2021上海宁区高三数学一模

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

x20的解集为 . x1π2. 函数ysin(2x)的最小正周期为 . 62n11__________． 3. 计算：limnn311. 不等式

4. 数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 . 5. 在(x)的二项展开式中，x项的系数为__________．

6. 若函数yfx的反函数f1xlogaxa0,a1图像经过点(8,)，则f()的

值为 . 7. 若直线

1x623212x1y21k则实数k . 0的法向量与直线xy10的方向向量垂直，

8. 设集合Mxx1，Nb，若M22NM，则实数b的取值范围为 .

y29. 设F为双曲线:x21b0的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的

b圆与双曲线渐近线的两个交点．若PQOF，则b .

10. 在ABC中，AB3，AC2，点D在边BC上. 若ABAD1， ADAC则ABAC的值为 .

11. 设O为坐标原点，从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标x,y、y,x，则AOB2arctan5，31的概率为 . 312. 设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn. 若数列an满足：存在三个不同的正整数r,s,t，使得ar,as,at成等比数列，a2r,a2s,a2t也成等比数列，则为 .

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990S1Sn的最小值

an二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 设复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位），则“a0”是“z为纯虚数”的（ ）. A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件 ；

C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 14. 对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是（ ）.

A．ab2ab； B．ababab；

222C．abab； D．abab.

15. 设m、n为两条直线， 、为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）.

A．若mn，m，n，则； B．若m//n，m，n//，则； C．若mn，m//，n//，则//； D．若m//n，m，n，则//. 16. 设fxxb1kxb22xb3，其中常数k0，b1,b2,b3R.若函数yfx的图像如图所示，则数组b1,b2,b3的一组值可以是（ ）. A. 3,1,1； B. 1,2,1； C. 1,2,2； D. 1,3,1.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为23，底面半径为2． P （1）求该圆锥的侧面积； 为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值． （2）设OA、OB为该圆锥的底面半径，且AOB90，

M

O A M B 高三数学试卷 共4页 第2页

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

设抛物线:y4x的焦点为F，直线l:xmyn0经过F且与交于A、B两点． （1）若AB8，求m的值；

（2）设O为坐标原点，直线AO与的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB与AD的长度都是20米，BAD60，BCD120.

（1）若ADC105，求BC的长（结果精确到米）；

（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.

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220．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设fxx3ax22xxR，其中常数aR. （1）判断函数yfx的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式fx331x在区间[,1]上有解，求实数a的取值范围；

22（3）已知：若对函数yhx定义域内的任意x，都有hxh2mx2n，则函数yhx的图像有对称中心m,n.利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数yfx是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a表示)；若不是，证明你的结论.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

ai2若对于数列an中的任意两项ai、aj ij，在an中都存在一项am，使得am，

aj则称数列an为“X数列”；若对于数列an中的任意一项ann3，在an中都存在两

2ak项ak、alkl，使得an，则称数列an为“Y数列”．

al（1）若数列an为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列an是否为“X数列”，并说明理由；

（2）若数列an的前n项和Sn2n1nN*，求证：数列an为“Y数列”； （3）若数列an为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”， 求证：

a1,a2,a3,a4成等比数列.

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