一次函数与图形及答案(精)

（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P的坐标．

（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2014•塘沽区一模）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点． （Ⅰ）当矩形ABCD沿直线y=﹣x+1折叠时（如图1）．求点A′的坐标； （Ⅱ）当矩形ABCD沿直线y=﹣x+b折叠时（如图2），求点A′的坐标和b的值；

（Ⅲ）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图3、4、5所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上），①k的取值范围是（图3） _________ ；②k的取值范围是（图4） _________ ；③k的取值范围为（图5） _________ ．

3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交

2

于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

4．（2013•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数

的图象的交点为C（m，4）．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．

5．（2013•攀枝花模拟）已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．

2

6．（2013•绿园区模拟）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，4），O为坐标系原点，线段OA、AB的中点分别为点C、D，P为直线OB上一动点， （1）直接写出直线AB的解析式 _________ ．

（2）当点P在直线OB上运动时，△PCD的面积是否发生变化，说明理由．

（3）当点P在直线OB上运动时，△PCD的周长是否发生变化？如果发生变化，求出△PCD的最小周长及此时周长最小时的点P的坐标．

（4）直接写出△PCD为等腰三角形时的点P的坐标．

7．（2013•河西区一模）直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处． （Ⅰ）线段AB的长度为 _________ ； （Ⅱ）△B′OM的周长为 _________ ； （Ⅲ）求点M的坐标．

8．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

3

9．（2011•）如图，直线y=kx﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

．

（1）求B点坐标和k值；

（2）若点A（x，y）是直线y=kx﹣3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）探究：

①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为，并说明理由；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2011•齐齐哈尔）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

4

11．（2011•黑龙江）如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x﹣6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D． （1）求出点A、点B的坐标． （2）请求出直线CD的解析式．

（3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

12．（2011•盐城）如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

5

13．（2011•玉溪）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、

x轴、y轴交于点C、G、D． （1）求点G的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2011•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线

分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，

点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

6

参与试题解析

一．解答题（共14小题） 1．（2014•齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．

（1）求直线AM的函数解析式．

（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P的坐标． （3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 解答： 解：（1）∵直线AB的函数解析式y=﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12）． 又∵M为线段OB的中点，∴M（0，6）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b，则（2）设点P的坐标为：（x，﹣x+6），∴AP=，解得：，故直线AM的解析式y=﹣x+6； =|x﹣6|， 过点B作BH⊥AM于点H，∵OA=OM，∠AOM=90°，∴∠AMO=45°， ∴∠BMH=45°，∴BH=BM•sin45°=6×=3， |x∵S△ABM=S△AOM，S△AOB=OA•OM=×6×6=18，S△ABP=AP•BH=×﹣6|×3∴×， |x﹣6|×3=18，解得：x=0或12，故点P的坐标为：（0，6）或（12，﹣6）． （3）当OA是正方形的一条边，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（6，6）； 当OA是正方形的一条对角线，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（3，﹣3）． 2．（2014•塘沽区一模）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．

（Ⅰ）当矩形ABCD沿直线y=﹣x+1折叠时（如图1）．求点A′的坐标； （Ⅱ）当矩形ABCD沿直线y=﹣x+b折叠

时（如图2），求点A′的坐标和b的值； （Ⅲ）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图3、4、5所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上），①k的取值范围是（图3） ﹣2≤k≤﹣1 ；②k的取值范围是（图4） ﹣1≤k≤﹣2+ ；③k的取值范围为（图5） ﹣2+≤k≤0 ．

7

解答： 解：（Ⅰ）如图1直线y=﹣x+1与y轴交于点D（0，1）与OB交于的F（1，0）， 故直线y=﹣x+1平分∠ODC∵FA′⊥DC DO⊥OB∴点A的坐标为（1，1）． （Ⅱ）如图2设直线y=x+b与OD交于点E，与OB交于点F连接A′O，则OE=b，OF=2b， 设点A′的坐标为（a，1）∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°∴∠DOA′=∠OFE， 在△DOA′与△OFE中，∴△DOA′∽△OFE（AA）∴=即=2∴a=∴点A′222的坐标为（，1）连接A′E，则A′E﹣OE=b在直角三角形DEA′中，根据勾股定理有A′E=A′D+DE即b=（）+（1﹣b）解得b=； （Ⅲ）在题中图3中：﹣2≤k≤﹣1；图4中：﹣1≤k≤﹣2+；图5中：﹣2+3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

22解答： 解：（1）解方程x﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根，∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．由（1）知，OA=8，则A（8，0）． 2

22≤k≤0． ∵点A、C都在直线MN上，∴，解得，，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6； （3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a+（﹣a+6﹣6）=，解得，a=），P3（解得，a=222，则P2（﹣2，，）；③当PB=BC时，（a﹣8）+（﹣a+6﹣6）=，，则﹣a+6=﹣，∴P4（，，﹣）P3（）．综上所述，符合，），P4（，条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣﹣）． 4．（2013•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数

的图象的交点为C（m，4）．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．

8

解答： 解：（1）∵点C（m，4）在直线上，∴，解得m=3； ，∵点A（﹣3，0）与C（3，4）在直线y=kx+b（k≠0）上，∴解得，∴一次函数的解析式为． （2）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F， ∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形， ∴AB=BD2，∵∠D1BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠EBD1，∵在△BED1和△AOB中，∴△BED1≌△AOB（AAS），∴BE=AO=3，D1E=BO=2，即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA=BO=2，D2F=AO=3，∴点D的坐标为（﹣5，3）．综上所述：点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）． 5．（2013•攀枝花模拟）已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 解答： 解：根据题意，得：A（2，0），B（0，2） 在Rt△AOB中，AB=∴∠DCA=30°，OC=OA+AB=6 Rt△DOC中，OD=OCtan∠DCO=2 ∴C（6，0），D（0，﹣2） 设直线CD的解析式为：y=kx﹣2 ∴0=6k﹣2，解得k= ． ，∠DBA=30° 所以直线CD的解析式为6．（2013•绿园区模拟）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，4），O为坐标系原点，线段OA、AB的中点分别为点C、D，P为直线OB上一动点， （1）直接写出直线AB的解析式 y=﹣2x+4 ．

（2）当点P在直线OB上运动时，△PCD的面积是否发生变化，说明理由．

（3）当点P在直线OB上运动时，△PCD的周长是否发生变化？如果发生变化，求出△PCD的最小周长及此时周长最小时的点P的坐标．

（4）直接写出△PCD为等腰三角形时的点P的坐标．

解答： 解（1）∵y=kx+b过A（2，0），B（0，4）， ∴将点A、B的坐标代入y=kx+b得， k=﹣2，b=4， ∴解析式为：y=﹣2x+4； 当x=1时，y=﹣2×1+4=2，所以点在函数图象上． （2））△PCD的面积不发生变化； ∵A（2，0），B（0，4），C、D是线段OA、AB的中点， ∴C（1，0）、D（1，2）， ∴CD=2， 9

又∵点P在y轴上运动，CD∥y轴， ∴点P到y轴的距离总是1，及△PCD的CD边上的高为n=1， ∴三角形PCD的面积s=CD．h=×2×1=1， ∴△PCD的面积不发生变化； （3）△PCD的周长发生变化． ∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点， ∴点C的坐标为（1，0）， 则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0）， 又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点， ∴点D的坐标为（1，2）， 连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b， 则 解得：， ， ∴y=x+1是DC′的解析式， ∵x=0，∴y=1， 即P（0，1）． ∵PC+PD的最小值=C′D， ∴由勾股定理得C′D=2， ∵△PCD的周长的最小值为C′D+CD，CD=2， ∴△PCD的周长的最小值为+2； （4）P（0，1）或P（0，故答案为：y=﹣2x+4． ）或P（0，）或P（0，）或P（0，）． 7．（2013•河西区一模）直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．

（Ⅰ）线段AB的长度为 10 ； （Ⅱ）△B′OM的周长为 12 ； （Ⅲ）求点M的坐标． 解答： 解：（Ⅰ）∵直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B， ∴y=0时，x=6，则A点坐标为：（6，0）， x=0时，y=8，则B点坐标为：（0，8）； ∴BO=8，AO=6， ∴AB==10； （Ⅱ）∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′∴BM=B′M，AB=AB′=10， ∴B′M+OM=BO=8， OB′=AB′﹣OA=10﹣6=4， ∴△B′OM的周长为：MB′+MO+OB′=8+4=12； （Ⅲ）设MO=x，则MB=MB′=8﹣x， 10

处， 在Rt△OMB′中， 222OM+OB′=B′M， 222∴x+4=（8﹣x）， 解得：x=3， 故M点坐标为：（0，3）． 故答案为：10；12． 8．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 解答： 解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1 ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠B=90° BG=== ∴G点的坐标为（3，4﹣）； （2）设直线EF的解析式是y=kx+b 在Rt△BFG中，cos∠BFG=∴∠BFG=60° ∴∠AFE=∠EFG=60° ∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2 ∴E点的坐标为（0，4﹣2） 又F点的坐标是（2，4） ∴ = 解得k=，b=4﹣2； ∴直线EF的解析式为y=x+4﹣2； 注： 求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）； 222求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG=GP+EP，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）； 求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）． （3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形： ①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示． 过M1点作M1H⊥x轴于点H， ∵M1N1∥FG， ∴∠HN1M1=∠HQF， 又∵AB∥OQ， ∴∠HQF=∠BFG， ∴∠HN1M1=∠BFG 又∵∠M1HN1=∠B=90°，M1N1=FG， ∴△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=，即yM1=． 11

由直线EF解析式y=∴M1（3﹣，x+4﹣2）； ，求出xM1=3﹣． ②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示． 仿照与①相同的办法，可求得M2（1﹣，﹣）； ③FG为平行四边形的对角线，如图3所示． 过M3作FB延长线的垂线，垂足为H． ∴∠M3HF=∠GCN3=90°，∠M3FH=∠GN3C，M3F=GN3， ∴△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4﹣，所以M3的纵坐标为8﹣代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+∴M3（1+，8﹣）． ． ； 综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形． 点M的坐标为：M1（3﹣，），M2（1﹣ ，﹣），M3（1+，8﹣）． 9．（2011•）如图，直线y=kx﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

．

（1）求B点坐标和k值；

（2）若点A（x，y）是直线y=kx﹣3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）探究：

①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为，并说明理由；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

12

解答： 解：（1）在y=kx﹣3中，令x=0，则y=﹣3，故C的坐标是（0，﹣3），OC=3， ∵=， ∴OB=，则B的坐标是：（，0）， 把B的坐标代入y=kx﹣3，得：k﹣3=0，解得：k=2； （2）OB=， 则S=×（2x﹣3）=x﹣； （3）①根据题意得：x﹣=，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）； ②OA==3， 当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（﹣3，0）或（3，0）； 当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）； 当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（，）， 与OA垂直的直线的斜率是：﹣1，设直线的解析式是：y=﹣x+b，把（，）代入得：=﹣+b， 解得：b=3， 则直线的解析式是：y=﹣x+3，令y=0，解得：x=3，则P的坐标是（3，0）． 故P的坐标是：（﹣3，0）或（3，0）或（6，0）或（3，0）． 10．（2011•齐齐哈尔）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

13

解答： 解：（1）由已知得A点坐标（﹣4﹐0），B点坐标（0﹐4∵OB=OA， ∴∠BAO=60°， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵OC=OA=4， ∴C点坐标﹙4，0﹚， 设直线BC解析式为y=kx﹢b， ， ﹚， ∴， ∴直线BC的解析式为y=﹣；（2分） ﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴． ∵∴∴QH=t t=t﹙0＜t≤4﹚，（2分） ﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（22， ， ∴S△APQ=AP•QH=t•同理可得S△APQ=t•﹙8分） （3）存在，如图当Q与B重合时，四边形AMNQ为菱形，此时N坐标为（4，0） 其它类似还有（﹣4，8）或（﹣4，﹣8）或（﹣4， 11．（2011•黑龙江）如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x﹣6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D． （1）求出点A、点B的坐标． （2）请求出直线CD的解析式．

（3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2）．（4分） 14

解答： 解：（1）∵x2﹣6x+8=0， ∴x1=4，x2=2（1分）， ∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B， ∴0A=2，0B=4（1分）， ∴A（0，2），B（﹣4，0）（1分）； （2）∵0A：AC=2：5，OA=2， ∴AC=5， ∴OC=OA+AC=2+5=7， ∴C（0，7）（1分）， ∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°， ∴∠PBD=∠OCD， ∵∠BOA=∠COD=90°， ∴△BOA∽△COD， ∴=， ∴OD===（1分）， ∴D（，0）， 设直线CD的解析式为y=kx+b， 把C（0，7），D（，0）分别代入得：，∴（1分）， ∴yCD=﹣2x+7（1分）； （3）存在， ∵A（0，2），B（﹣4，0）， ∴设直线AB的解析式为：y=kx+b， ∴， 解得：， 故直线AB的解析式为：y=x+2， 将直线AB与直线CD联立， 解得：， ∴P点坐标（2，3）， ∵D（，0），B（﹣4，0）， ∴BD=7.5， 当PM1BD是平形四边形， 则BD=PM 1=7.5， 15 ∴AM 1=5.5， 12．（2011•盐城）如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

解答： 解：（1）∵一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B． ∴， 解得：， ∴A点坐标为：（3，4）； ∵y=﹣x+7=0， 解得：x=7， ∴B点坐标为：（7，0）． （2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4﹣t，BR=t，OR=7﹣t， ∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8， ∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8， ∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=8， ∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16， ∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t=16， 2∴t﹣8t+12=0， 解得：t1=2，t2=6（舍去）， 当4≤t＜7时，S△APR=AP×OC=2（7﹣t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7； 综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8； ②存在．延长CA到直线l交于一点D，当l与AB相交于Q， ∵一次函数y=﹣x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点， ∴NO=OB， 16

∴∠OBN=∠ONB=45°， ∵直线l∥y轴， ∴RQ=RB，CD⊥L， 当0≤t＜4时，如图1， RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4﹣t），AC=3，PC=4﹣t， ∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ， ∴AC+PC=AP=AQ=2AD， 22∴9+（4﹣t）=2（4﹣t），解得：t1=1，t2=7（舍去）， 222当AP=PQ时 3+（4﹣t）=（7﹣t）， 解得t=4 （舍去） 22 当PQ=AQ时，2（4﹣t）=（7﹣t）， 解得t1=1+3（舍去），t2=1﹣3（舍去） 当4≤t＜7时，如图（备用图），过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4， 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t﹣4，AP=7﹣t， 由cos∠OAC==， 22222得AQ=（t﹣4）， 若AQ=AP，则（t﹣4）=7﹣t，解得t=当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=AP， 得t﹣4=（7﹣t）， 解得：t=5， 当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F， AF=AQ=×（t﹣4）， 在Rt△APF中，由cos∠PAF=得AF=AP， 即×（t﹣4）=（7﹣t）， 解得：t=， 、秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形． =， ， 综上所述，当t=1、5、 13．（2011•玉溪）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的

垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D． （1）求点G的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

17

解答： 解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB， ∴G点为OB的中点， ∵OB=∴G（， ，0）． （2）过点C作CH⊥x轴于点H， 在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=∴cos30°==， ， 即AB=×=4， 又∵CD垂直平分AB， ∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=BC=1，BH=∴OH=∴C（﹣=， ， ，﹣1）， ∵∠DGO=60°， ∴OG=OB=∴OD=， tan60°=4， ∴D（0，4）， 设直线CD的解析式为：y=kx+b，则，解得： ∴y=﹣x+4； （3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形． ①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°， ∴OE=2，PE=2， ∴Q（2，4﹣2）． ②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°， ∴OF=2，PF=2， ∴QF=4+2 ∴Q（﹣2，4+2）． ③如图，当PD=DQ=QO=OP=

时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM18

中， ∠MDQ=30°， ∴MQ=DQ=∴Q（ ，2）． ④如图，当OD=OQ=QP=DP=4为菱形， 设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ=∠ODQ=30°， 在Rt△ONQ中，NQ=OQ=2， ∴ON=2， 时，四边形DOQP∴Q（2，﹣2）； ），（﹣2，4+2），（，2），（2，﹣2）； 综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4﹣214．（2011•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线

分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D

在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，

垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由． 解答： 解：（1）A（﹣3，0），B（0，4）．（1分） 当y=2时，，． ．（2分） 所以直线AB与CD交点的坐标为 （2）①当0＜t＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积． 过点M作MN⊥OA，垂足为N． 由△AMN∽△ABO，得∵AO=3，BO=4， ∴AB==5， ． 19

∴． ∴AN=t．（4分） ∴△MPH的面积为当3﹣2t=1时，t=1．（5分） 当＜t≤3时，设MH与CD相交于点E， △MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积． 过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F． FM=AG﹣AH=AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）=． 由△HPE∽△HFM，得∴． ． ． ． ∴．（8分） ． ． ∴△PEH的面积为当时，经检验，t=是原方程的解， 综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或．（9分） ②BP+PH+HQ有最小值． 连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形． ∴BP=CH． ∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2． 当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小．（11分） ∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（﹣6，﹣4）， ∴直线CQ的解析式为y=x+2， ∴点H的坐标为（﹣2，0）．因此点P的坐标为（﹣2，2）．（12分） 20