2021年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学试卷及详解

（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式

P( A  B)  P( A)  P(B) 如果事件 A、B 相互，那么

P( A  B)  P( A)  P(B)

S  4R 2

其中 R 表示球的半径

球的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次重复试验中恰好发生 k 次的概率

4

V  R 3

3

其中 R 表示球的半径

P (k)  C P (1  P)n n

kknk

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合 U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4} ，则 CU（A∩B）=

（A）{2，3} （B） {1，4，5}

1 2

（C）{4，5} （D）{1，5}

2、函数 y  ln(2x  1), (x   ) 的反函数是

（A） y  e  1 (x  R )

1 x

2

（B） y  e2 x  1 (x  R )

x

1 x

（C） y  (e  1  (x  R) （D） y  e 2  1 (x  R )

2

3、 设平面向量 a  (3, 5   b  (2,1) ，则 a  2b =

（A）（7，3）

（B）（7，7）

（C）（1，7）

（D）（1，3）

4、(tanx+cotx)cos2x=

（A）tanx

2

（B）sinx （C）cosx （D）cotx

5、不等式| x x | 2 的解集为

（A）（－1，2） （B）（－1，1）

（C）（－2，1）

（D）（－2，2）

6、将直线 y  3x 绕原点逆时针旋转 90°，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为

11

（A） y   x  （B） y   x  1 （C） y  3x  3

3 3 3

1

（D） y  3x  1

5

7、△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边边长分别是 a、b、c ，若 a  b

2

，A=2B，则 cosB=

5

（A） 53

（B）

4

5（C）

5

5（D） 6

1

8、设 M 是球 O 的半径 OP 的中点，分别过 M、O 作垂直于 OP 的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为

（A） 14

（B） 12

（C） 3

2（D） 4

3

9、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f ( x) • f ( x  2)  13, f (1)  2, 则 f (99) 

（A）13

（B） 2

（C）

2 13

（D） 2

13

10、设直线 l  平面，过平面外一点 A 且与l 、都成 30°角的直线有且只有

（A）1 条

（B）2 条

（C）3 条

（D）4 条

x2 y2 11、已知双曲线C :   1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，P 为 C 的右支上一点，且| PF2 || F1F2 | ，

9 16 则△PF1F2 的面积等于

（A）24

（B）36

（C）48

（D）96

12、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 60°的菱形，则该棱柱的体积为

（A） 2

（B） 2 2

（C） 3 2

（D） 4 2

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。

13、(1  2 x)(1  x)的展开式中 x 的系数是

3 4

。

2

14、已知直线l : x  y  4  0，圆C : (x  1) ( y  1) 2 ，则 C 上各点到l 的距离的最小值是 。

2

15、从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法有

种。

。

16、设数列an中， a1  2 ， an1  an  n  1，则通项 an = 2

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）

数 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题答题卡：

2 题号 1

选项 第Ⅰ卷

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

二、填空题答题卡：

⒔

得分

评卷人

。⒕ 。⒖ 。⒗ 。

三.解答题 共 6 个小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分 12 分）

求函数 y  7  4 sin x cos x  4 cos x  4 cos x 的最大值与最小值．

2

4

得分 评卷人

互的.

(Ⅰ)求进入该商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(Ⅱ)求进入该商场的 3 位顾客中，至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率；

18．（本小题满分 12 分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率为 0.5，购买乙商品的概率为 0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互，各顾客之间购买商品是相

得分

评卷人

19．（本小题满分 12 分）

如图，面 ABEF⊥面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，

1

∠BAD=∠FAB=90°，BC∥ AD，BE∥ AF，G、H 分别是 FA、FD 的中点。

2 2 1

(Ⅰ)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；

(Ⅱ)C、D、E、F 四点是否共面？为什么？ (Ⅲ)设 AB=BE，证明：平面 ADE⊥平面 CDE.

F G E H

A B 得分

评卷人

D

C

20．（本小题满分 12 分）

设 x=1 和 x=2 是函数 f (x)  x ax bx 1 的两个极值点. (Ⅰ)求a、b 的值；

3

5

3

(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.

得分

评卷人

21．（本小题满分 12 分）

已知数列an的前 n 项和 S  2a n

n n  2, (Ⅰ)求 a3、a4 ；

(Ⅱ)证明：数列an12an是一个等比数列。 (Ⅲ)求an的通项公式。

得分

评卷人

22．（本小题满分 14 分）

设椭圆 x2

y2

2 

 1(a  b  0) 的左、右焦点分别是 F2

1 和 F2e  ，

ab2 ，离心率 2 点 F2 到右准线l 的距离为 2 .

(Ⅰ)求 a、b 的值；

(Ⅱ)设 M、N 是右准线l 上两动点，满足 F1M • F2M  0.

证明：当 MN . 取最小值时， F2F1  F2M  F2N  0 .

4

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（文科）及详解详析

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意事项：

1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在．答．题．卡．上．书写。在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：

如果事件 A、B 互斥，那么

球的表面积公式

P  A  B  P  A P B

S  4R2

如果事件 A、B 相互，那么

其中 R 表示球的半径

P  A B  P  A P B

球的体积公式

如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 p ，那么

V  43

R3 n 次重复实验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

其中 R 表示球的半径

P k   C k k

nk

n n p1 p , k  0,1, 2,, n







第Ⅰ卷

一．选择题：

１．设集合U  1, 2, 3, 4, 5, A  1, 2, 3, B  2, 3, 4，则ðU  A  B ( B ) （Ａ） 2, 3

（Ｂ） 1, 4,5

（Ｃ） 4, 5

（Ｄ） 1, 5



【解】：∵ A  1, 2, 3, B  2, 3, 4 ∴ A  B  2, 3



又∵U  1, 2, 3, 4, 5∴ ðU  A  B  1, 4, 5故选 B； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； ２．函数 y  ln 2x 1 x  

1 

的反函数是( C )

 

2 

5

（Ａ） y  ex 1x  R 

1

2

1

（Ｂ） y  e2 x 1x  R 

x

（Ｃ） y 



e2

x

1 x  R

（Ｄ） y  e2 1 x  R

1 y 1 x

、（Ｄ） 【解】：∵由 y  ln 2x 1反解得 x  e1∴ y  e1从而淘汰（Ｂ）2 2

11

又∵原函数定义域为 x   ∴反函数值域为 y   故选 C；

2 2

【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性；

【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰； 3．设平面向量 a  3, 5,b  2,1，则 a  2b  ( A )

（Ａ） 7, 3



（Ｂ） 7, 7（Ｃ） 1, 7（Ｄ） 1, 3

【解】：∵ a  3, 5,b  2,1∴ a  2b  3, 5 2 2,1  3  4，5  2  7，3 

故选 C；

【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算； 【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键； 4． tan x  cot xcosx  ( D )

2

（Ａ） tan x （Ｂ） sin x （Ｃ） cos x （Ｄ） cot x

【解】：∵ tan x  cot xcos2 x    sin x cos x  2 x  2

 cosx  cos

sin x cos x cos x sin x 

cos x

  cot x 故选 D； sin x

sin2 x  cos2 x

【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；

sin x cos x

【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意sin2 x  cos2 x  1, tan x  ； , cot x 

cos x sin x 5．不等式 x x  2的解集为( A ) （Ａ） 1, 2

（Ｂ） 1,1

（Ｃ） 2,1

（Ｄ） 2, 2

2



 R x2  x  2  0  x

【解】：∵ x x  2 ∴ 2  x x  2 即 ， ， 

2

 x x  2  0 1  x  2

2

2



∴ x  1, 2故选 A；

【点评】：此题重点考察绝对值不等式的解法；

【突破】：准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证 淘汰法；



6

6．直线 y  3x 绕原点逆时针旋转90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )

0

1

（Ｂ） y   x 1

3

（Ｄ） y  1 x 1 （Ｃ） y  3x  3

3

1

【解】：∵直线 y  3x 绕原点逆时针旋转900 的直线为 y   x ，从而淘汰（Ｃ），（D）

3

1 11 1

又∵将 y   x 向右平移１个单位得 y  x 1，即 y  x 故选 A；

3 3 3 3 1 1

（Ａ） y  x 

3 3

【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

7． ABC 的三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ，若 a 

5 b, A  2B ，则cos B  ( B ) 2

56

（Ａ）

5 3

（Ｂ）

5 4

（Ｃ）

5 5

（Ｄ）

 5 a  b 【解】：∵ ABC 中2  A  2B

 5 sin A sin B 5 故选 B； ∴ cos B  4 ∴  2

sin A  sin 2B  2 sin B cos B 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；

【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角 形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角 的统一，函数的统一，降次思想的应用。 ８．设 M 是球心O的半径OP 的中点，分别过 M , O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则 这两个圆的面积比值为：( D ) （Ａ） 1 4

（Ｂ） 1

2

（Ｃ） 2

3

（Ｄ） 3 4

【解】：设分别过 M , O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为 r1 , r2 ，球半径为 R ，

2

 1  3 2 2 2

则： r  R 2 R 4 R,r  R

1 2  

3 3 2 2 3 2 2

∴ r : r  R: R ∴这两个圆的面积比值为： 1 2

4 4 4

2

2

故选 D

【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；

【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；

9．函数 f x满足 f x f x  2  13，若 f 1  2 ，则 f 99  ( C )

7

（Ａ）13 （Ｂ） 2

13 （Ｃ）

2

【解】：∵ f x f x  2  13且 f 1  2

13

13 13

∴ f 1  2 ， f 3   ，

（Ｄ） 2



13 13  ， f 9 13

 2 ， f 7 f 5 

f 3f 5 2 ，， f 52











13



f 1 2

 2

∴ f 2n 1  

13  2

n为奇数 n为偶数

，∴ f 99  f 2100 1 

13 2

故选 C

【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；

【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 10．设直线l  平面，过平面外一点 A 与l,都成30角的直线有且只有：( B )

0

（Ａ）１条

（Ｂ）２条 （Ｃ）３条

0

（Ｄ）４条

【解】：如图，当AOC  ACB  30时，直线 AC 满足条件；

又由图形的对称性，知当AOB  ABC  30时，

直线 AB 满足条件； 故选 B

【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；

【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对 称性；

0

x2 y2

11．已知双曲线C :   1的左右焦点分别为 F1 , F2 ，P 为C 的右支上一点，且 PF2  F1F2 ，

9 16

则 PF1F2 的面积等于( C ) （Ａ） 24

（Ｂ） 36

（Ｃ） 48

（Ｄ） 96

∴ F1 5, 0, F2 5, 0

2

2

【解 1】：∵双曲线C :  y  1中 a  3,b  4, c  5

x

9 16

∵ PF2  F1F2

1 ∴ PF1  2a  PF2  6 10  16

2 1 2

作 PF 边上的高 AF ，则 AF  8 ∴ AF 

102  82  6

故选 C

∴ PF F 的面积为 PF  PF  16 6  48

1

1 2 2 x2 1 2 1

2

y2

F1 5, 0, F2 5, 0【解 2】：∵双曲线C :   1中 a  3,b  4, c  5 ∴

9 16

8

设 P x ，y , x  0， 则由 PF  F F 得x  5 y 2  102

0 0 0

2 1 2

0 0

2

y 0  0 又∵ P 为C 的右支上一点 ∴x 1

2 2



2

0

9 16

2

 x 2 0

∴ y  16 1

0

 9 

2  x 2 0

∴ x  5 16 1  100 即 25x  90x  819  0



21 39

解得 x  或 x    0 （舍去）

0 0 5 5

 9

0 0

 21  1 48  x 2 ∴ y0  16  0 116    1

 5 9 5  9 1 1 48

∴ PF F 的面积为 F F  y  10  48

1 2 2 1 2 0 2 5

2故选 B

【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；

【突破】：由题意准确画出图象，解法 1 利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法 2 利用待定系数法求 P 点坐标，有较大的运算量；

12．若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于( B ) （Ａ） 2

0

（Ｂ） 2 2

1 1 1 （Ｃ） 3 2

1 1 1 1

（Ｄ） 4 2

【解】：如图在三棱柱 ABC  A B C 中，设AA B  AA C  600 ，

由条件有C1 A1B1  60，作 AO  面A B C 于点O ， 1 1 1

0

cos AA B

则cos AA O 1 1  

cos B1 A1O 1

cos 600 1



cos 30 0

3

3 3

∴ sin AA1O 

2 6 6

∴ AO  AA1  sin AA1O  3 3

1

2

0

∴VABC  A1B1 AOC1  SA1B1C1  AO   2 2 sin 60

2 6

 2 2 3

故选 B

【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力； 【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准 确应用是解决此题的关键；

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。

9

13． 1 2x1 x展开式中 x 的系数为 【解】：∵ 1 2x1 x展开式中 x 项为

3

4

3 4

2

。

03 4

C C113 x C112 2xC 0413 12x 4 3 x

0 1 1 0

0 1 ∴所求系数为C C1  C32  4  6  2 3  4 1 

故填 2

【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；

14．已知直线l : x  y  4  0 与圆C : x 1  y 1 2 ，则C 上各点到l 的距离的最小值为

2

2

2

。

【解】：如图可知：过原心作直线l : x  y  4  0 的垂线，则 AD 长即为所求；

∵ C : x 1  y 1 2 的圆心为C 2, 2，半径为

2

2

2

点C 到直线l : x  y  4  0 的距离为 d 

11 4

2

 2 2

∴ AD  CD  AB  2 2  2  2 故C 上各点到l 的距离的最小值为 2

【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；

【突破】：数形结合，使用点C 到直线l 的距离距离公式。15．从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有 140 种。 【解】：∵从 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有10C 种不同挑选方法；

4

从甲、乙之外的 8 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有C 8 种不同挑选方法；

4

∴甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有C 10  C 8  210  70  140 种不同挑 选方法 故填140；

【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；

【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决； 16．设数列a 中， a  2, a

n 1 4 4

n n  1  a  n 1，则通项 a 1 。

n1 n n 2

∴ an  an 1  n  1 1， an1  an2  n  2 1，

【解】：∵ a1  2, an1  an  n 1

10

an2  an3  n  3 1， ， a3  a2  2  1， a2  a1  1 1， a1  2  11

将以上各式相加得： an  n 1 n  2 n  3  2  1  n  1



1n 1n 1 

n 1 n

 n 1 

2

 n 1 

n n 1 2

1

n n 1

故应填



2

2

1；

【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；

【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住 an1  an  n  1中 an1 , an 系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；

三．解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 求函数 y  7  4 sin x cos x  4 cos x  4 cos x 的最大值与最小值。

2

4

【解】： y  7  4 sin x cos x  4 cos x  4 cos x

2

4

 7  2 sin 2x  4 cos2 x 1 cos2 x



 7  2 sin 2x  4 cos2 x sin2 x

 7  2 sin 2x  sin2 2x

 1 sin 2x 6

由于函数 z  u 1 6 在1，1中的最大值为

2

2

z 10 max  11 6 

最小值为

2

2

z min  11 6  6

故当sin 2x  1时 y 取得最大值10，当sin 2x  1时 y 取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

18．（本小题满分 12 分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互，各顾客之间购买商品也是相互的。 （Ⅰ）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

11

（Ⅱ）求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。 【解】：（Ⅰ）记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品，记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，

记C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

P C   P A  B  A  B  P A B  P A B 

 P  A P B  P A  P B 

C  A B A B 0.5 0.4  0.5 0.6  0.5

（Ⅱ）记 A2 表示事件：进入商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

D 表示事件：进入商场的 1 位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

E 表示事件：进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙

种商品；

D  A  B

P D  P A  B  P A P B  0.5 0.4  0.2

2 2

P  A 2   C 2  0.2 0.8  0.096 3 P  A 3   0.2 0.008

  P E   P A1  A2   P A1  P A2  0.096 0.008 0.104

【点评】：此题重点考察相互事件有一个发生的概率；

【突破】：分清相互事件的概率求法；对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；

19．（本小题满分 12 分）

如图，平面 ABEF  平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形，

1 1

BAD  FAB  900 , BC / / AD ， BE / / AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点

 2  2

（Ⅰ）证明：四边形 BCHG 是平行四边形； （Ⅱ） C, D, F , E 四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设 AB  BE ，证明：平面 ADE  平面CDE ；

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12

【解 1】：（Ⅰ）由题意知， FG  GA, FH  HD

所以GH / /



1 2

AD

又 BC / / AD ，故GH / / BC

 2



1

所以四边形 BCHG 是平行四边形。 （Ⅱ） C, D, F , E 四点共面。理由如下：

由 BC / / AF ， G 是 FA 的中点知， BE / / GH ，所以 EF // BG

 2





1

由（Ⅰ）知 BG // CH ，所以 EF // CH ，故 EC, FH 共面。又点 D 在直线 FH 上

所以C, D, F , E 四点共面。







（Ⅲ）连结 EC ，由 AB  BE ， BE / / AG 及BAG  900 知 ABEG 是正方形 故 BG  EA 。由题设知 FA, FD, AB 两两垂直，故 AD  平面 FABE ， 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影，根据三垂线定理， BG  ED 又 ED  EA  E ，所以 BG  平面 ADE

由（Ⅰ）知CH // BG ，所以CH  平面 ADE 。

由（Ⅱ）知 F 平面CDE ，故CH  平面CDE ，得平面 ADE 平面CDE

【解 2】：由平面 ABEF  平面 ABCD ， AF  AB ，得 AF  平面 ABCD ， 以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A  xyz （Ⅰ）设 AB  a,BC  b, BE  c ，则由题设得

A0, 0, 0, B a, 0, 0,C a, b, 0, D 0, 2b, 0, E a, 0, c,G 0, 0, c, H 0,b, c

所以 HG  0,b, 0, BC  0,b, 0 



于是 HG  BC

又点G 不在直线 BC 上

所以四边形 BCHG 是平行四边形。 （Ⅱ） C, D, F , E 四点共面。理由如下：

13

由题设知 F 0, 0, 2c ，所以

EF  a, 0.c ,CH  a, 0.c , EF  CH

又C  EF , H  FD ，故C, D, E, F 四点共面。

（Ⅲ）由 AB  BE 得，所以CH  a, 0, a , AE  a, 0, a 又 AD  0, 2b, 0，因此CH  AE  0,CH  AD  0 即CH  AE,CH  AD

又 AD  AE  A ，所以CH 平面 ADE

故由CH  平面CDFE ，得平面 ADE  平面CDE

【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察 了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；

【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法 1 的关键；在解法 2 中， 准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。

20．（本小题满分 12 分）

设 x  1和 x  2 是函数 f x   x ax bx  1的两个极值点。

5

3

（Ⅰ）求 a 和b 的值； （Ⅱ）求 f x 的单调区间

【解】：（Ⅰ）因为 f x   5x 3ax b

'

4

2

由假设知： f 1  5  3a  b  0

'

f ' 2  24  5  22  3a  b  0

解得 a  25

,b  20 3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

f ' x   5x4  3ax2  b  5 x2 1x4  4  5 x 1 x  2 x 1 x  2 

当 x  , 2 1,1 2,  时， f x   0

'

当 x  2, 1 1, 2时， f x   0

'

14

因此 f x 的单调增区间是, 2, 1,1, 2,  

f x 的单调减区间是2, 1, 1, 2



【点评】：此题重点考察利用导数研究函数的极值点，单调性，最值问题；

【突破】：熟悉函数的求导公式，理解函数极值与导数、函数单调性与导数的关系；重视图象或示 意图的辅助作用。

21．（本小题满分 12 分）

设数列a 项和为 n

n 的前 n n S  2a n  2，

（Ⅰ）求 a1 , a4

（Ⅱ）证明： 

a n1  2a

n

是等比数列；

（Ⅲ）求an 的通项公式

【解】：（Ⅰ）因为 a1  S1 , 2a1  S1  2 ，所以 a1  2, S1  2

由 2a n

n  S n 2知

2a 1  S n1  2 n1 n1

n a n1  S n 2

得 a n  S n1

n  2

①

所以 a  S  22

2 1  2  22

 6, S 2 8

a 3  S 3  8  23  16, S 

2 22 24 a 4 4  S 3

2 40 （Ⅱ）由题设和①式知

a n1  2a n  S n  2n1  S n

2n  2n1  2n

 2n

所以

a n

n1  2a

是首项为 2，公比为 2 的等比数列。

（Ⅲ） a  a  2a

  2 a

 2a

   2n2 a  2a   2n1 a

n n n1

n1

n2 2 1 1

 n 1 2n1

【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等； 15

【突破】：推移脚标两式相减是解决含有 Sn 的递推公式的重要手段，使其转化为不含 Sn 的递推公 式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时应重视首项是否可以被吸收是易错点，同时 注意利用题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节为求解下一问指明方向。

22．（本小题满分 14 分）

设椭圆

x2 a2 y2 b2

2

 1, a  b  0 的左右焦点分别为 F1 , F2 ，离心率e 2 ，点 F2 到右准线为l

的距离为 2

（Ⅰ）求 a, b 的值；

（Ⅱ）设 M , N 是l 上的两个动点， F1M  F2 N  0 ，

证明：当 MN 取最小值时， F1F2  F2 M  F2 N  0 【解】：因为e  ， F 到l 的距离 d   c ，所以由题设得

a

a

c

 a 2 c 2  a  c 

2

 c

2

2

2

2

c

解得c 2, a  2

由b a c 2，得b 2

2 2, 0 ， l 的方程为 x  2



（Ⅱ）由c 2, a  2 得 F1 2, 0, F2 故可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2

1

2





由知 FM  FN  0 知 2 2  2, y 2 2 



1

2, y2  0



6

得 y1 y2  6 ，所以 y1 y2  0, y2  

y1

6

1

MN  y  y  y  6  y   2

1 2 1 1

y1 y1

  

当且仅当 y1   6 时，上式取等号，此时 y2   y1 所以， F1F2  F2 M  F2 N  2 2, 0 2, y1 



 

2, y2



16

 0, y1  y2   0

【点评】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用； 【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思 想在圆锥曲线问题中应灵活应用。

17