，
有： ，共6个， ．
是减函数包含的基本事件，
，
，
是减函数的概率
是减函数包含的基本事件
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
14.答案：
在
，可得
递增，
的图象与直线
解析：解：函数若存在实数满足即方程有解． 由
，可得
有交点，
，即有，
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而可得则
在递增，递减，
，
的最大值为，此时
，即a的取值范围是
故答案为：判断
在定义域内递增，结合条件可得的图象与直线有交点，即方程有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围．
本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
15.答案：
解析：解：设点
，，
，，则，，
不放设又
，且直线AB的倾斜角为
为等边三角形，则
，
，
． 故答案为：
．
设出点A，B，C的坐标，根据题意，利用两点之间斜率的关系表示出横坐标与斜率的关系，再由三角形为等边三角形，得到另外两边的斜率大小，进而表示出，再由正切的和差角公式展开计算得答案．
本题主要考查抛物线的性质，考查直线斜率的求法以及正切和差角公式的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
16.答案：
时，
，
有1个；当时，共有
，
，所以
，时，
有n个．
所在的区间为
，共n个，
有2个；当时，
，区间
解析：解：由题意得：当长度为n，
取到的整数为
所以，当时，3个；，当所以故
时，．
有
个数．
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故答案为：．
当时，，所以所在的区间为，区间长度为n，取到的整数为，，，，共n个，则由此可求得． 本题考查新定义问题，注意分析所在的区间长度，从而确定的个数．考查学生的逻辑推理和数算能力，属于中档题．
，在正四棱柱中，17.答案：解：设
， ，，， 平面ABCD，A是垂足， 是与平面ABCD所成的角，
，
．
与平面ABCD所成的角的大小为
，
，
是异面直线，
． 与
所成角，
，
．
异面直线
与
所成角的大小为
．
解析：由平面ABCD，A是垂足，得是与平面ABCD所成的角，由此能求出
与平面ABCD所成的角的大小． 由，得是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．
本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 18.答案：解：因为
所以函数从而由题可知当当
的图象的对称轴由下式确定：
． 时，a有最小值时，
；
，
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从而由
可知：
，则
或
．
解析：
先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将
化成
，最后根据正
弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；
根据
的范围求出
的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求
出m的范围．
本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．
19.答案：解：由题意知，，为常数，
，
，
，
；
由
，可得
，
当当且仅当当
时，
时等号成立； 时，
，当
，
时等号成立，
当发车时间间隔为答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
解析：
由题意知
可求，进一步求得
得答案；
，
，
为常数，再由
求得k，则
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由，可得，分段求最
值得答案．
本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
20.答案：解：
由题意知又
，
由于，即
． ，所以
，将代入椭圆方程，得．
，．
．
所以椭圆C的方程为
设
，则直线l的方程为
联立得，
整理得由题意得又又知所以因此
设所以直线
，
，即，所以
，
，
为定值，这个定值为
，又的方程分别为
．
． ，
，
，
，故
．
．
由题意知．
由于点P在椭圆上，所以．
所以．
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因为，，可得，
所以因此
，
．
解析：由长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
设直线l的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k与P的横纵坐标的关系，再由P在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线，的斜率分别为，与P的坐标的关系，进而可得
为定值
；
设P的坐标，由可得焦点，的坐标，求出直线，的方程，由角平分线的性质，M到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m与P的横坐标的关系，再由P在椭圆上可得P的横坐标的取值范围求出m的范围．
本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题．
，可得为递增数列， 21.答案：解：由
所以， 故
的前n项和为证明：因为
，2，3，
所以所以又因为所以
由当当当若若所以若
时，时，时，
；
，即
，所以
，与
；
， 矛盾； ，
2，3，
，所以
的“收缩数列”仍是
，
，
；
，可得
；
，2，3，，
，
，
，即
，则，所以由可得，则，所以由可得与同号，这与矛盾； ，则，由可得．
猜想：满足
，
经验证，左边右边
的数列是：
， ．
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下面证明其它数列都不满足的题设条件． 由上述时的情况可知，时是成立的． 假设
是首次不符合
的项，则
，
式化简可得
，所以由
与可得矛盾；
化简可得
矛盾；
，
，
由题设条件可得若若所以所以这与假设
，则由，则
与同号，这与，则，所以由矛盾．
．
所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，．
解析：判断为递增数列，由“收缩数列”的定义求得，再由等差数列的求和公式，可得所求和；
由题意可得，2，3，，
2，3，2，3，，，推得，
结合“收缩数列”的定义，即可得证；
由题意计算的数列
是：
，，，猜想：满足
，再由反证法，通过推理论证得到矛盾，即可得
到结论．
本题考查数列的新定义的理解和运用，考查列举法和反证法的运用，以及化简运算能力、推理能力，是一道难题．
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