上海建设中学数学初中九年级平行四边形选择题易错题压轴难题练习

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题

1．如图，在ABCD中，AB2AD,F是CD的中点，作BEAD于点E，连接

EF、BF，下列结论:①CBFABF；②FEFB；③2SEFBS四边形DEBC；

④BFE3DEF；其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为( )

A．

525 2B．

55 2C．353

D．

1 43．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN, EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1、S2、S3、S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ）

A．S1= S4 B．S1 + S4 = S2 + S3 C．S1 + S3 = S2 + S4 D．S1·S4 = S2·S3

4．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、

F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若COB60，FOFC2，则下

列结论：①FBOC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB23．其中正确结论的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝

18．其中正确结论的个数是( ) 5

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEAF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BEDFEF；③当DAF15时，

AEF为等边三角形；④当EAF60时，AEBAEF．其中正确的结论是

（ ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④

7．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）

A．0.5 B．2.5

C．2 D．1

8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（ ）

A．先增大，后减小 B．先减小，后增大 C．始终等于2.4 D．始终等于3

9．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=

1BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( ) 4

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（ ）

A．2 B．

5 3C．

5 4D．3 11．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（ ）

A．（－8，0） C．（0，82）

B．（0，8） D．（0，16）

12．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）

A．

122014 B．

122015 C．

122016 D．

122017

13．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )

A．4 6 B．10

C．12

D．16

14．如图，MON90，矩形ABCD在MON的内部，顶点A，B分别在射线

OM，ON上，AB4，BC2，则点D到点O的最大距离是（ ）

A．222 B．222 C．252

D．22

15．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=3 ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）

A．3 B．3 C．2

D．23 16．在ABCF中，BC2AB，CDAB于点D，点E为AF的中点，若

ADE50，则B的度数是（ ）

A．50 B．60 C．70 D．80

17．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）

A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5

18．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，点E，F分别在AD， BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；②EC平分DCH；③线段BF的取值范围为3BF4；④当点H与点A重合时，EF25． 以上结论中，你认为正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

19．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD； ②MN＝NP；

③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM． 其中正确的有（ ）

1AC，M、N、P分别2

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）

A．5 5B．25 5C．35 5D．45 5

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题 1．C 【分析】

由平行四边形的性质结合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，从而可得∠CBF=∠CFB，再根据CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，继而可得CBFABF，可以判断①正确；延长EF交BC的延长线与M，证明△DFE与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=

1EM，证明2∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，继而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，继而可得

2SEFBS四边形DEBC，可判断③正确；过点F作FN⊥BE，垂足为N，则∠FNE=90°，则可得

AD//FN，则有∠DEF=∠EFN，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN，继而得∠BFE=2∠DEF，判断④错误. 【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，AD//BC， ∵AB=2AD，CD=2CF， ∴CF=CB， ∴∠CBF=∠CFB， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF，

∴CBFABF，故①正确； 延长EF交BC的延长线与M， ∵AD//BC， ∴∠DEF=∠M，

又∵∠DFE=∠CFM，DF=CF，

∴△DFE与△CFM(AAS)， ∴EF=FM=

1EM， 2∵BF⊥AD， ∴∠AEB=90°，

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠CBE=∠AEB=90°， ∴BF=

1EM， 2∴BF=EF，故②正确； ∵EF=FM， ∴S△BEF=S△BMF， ∵△DFE≌△CFM， ∴S△DFE=S△CFM，

∴S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC， ∴2SEFBS四边形DEBC，故③正确； 过点F作FN⊥BE，垂足为N，则∠FNE=90°， ∴∠AEB=∠FEN， ∴AD//EF， ∴∠DEF=∠EFN， 又∵EF=FB， ∴∠BFE=2∠EFN，

∴∠BFE=2∠DEF，故④错误， 所以正确的有3个， 故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．A 【分析】

首先证明Rt△AFB≌Rt△AFH，推出BF=FH，设EF=x，则BF=FH=据EF2EH2FH2,构建方程即可解决问题；

1x，在Rt△FEH中，根2【详解】 解：连接AF．

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°， ∵BE=EC=∴AE=1， 2AB2BE25, 2 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1， ∴EH=51， 2∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB， ∴Rt△AFB≌Rt△AFH， ∴BF=FH，设EF=x，则BF=FH=

1x， 2在Rt△FEH中，∵EF2EH2FH2, ∴x2(x)2(∴x1251)2, 2525. 2故选：A． 【点睛】

本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题， 3．D 【分析】

由于在四边形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形．可设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，根据AB=CD，DE=AF，EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案． 【详解】

解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，

∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形， ∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．

设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，

则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，

因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误； S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误； S1+S3=CD•h1，S2+S4=AB•h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；

S1·S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2·S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1·S4=S2·S3， 故D正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高． 4．B 【分析】

连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得出BO=BC，又FO=FC，从而可得出FB⊥OC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形，故③正确；先在Rt△BCF中，可求出BC的长，再在Rt△BCM中求出BM的长，从而可知④错误，最后可得到答案． 【详解】 解：连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点，∴BD也过O点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC， 又FO=FC，BF=BF， ∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，∴①正确；

∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF， ∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四边形EBFD是平行四边形． 又∠EBO=∠OBF，OE=OF， ∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形， ∴③正确；

∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB错误， ∴②错误；

∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF， ∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴BC=23， ∴CM=

1BC=3，∴BM=3，故④错误． 2综上可知其中正确结论的个数是2个． 故选：B． 【点睛】

本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 5．D 【分析】

由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；

设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确；

由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积＝【详解】

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°， ∵CD＝3DE， ∴DE＝2，

∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°， ∴AF＝AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

18，得出④正确． 5AGAG， ABAF∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴①正确；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，

设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2， 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2， ∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2 ∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2 解得：x＝3， ∴BG＝GF＝CG＝3， ∴②正确； ∵CG＝GF， ∴∠CFG＝∠FCG， ∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG， 又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF， ∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF， ∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥CF， ∴③正确；

∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边， 则这两个三角形的高相同．

S∴SCFGCEGFG3， GE5∵S△GCE＝∴S△CFG＝

1×3×4＝6， 2318×6＝， 55∴④正确； 正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】

本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度． 6．A 【分析】

①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，

②设BC=x，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断

BE+DF与EF关系不确定；

③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，

④当∠EAF=60°时，可证明△AEF是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论． 【详解】

解：①四边形ABCD是正方形， ∴AB═AD，∠B=∠D=90°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE＝AF， AB＝AD∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF ∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF， ∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故①正确）． ②设BC=a，CE=y， ∴BE+DF=2（a-y） EF=2y，

∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−2）a时成立，（故②错误）． ③当∠DAF=15°时， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF=∠BAE=15°， ∴∠EAF=90°-2×15°=60°， 又∵AE=AF

∴△AEF为等边三角形．（故③正确）． ④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=60°,

又△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°

∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°, ∴∠AEB≠∠AEF，故④错误． 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．

7．B 【分析】

由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值． 【详解】

由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，

如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，

从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上， 如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值， 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CMMPCPHE故选B． 【点睛】

135EC1=2.5. 222本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键． 8．C 【分析】

在矩形ABCD中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得SAOD1S矩形ABCD3，由矩4形对角线相等且互相平分得AOOC，OBOD，ACBD，利用勾股定理可解得

AC5,则OAODSAOD5，2SAOPSDOP111OAPEODPFOA(PEPF)3，即可求出PE+PF222的值． 【详解】

解：连接PO，如下图：

∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ∴S矩形ABCDABBC12,

AOOC，OBOD，ACBD，

AC=AB2+BC2=5，

∴SAOD11S矩形ABCD123, 445， 2DOPOAODSSAODAOPS11115OAPEODPFOA(PEPF)(PEPF)322222， ∴PEPF故选C． 【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 9．B 【分析】

①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论； ②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=

122.4； 511CF，由GH＜BC，可得出结论； 241BF； 2③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=

④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论． 【详解】

解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC， ∴△BCE≌△DCF， ∴∠CBE=∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH， ∴∠DEH+∠CDF=90°，

∴∠BHD=∠BHF=90°， ∵BH=BH，∠HBD=∠HBF， ∴△BHD≌△BHF， ∴DH=HF，∵OD=OB ∴OH是△DBF的中位线 ∴OH∥BF；故①正确； ∴OH=

1BF，∠DOH=∠CBD=45°， 211BC，GH=CF， 22∵OH是△BFD的中位线， ∴DG=CG=

∵CE=CF， ∴GH=

11CF=CE 221BC， 2∵CE＜CG=∴GH＜

1BC，故②错误． 4∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°， ∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS）， ∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°， ∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF， ∴OH是CD的垂直平分线， ∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确； ∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°， ∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°， ∴∠ODH=∠OHD， ∴OD=OH=故选：B．

1BF；故③正确． 2

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答． 10．B 【分析】

由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解． 【详解】 解：设BF＝x， ∵将矩形沿AC折叠， ∴∠DCA＝∠ACF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF， ∴FA＝FC＝8﹣x，

在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴BF＝3， ∴AF＝5， ∴AF：BF的值为故选：B． 【点睛】

本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11．D 【分析】

根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，可求出从A到A3变化后的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，继而得出A8坐标即可. 【详解】

解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘2，

5， 3∵从A到A3经过了3次变化， ∵45°×3＝135°，1×

2＝232，

∴点A3所在的正方形的边长为22，点A3位置在第四象限， ∴点A3的坐标是（2，－2）， 可得出：A1点坐标为（1，1），

A2点坐标为（0，2），A3点坐标为（2，－2），

A4点坐标为（0，－4），A5点坐标为（－4，－4）， A6（－8，0），A7（－8，8），A8（0，16），

故选D. 【点睛】

本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键. 12．A 【分析】

由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论． 【详解】 解：

△A1B1C1中，A1B14，AC115，B1C17，

1，所2△A1B1C1的周长是16，

A2，B2，C2分别是边B1C1，AC11，A1B1的中点，

B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的

，

1， 2以此类推，则△A4B4C4的周长是

42△AnBnCn的周长是n1，

21162； 32当n2019时，第2019个三角形的周长故选：A． 【点睛】

24220191122014

本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 13．B 【分析】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最

小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案． 【详解】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，PQ85

当PQ⊥BC时，PQ的值最小， ∴PQ=8，∠Q=90°， 在Rt△ACQ中，

CQ8528216.

在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x， ∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2 解之：x=10. 故答案为：B． 【点睛】

本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况． 14．B 【分析】

取DC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【详解】

取AB中点E，连接OE、DE、OD，

MON90， OE1AB2． 2在RtDAE中，利用勾股定理可得DE22． 在ODE中，根据三角形三边关系可知DEOEOD，

当O、E、D三点共线时，OD最大为OEDE222．

故选B． 【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 15．B 【解析】

试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可． 解：连接CC1.

在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=3， ∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，

∴∠C1AE=∠AEB=60°， ∴△AEC1为等边三角形， 同理△CC1E也为等边三角形， ∴EC=EC1=AE=2， ∴BC=BE+EC=3， 故选B. 16．D 【分析】

连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数． 【详解】

解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，

∵四边形ABCF是平行四边形， ∴AB∥CF，AB＝CF， ∴∠NAE＝∠F， ∵点E是的AF中点， ∴AE＝FE，

在△NAE和△CFE中，

NAEFAEFE ， AENFEC∴△NAE≌△CFE（ASA）， ∴NE＝CE，NA＝CF， ∵AB＝CF，

∴NA＝AB，即BN＝2AB， ∵BC＝2AB，

∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，

∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE， ∴DE＝

1NC＝NE， 2∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB， ∴∠B＝80°． 故选：D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答． 17．C 【分析】

首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=用面积相等求出AP的长，即可得AM. 【详解】

在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，

1AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利2所以△ABC为直角三角形，∠A=90°， 又因为PE⊥AB，PF⊥AC， 故四边形AEPF为矩形， 因为M 为 EF 中点， 所以M 也是 AP中点，即AM=

1AP， 2故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小， 由SAM=

ABC1112ABACBCAP，可得AP=， 22561AP=1.2 25故本题正确答案为C. 【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键. 18．C 【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；

④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确． 【详解】 解：

①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分， ∴FH∥CG，EH∥CF， ∴四边形CFHE是平行四边形， 由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）； ②∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）； ③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2， 即42+x2=（8-x）2， 解得x=3，

点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4， ∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）； 过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2， 由勾股定理得，

EF=MF2ME2=4222=25，（故④正确）； 综上所述，结论正确的有①③④共3个， 故选C． 【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合． 19．C 【分析】

证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝

11AB，由直角三角形的性质得NP＝CD，则MN＝NP，②正确；周长22四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝∵AD＝

1AC， 21AC， 2∴OC＝BC， ∵N是OB的中点， ∴CN⊥BD，①正确；

∵M、N分别是OA、OB的中点， ∴MN是△AOB的中位线， ∴MN∥AB，MN＝∵CN⊥BD， ∴∠CND＝90°， ∵P是CD的中点，

1AB， 2∴NP＝

1CD＝PD＝PC， 2∴MN＝NP，②正确； ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD，

又∵NP＝PC，MN＝NP， ∴MN＝PC，

∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误； ∵MN∥CD， ∴∠PDN＝∠MND， ∵NP＝PD， ∴∠PDN＝∠PND， ∴∠MND＝∠PND， ∴ND平分∠PNM，④正确； 正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 20．D 【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求

4545，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝． 55【详解】

CH＝解：如图，连接CF，交BE于H，

∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点， ∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°， ∴BE＝BC2CE216425， ∵将△BCE沿BE翻折至△BFE， ∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH， ∵S△BCE＝

11×BE×CH＝×BC×CE， 22∴CH＝45， 5∴EH=CE2CH2∵CE＝DE，FH＝CH， ∴DF＝2EH＝故选：D． 【点睛】

41625， 5545， 5本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．