2020-2021学年四川省高考数学四模试卷(理科)及答案解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置. 1．集合A={x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为 （ ） A．8

B．7

C．4

D．3

2．复数z=，则（ ）

A．|z|=2 B．z的实部为1

C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i

3．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（ ）

A． B． C．2 D．4

4．给出下列四个结论： ①如果

，那么

在方向上的投影相等

②已知平面α和互不相同的三条直线m、n、l，若l、m是异面直线，m∥α，l∥α、且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直 ④设回归直线方程为

，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位

其中正确结论的个数为 （ ） A．1

B．2

C．3

D．4

5．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）

A． B． C． D．

6．已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

7．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y，（x，y∈R），则x+y=（ ）

A．0 B．1 C．5 D．

8．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 9．F为双曲线

的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）满足OF=OP=5，

，则双曲线的离心率为 （ ）

A．

B．

C．2

D．

10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sinx，则以下大小关系一定不正确的是（ ） A．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.） 11．若

，则a1+a2+…+a9的值为______．

D．

B．

C．

2

12．若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是______．

13．如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为______．

14．执行如图所示的程序框图，则输出的i=______．

15．已知函数

的取值范围是______．

xx+12

，g（x）=﹣4+m•2+m+2m﹣1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m

三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．

乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．

（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由； （2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．

17．已知函数

（1）求函数f（x）的频率和初相；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若的面积．

18．已知正项数列{an}的前n项的和是Sn，且任意n∈N+，都有（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=|an﹣20|，求数列{bn}的前n项和Tn．

，x∈R．

，，c=2，求△ABC

．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2（1）求证：PE⊥平面ABCD； （2）若二面角F﹣BE﹣C为30°，设

=λ

，求λ的值． ，PA=ED=2AE=2．

20．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，M为短轴端点，且S△MF1F2=4，

离心率为，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

，证明

21．已知函数f（x）=s﹣ke的图象在x=0处的切线方程为y=x． （1）求s，k的值； （2）若正项数列{an}满足（3）若个数．

，

，证明：数列{an}是递减数列；

﹣x

，当a＞1时，讨论函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象公共点的

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置. 1．集合A={x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为 （ ） A．8

B．7

C．4

D．3

【考点】子集与真子集．

【分析】根据题意，易得集合A中有3个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案

【解答】解：集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，则其子集有2=8个， 故选：A． 2．复数z=

，则（ ）

3

A．|z|=2 B．z的实部为1

C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可． 【解答】解：复数z=

=

=

=﹣1﹣i．

显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确． 故选：D．

3．已知函数f（x）=

，则f[f（2）]=（ ）

A． B． C．2 D．4

【考点】分段函数的应用．

【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可．

【解答】解：函数f（x）=则f（2）=﹣f[f（2）]=f（﹣故选：A．

4．给出下列四个结论： ①如果

，那么

）=

=

，

=．

在方向上的投影相等

②已知平面α和互不相同的三条直线m、n、l，若l、m是异面直线，m∥α，l∥α、且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直 ④设回归直线方程为

，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位

其中正确结论的个数为 （ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①根据向量的数量积以及向量投影的定义进行判断． ②根据线面垂直的判定定理以及异面直线的性质进行判断． ③根据面面垂直的判定定理进行判断． ④根据线性回归直线方程的性质进行判断． 【解答】解：①如果

，

则||||cos＜，＞=||||cos＜，＞， 即||cos＜，＞=||cos＜，＞， 那么

在方向上的投影相等，故①正确，

②∵l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，∴l、m在平面α内的射影是两条相交直线， 且n垂直于平面α内的这两条射影，故n⊥α成立，故②正确．

③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直，这样的平面有且只有一个．故③正确．

④设回归直线方程为故正确是①②③， 故选：C

，当变量x增加一个单位时，平均减少2.5个单位，故④错误，

5．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．

【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案． 【解答】解：由已知中的茎叶图得， 甲的平均成绩为（88++90+91+92）=90； 设污损的数字为x，

则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+， 当x=9，甲的平均数＜乙的平均数， 即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为当x=8，甲的平均数=乙的平均数， 即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为

，

﹣

=．

，

所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣故选：D．

6．已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】等比关系的确定．

【分析】根据题意，当已知条件的等比数列公比为﹣1时，①中的三个数不能成等比数列；而公比为1时②中的三个数不能成等比数列；而②中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列．由此可得本题答案．

【解答】解：对于①，当a，b，c，d成公比等于﹣1的等比数列时， a+b、b+c、c+d都是0，不能构成等比数列； 对于②，由于===q（公比）， 所以可得

=q，且

2

2

=q，

2

=q，得ab，bc，cd成等比数列；

对于③，当a，b，c，d成公比等于1的等比数列时， a﹣b、b﹣c、c﹣d都是0，不能构成等比数列 综上所述，只有②中的三项能成等比数列， 故选：B

7．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y，（x，y∈R），则x+y=（ ）

A．0 B．1 C．5 D．

【考点】向量的三角形法则．

【分析】根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可． 【解答】解：将向量，，放入坐标系中， 则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），

∵=x+y，

∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），

即，解得，

则x+y=故选：D．

，

8．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【考点】计数原理的应用．

【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案

【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有录用两名，有

=36，

=24种，第二类，4名都被录用，则有一家

根据分类计数原理，共有24+36=60（种） 故选D．

9．F为双曲线

的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）满足OF=OP=5，

，则双曲线的离心率为 （ ）

A．

B．

C．2

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】运用余弦定理可得cos∠OFP，求得sin∠OFP，求得P的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式，计算即可得到． 【解答】解：由余弦定理可得cos∠OFP=

=，

则sin∠OFP=

可设P为第一象限的点， 即有P（3，4）， 代入双曲线方程，可得又a+b=25， 解得a=

，b=2

， ．

2

2

=，

，

则离心率为e=故选：B．

10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sinx，则以下大小关系一定不正确的是（ ） A．

D．

B．

C．

2

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣sinx，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可． 【解答】解：令g（x）=f（x）﹣sinx， ∵f（﹣x）+f（x）=2sinx，

∴g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）+f（x）﹣2sinx=2sinx﹣2sinx=0， 即g（﹣x）=﹣g（x）， ∴函数g（x）为奇函数．

∵在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，

∴在（0，+∞）上g′（x）=f′（x）﹣sin2x′（x）＜0， 故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数， 故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数， 由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，

2

2

2

2

22

即g（即f（即有f（

）＞g（π）； ）﹣＞f（π）﹣0； ）＞f（π），

所以B不成立， 故选：B．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.） 11．若

【考点】二项式定理的应用．

【分析】由条件求得a0=1，再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a9=﹣1，从而求得 a1+a2+…+a9的值． 【解答】解：若

令x=1，可得a0+a1+a2+…+a9=﹣1，∴a1+a2+…+a9=﹣2， 故答案为：﹣2．

，则a0=1，

，则a1+a2+…+a9的值为 ﹣2 ．

12．若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是 19 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，由z=|x|+3y，进一步求出目标函数z=|x|+3y的最大值．

【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所示：

z=|x|+3y表示一条折线（图中虚线）， 由

得A（﹣4，5）

代入z=|x|+3y得z=|﹣4|+3×5=19， 当x=﹣4，y=5时，|x|+3y有最大值19． 故答案为：19．

13．如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为 80+4π ．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，利用底面边长高求解即可． 【解答】解：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，

底面边长为4，高为3的长方体， 圆柱的底面半径为1，

2

这个几何体的表面积为2×4×4﹣2π×1+4×4×3+2π×1×3=32﹣2π+48+6π=80+4π

故答案为：80+4π

14．执行如图所示的程序框图，则输出的i= 11 ．

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S≥2016时，退出循环，记录输出i的值即可．

【解答】解：模拟执行程序，可得

S=0，i=1，顺序执行语句，S=2×0+1=1，i=2； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×1+2=4，i=3； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×4+3=11，i=4； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×11+4=26，i=5； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×26+5=57，i=6； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×57+6=120，i=7； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×120+7=247，i=8； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×247+8=502，i=9； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×502+9=1013，i=10； 满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×1013+10=2026，i=11； 不满足条件S＜2016，退出循环，输出i=11． 故答案为：11．

15．已知函数

，g（x）=﹣4+m•2+m+2m﹣1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m

x

x+1

2

的取值范围是 [﹣2，0] ．

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【分析】根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可． 【解答】解：对于函数

，

当x≥0时，f（x）=，∵f′（x）=，在[0，1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，且f（x）＞0． 当x＜0时，f（x）=﹣

，∵f′（x）=

＜0，故函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．

故函数f（x）的增区间为[0，1]，减区间为（﹣∞，0）、（1，+∞）． 故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=＜e，由于f（﹣1）=e， 故当x＞﹣1时，f（x）＜e，

故f（x）的单调性示意图，如图所示：

∴不等式f（g（x））＞e，即为f（g（x））＞f（﹣1），即g（x）＜﹣1． M={x|f（g（x））＞e}=R，等价于 g（x）＜﹣1恒成立，

即﹣4+m•2+m+2m﹣1＜﹣1恒成立，即﹣4+m•2+m+2m＜0恒成立． 设t=2，则t＞0，则不等式等价为﹣t+2mt+m+2m＜0恒成立，

即t﹣2mt﹣m﹣2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，设h（t）=t﹣2mt﹣m﹣2m，

2

2

2

2

x

2

2

x

x+1

2

x

x+1

2

故有①，或②．

解①可得，即﹣2≤m≤0；

解②可得，即m无解．

综上可得，﹣2≤m≤0， 故答案为：[﹣2，0]．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．

乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．

（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由； （2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，利用几何概型求出顾客去甲商场中奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，利用等可能事件概率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在乙商场中奖的可能性大．

（2）由题意知ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，

试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为

．

2

所以，．…3分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B， 则一切等可能的结果有

种，其中摸到的2个球都是红球有．…5分

种．

所以，P（B）=因为P（A）＜P（B），

所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …6分 （2）由题意知ξ的取值为0，1，2 …7分 ∴

，

，

…10分

∴所以ξ的分布列为 ξ P …11分 ξ的数学期望

17．已知函数

（1）求函数f（x）的频率和初相；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若的面积．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到函数的频率和初相． （2）由题意得到【解答】解：（1）∵=2=

sincos+sin+

cos ），

（2cos

2

0

1

2

…12分．

，x∈R．

，，c=2，求△ABC

，由正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案．

，

﹣1），

=2sin（+

∴函数的频率，

初相为，

，

（2）∵在△ABC中，

∴∴

∵0＜A＜π， ∴∴

， ，

，，

，，

又由正弦定理得，解得 ，

∴

．

18．已知正项数列{an}的前n项的和是Sn，且任意n∈N+，都有（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=|an﹣20|，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列递推式；数列的求和．

．

【分析】（1）由已知数列递推式求得首项，再由2an=2Sn﹣2Sn﹣1整理得到an﹣an﹣1=1，可得数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列{an}的通项公式可求；

（2）把数列{an}的通项公式代入bn=|an﹣20|，然后对n分类讨论求得数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）由题意知：当n=1时，2S1=得a1=1（an＞0）；

当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0， ∴an﹣an﹣1=1，

∴数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列， ∴an=n；

（2）由（1）知an=n，

， ，∴

，

∴bn=|n﹣20|，

当n≤20时，Tn=|1﹣20|+|2﹣20|+…+|n﹣20|=20n﹣（1+2+…+n）=

；

当n＞20时，Tn=|1﹣20|+|2﹣20|+…+|20﹣20|+|21﹣20|+…+|n﹣20|=190+1+2+…+（n﹣20） =

=

．

综上：．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2（1）求证：PE⊥平面ABCD； （2）若二面角F﹣BE﹣C为30°，设

=λ

，求λ的值． ，PA=ED=2AE=2．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）证明PE⊥AD．利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABCD即可； （2）以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，求出相关点的坐标，平面BEF的法向量，平面BEC的法向量，利用空间向量的数量积列出方程，即可求解结果． 【解答】解：（1）证明：因为AP=2，AE=1，∠PAD=60°， 所以

．

所以PE⊥AD．…2分

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PE⊥平面ABCD； …4分

（2）由（1）及已知可得：PE、EA、EB两两垂直，EB=3，…5分

∴以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，则

E（0，0，0）、B（0，3，0）、C（﹣2，3，0）、P（0，0，设F（x，y，z）， ∵

=λ

）=﹣λ（x+2，y﹣3，z）， ，，

，

，

），

=（0，3，0），

），

∴（x，y，z﹣解得：∴

=（

…8分

设平面BEF的法向量为

=（x0，y0，z0），则

•

=0，

•

=0，

∴

解得：

∴平面BEF的法向量为=（，0，1）…10分

又 平面BEC的法向量为=（0，0，1） ∵二面角F﹣BE﹣C为30°， ∴|即 解得

•|=|

|•||cos30°，

． …12分．

20．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，M为短轴端点，且S△MF1F2=4，

离心率为，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由M为椭圆短轴端点，且S△MF1F2=4，离心率为能求出椭圆C的方程．

（2）推导出两条射线OA、OB互相垂直，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为原点与直线AB的距离

，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立

，

，列出方程组求出a，b，由此

，证明

，得（1+2k）x+4kmx+2m﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距

222

离公式，结合已知条件能求出弦AB的长度的最小值． 【解答】解：（1）∵椭圆

，M为短轴端点，且S△MF1F2=4，离心率

为，

，

，b=2，…3分

．…4分

，∴

，即两条射线OA、OB互相垂直．…5分 ，

，a=b+c，…2分

2

2

2

∴由题意得解得a=2

∴椭圆C的方程为（2）证明：∵

当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为此时原点与直线AB的距离

，…6分

当直线AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，

解方程组，得x+2（kx+m）=8，

22

即（1+2k）x+4kmx+2m﹣8=0，

则△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣8）=8（8k﹣m+4）＞0，即8k﹣m+4＞0， 2

2

2

2

2

2

2

2

222

∴

，…8分 +km（x2

1+x2）+m

=

+m2

=，

∴x1x2+y1y2=0，∴ =0，

∴3m2﹣8k2

﹣8=0，∴

…9分

∴O到直线AB的距离=

综上：O到直线AB的距离为定值

．…10分

∵OA⊥OB，∴AB2

=OA2

+OB2

≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号． ∴

，…11分

又d•AB=OA•OB，∴，

∴

，

∴弦AB的长度的最小值是．…13分．

21．已知函数f（x）=s﹣ke的图象在x=0处的切线方程为y=x． （1）求s，k的值； （2）若正项数列{an}满足（3）若个数．

【考点】数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得s，k； （2）运用分析法证明，即证可得证； （3）即讨论

的零点的个数，求得h（x）的

，令t（x）=e﹣x﹣1（x＞0），求得导数，单调性，即

x

﹣x

，，证明：数列{an}是递减数列；

，当a＞1时，讨论函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象公共点的

导数，求出单调区间和最小值，讨论0＜t＜1，t=1，t＞1，求得h（x）的最小值与0的大小，即可得到零点的个数．

【解答】解：（1）由题意得f（0）=0，f′（0）=1， 函数f（x）=s﹣ke的导数为f′（x）=ke， 则

，

﹣x

﹣x

解得s=1，k=1；

（2）证明：∵f（x）=1﹣e，正项数列{an}满足

﹣x

，，

∴

数列{an}是递减数列， 可得an+1＜an， 即

，可得

，

，

即有

x

，

令t（x）=e﹣x﹣1（x＞0），

∵t'（x）=e﹣1＞0（x＞0） ∴t（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴t（x）＞t（0）=0，即e＞x+1， 故

，

x

x

∴{an}是递减数列． （3）即讨论对h（x）求导得

易知h'（x）在（0，+∞）上是增函数， ∵h'（0）=1﹣a＜0，

， ，

的零点的个数，

∴，使h'（t）=0，即，

∴h（x）在（0，t）递减，在（t，+∞）递增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（x）min=（1﹣t）（e+t+t+1）， ①当0＜t＜1即

时，h（x）min＞0，

t

2

此时h（x）在（0，+∞）内无零点； ②当t=1即

时，h（x）min=0，

此时h（x）在（0，+∞）内有一个零点； ③当t＞1即

时，h（x）min＜0，

又 h（0）=2＞0，x→+∞时，h（x）→+∞ 所以h（x）在（0，+∞）内有两个零点； 综上：当当当

时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象无公共点；

时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有一个公共点； 时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有两个公共点．