2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷(理科)

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数z(12i)(1ai)(aR)，若zR，则实数a( ) A．

1 21B．

2C．2 D．2 N( )

2．（5分）已知集合M{x|1x2}，N{x|x(x3)0}，则MA．[3，2)

B．(3,2)

C．(1，0]

D．(1,0)

3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) 1A．

9B．

1 6C．

1 18D．

5 124．（5分）在正项等比数列{an}中，a5a115，a4a26，则a3( ) A．2

B．4

C．

1 2D．8

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值为( )

5A．

3 8B．

5C．

13 8D．

21 136．（5分）已知等边ABC内接于圆:x2y21，且P是圆上一点，则PA(PBPC)的最大值是( ) A．2

B．1

C．3 D．2

7．（5分）已知函数f(x)sin2xsin2(x)，则f(x)的最小值为( )

3A．

1 2B．

1 4C．3 4D．2 2(anan11)24anan1，8．（5分）已知数列{an}满足a11，且an1an(nN*)，则数列{an}第1页（共18页）

的通项公式an( ) A．2n

B．n2

C．n2

D．3n2

9．（5分）已知a0.80.4，b0.40.8，clog84，则( ) A．abc

B．acb

C．cab

D．bca

10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为

( )

A．

2 53B．

51C．

5D．

2 15x2y211．（5分）已知点P在椭圆:221(ab0)上，点P在第一象限，点P关于原点Oab3的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设PDPQ，直线AD与椭圆的另一个交

4点为B，若PAPB，则椭圆的离心率e( ) A．

1 2B．2 2C．3 2D．3 3ex12．（5分）已知关于x的不等式3xalnx1对于任意x(1,)恒成立，则实数a的取

x值范围为( ) A．(，1e]

B．(，3]

C．(，2]

D．(，2e2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知以x2y0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ． 14．（5分）若函数f(x)cosxa在(0,)上单调递减，则实数a的取值范围为 ．

2sinx15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．

SA3，SB23，16．（5分）在三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，

若此三棱锥外接球的表面积为21，则二面角SABC的余弦值为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共

第2页（共18页）

60分．

tanAtanBcbc，17．（12分）在ABC中，角A，已知a4，． b，C的对边分别为a，B，tanAtanBc（1）求A的余弦值； （2）求ABC面积的最大值．

18．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q，C1D1，P，L分别为棱A1D1，

BC的中点．

（1）求证：ACQL；

（2）求点A到平面PQL的距离．

19．（12分）已知抛物线:y22px(p0)的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足FP(2，23) （1）求抛物线的方程；

（2）已知经过点A(3,2)的直线交抛物线于M，N两点，经过定点B(3,6)和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据： 第n年 年收入1 32.0 2 31.0 3 33.0 4 36.0 5 37.0 6 38.0 7 39.0 8 43.0 9 45.0 10 x10 /亿元(x) 商品销售额/第3页（共18页）

25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10

万元(y) 且已知xi380.0

i110（1）求第10年的年收入x10；

ˆ（2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363ˆ xa254(I)求第10年的销售额y10；

（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)

ˆaˆˆbxˆ中，b附加：（1）在线性回归方程yxyii1ni2nxynx2xi19102i29i1i1i1nˆ ˆybx，ai（2）x10x254.0，xiyi12875.0，yi340.0．

21．（12分）（1）证明函数yex2sinx2xcosx在区间(,)上单调递增； 2ex（2）证明函数f(x)2sinx在(,0)上有且仅有一个极大值点x0，且0f(x0)2．

x（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

x5cos(为参数）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原

y4sin点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2:24cos30． （1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f(x)|2xa||xa1|． （1）当a4时，求解不等式f(x)8；

a2（2）已知关于x的不等式f(x)在R上恒成立，求参数a的取值范围．

2

第4页（共18页）

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数z(12i)(1ai)(aR)，若zR，则实数a( ) A．

1 21B．

2C．2 D．2

【解答】解：z(12i)(1ai)(12a)(2a)iR，

2a0，即a2．

故选：D．

2．（5分）已知集合M{x|1x2}，N{x|x(x3)0}，则MA．[3，2)

B．(3,2)

C．(1，0]

N( )

D．(1,0)

【解答】解：N{x|x(x3)0}[3，0]， 集合M{x|1x2}， 则MN(1，0]，

故选：C．

3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) 1A．

9B．

1 6C．

1 18D．

5 12【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数n6636，

向上的点数之和小于5包含的基本事件有：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，

向上的点数之和小于5的概率为p61． 366故选：B．

4．（5分）在正项等比数列{an}中，a5a115，a4a26，则a3( ) A．2

B．4

C．

1 2D．8

【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q0，a5a115，a4a26，

第5页（共18页）

a1(q41)15，a1(q3q)6，

解得：q2，a11． 则a34． 故选：B．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s的值为( )

5A．

3 8B．

5C．

13 8D．

21 13【解答】解：i0，s1，

第一次执行循环体后，i1，s2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，i2，s3，不满足退出循环的条件； 25第三次执行循环体后，i3，s，不满足退出循环的条件；

38第四次执行循环体后，i4，s，不满足退出循环的条件；

5第五次执行循环体后，i5，s故输出S值为故选：C．

13， 813，满足退出循环的条件； 86．（5分）已知等边ABC内接于圆:x2y21，且P是圆上一点，则PA(PBPC)的最大值是( ) A．2

B．1

C．3 D．2

【解答】解：设BC的中点为E，连接AE，PE； 并设PO与OE的夹角为

第6页（共18页）

如图：

因为等边ABC内接于圆:x2y21， 所以O在AE上且OA2OE1；



22211PA(PBPC)PA2PE2(POOA)(POOE)2[POPO(OAOE)OAOE]2[POPO(OE)2OE]2[121cos2()2]1cos22；

当cos1即点P在AE 的延长线与圆的交点时；

PA(PBPC)取最大值，此时最大值为1(1)2；

故选：D．

7．（5分）已知函数f(x)sin2xsin2(x)，则f(x)的最小值为( )

3A．【

1 2B．

解

答

1 4C．】

解

3 4D．：

2 2函数

135331f(x)sin2xsin2(x)sin2x(sinxcosx)2sin2xcos2xsin2xsin(2x)132244426，

11当sin(2x)1时，函数f(x)min1．

622故选：A．

(anan11)24anan1，8．（5分）已知数列{an}满足a11，且an1an(nN*)，则数列{an}的通项公式an( ) A．2n

B．n2

C．n2

D．3n2

【解答】解：a11，(anan11)24anan1，且an1an(nN*)， anan112anan1，

an1an1，又a11，

第7页（共18页）

数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， an1(n1)1n，

ann2．

故选：B．

9．（5分）已知a0.80.4，b0.40.8，clog84，则( ) A．abc

B．acb

0.4C．cab D．bca

【解答】解：根据题意，a0.8lg42clog84lg83253532， 243244516252160.85，b0.4()5()45，()5255562555又由

163216， 62524325故有bca； 故选：D．

10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为

( )

A．

2 53B．

51C．

5D．

2 15【解答】解：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，

1131C5C4C3C52C32C13)A3150， 基本事件总数n(22A2A212A260， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数mC52C32C1恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为Pm602． n1505故选：A．

x2y211．（5分）已知点P在椭圆:221(ab0)上，点P在第一象限，点P关于原点Oab3的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设PDPQ，直线AD与椭圆的另一个交

4第8页（共18页）

点为B，若PAPB，则椭圆的离心率e( ) A．

1 2B．2 2C．3 2D．3 3【解答】解：设P(x0，y0)由题意可得A(x0，y0)，Q(x0，y0)，由PDyy0)，所以kPA0，kADx023PQ可得D(x0，4y0y0y20设B(x,y)，

x0x04x0则kPBkAByy0yy0y2y02， xx0xx0x2x02x2y21y2y02b2a2b22， 因为P，B在椭圆上，所以2，两式相减可得222xxa0x0y01b2a2所以可得kPBkAB所以kBPb22

ab21b21b24x0222，

akABakADay0y0b24x0(2)1，整理可得：a24b2， 1，即x0ay0因为PAPB，则kAPkPBcc2b21311所以离心率e，

aa2a242故选：C．

ex12．（5分）已知关于x的不等式3xalnx1对于任意x(1,)恒成立，则实数a的取

x值范围为( ) A．(，1e]

B．(，3]

C．(，2]

D．(，2e2]

x3exx1x3exx1【解答】解：由题意可知，分离参数a，令f(x)，

lnxlnx第9页（共18页）

ex3lnx1x由题意可知，af(x)min，由f(x)，

lnx又ex1x，

ex3lnx1x所以f(x)lnx所以a3， 故选：B．

x3lnxx3，

lnx二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知以x2y0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为

x2y21 ． 123x2【解答】解：由渐近线的方程以x2y0可以设双曲线的方程为：y2，又过(4,1)，

416所以1，可得3，

4x2y2所以双曲线的方程为：1；

123x2y2故答案为：1．

123cosxa14．（5分）若函数f(x)在(0,)上单调递减，则实数a的取值范围为 a1 ．

2sinxsin2x(cosxa)cosx【解答】解：f(x)0，

sin2x即sin2xcos2xacosx1acosx0，

acosx1，x(0,)，

211，由于y在x(0,)递减，最大值为y(0)1， acosxcosx2所以a1， 故答案为：a1．

15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．

【解答】解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C． 若在点B处受到热带风暴的影响，则OB450， 即OC2BC2450，

第10页（共18页）

即(600cos45)2(600sin4530t)2450； 式两边平方并化简、整理得t2202t1750 t1025或1025

10259.14，1025(1025)15210

9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h． 故答案为：9.14．

16．（5分）在三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA3，SB23，1若此三棱锥外接球的表面积为21，则二面角SABC的余弦值为  ．

2【解答】解：由题意得SA2AB2SB2，得到SAAB，取AB中点为D，SB中点为M，得到CDM为SABC的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O，则CO3323， 3，DO232球心为过M的平面ABS的垂线与过O的平面ABC 的垂线的交点， 三棱锥外接球的表面积为214OB2，OB2MB3，所以OM21， 4133，由MDSA，

222所以tanODM3，ODM60， 同理ODO60，得到MDC120， 1由cosMDC，

21故答案为：

2第11页（共18页）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

tanAtanBcbc，17．（12分）在ABC中，角A，已知a4，． b，C的对边分别为a，B，tanAtanBc（1）求A的余弦值； （2）求ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）

tanAtanBcb． tanAtanBcsinAsinBsinCsinB所以cosAcosB，

sinAsinBsinCcosAcosB即

sinAcosBsinBcosAsinCsinB， sinAcosBsinBcosAsinCsinAcosBsinBcosAsin(AB)sinB， sinCsinC所以

所以sinAcosBsinBcosAsinAcosBsinBcosAsinB， 所以cosA1， 2（2）由（1）可知A60，

1b2c216由余弦定理可得，

22bc所以b2c216bc2bc，

1故bc16，当且仅当bc4时取等号，此时ABC面积取得最大值bcsin6043．

2Q，18．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，C1D1，P，L分别为棱A1D1，

BC的中点．

（1）求证：ACQL；

第12页（共18页）

（2）求点A到平面PQL的距离．

11【解答】（1）证明：PQ2QL22(a)2(a)22a22a2PL2，

22PQQL．

AC//AC11//PQ，

ACQL．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，D(0，0，0)，A(a，0，0)， 111P(a，0，a)，L(a，a，0)，Q(0，a，a)， 222111PQ(a，a，0)，PL(0，a，a)，AL(a，a，0)，

22211设平面PQL的法向量为：n(x，y，z)，则nPQnPL0，可得：axay0，

22ayaz0，

可得：n(1，1，1)，

1a|nAL|23a． 点A到平面PQL的距离d|n|63

19．（12分）已知抛物线:y22px(p0)的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足FP(2，23) （1）求抛物线的方程；

第13页（共18页）

（2）已知经过点A(3,2)的直线交抛物线于M，N两点，经过定点B(3,6)和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点F(23)，P在抛物线上，

pp23)的P的坐标为(2，，满足FP(2，0)，

22p所以(23)22p(2)，即p24p120，p0，解得p2，所以抛物线的方程为：

2y24x；

24x2， （2）设M(x0，y0)，N(x1，y1)，L(x2，y2)，则y124x1，y2直线MN的斜率kMNy1y0y1y04， 22x1x0y1y0y1y04y024xy0y14(x)，即y则直线MN的方程为：yy0①， y1y04y0y1同理可得直线ML的方程整理可得y4xy0y2②，

y0y212y0y12y0y1将A(3,2)，B(3,6)分别代入①，②的方程可得，消y0可得y1y212，

12yy026y0y2易知直线kNL即yy1244(x)， ，则直线NL的方程为：yy1yy4y1y212yy4412， x12，故yxy1y2y1y2y1y2y1y24(x3)， y1y2所以y因此直线NL恒过定点(3,0)．

20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据： 第n年 年收入1 32.0 2 31.0 3 33.0 4 36.0 5 37.0 6 38.0 7 39.0 8 43.0 9 45.0 10 x10 /亿元第14页（共18页）

(x) 商品销售额/万元25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10 (y) 且已知xi380.0

i110（1）求第10年的年收入x10；

ˆ（2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y363ˆ xa254(I)求第10年的销售额y10；

（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)

ˆaˆˆbxˆ中，b附加：（1）在线性回归方程yxyii1ni2nxynx2xi19102i29i1i1i1nˆ ˆybx，ai（2）x10x254.0，xiyi12875.0，yi340.0．

【解答】解：（1）因为xi380.0，所以323133363738394345x10380，

i110所以x1046； （2）(I)由题意可知，

xxi110i10253034373941424448y10340y10380， 38，y101010ˆ因为y363ˆˆ且bxa254xyii1ni2nxy，所以

xi1ninx23632541287546y101038254340y1010，解得

y1051，

所以第10年的销售额y1051； （Ⅱ）因为y1051，所以y3405139.1， 10363ˆ，所以aˆybxˆ39.1因为a3815.21， 254第15页（共18页）

ˆ所以线性回归方程为y363x15.21， 2543634015.2141.96． 254ˆ由题可知，x40，将其代入线性回归方程有y故估计这种商品的销售额是41.96万元．

21．（12分）（1）证明函数yex2sinx2xcosx在区间(,)上单调递增；

2ex（2）证明函数f(x)2sinx在(,0)上有且仅有一个极大值点x0，且0f(x0)2．

x【解答】解：（1）求导，yex2cosx2(cosxxsinx)ex2xsinx4cosx，x(,)，

2因为ex0，2xsinx0，4cosx0，故y0， 函数y在定义区间递增；

ex(x1)2x2cosx（2）由f(x)， 2x令g(x)ex(x1)2x2cosx，g(x)x(ex2xsinx4cosx) 当x(,)，由（1）得g(x)0，g(x)递减，

2由g()e2(1)0，g()8e(1)0，

22根据零点存在性定理，存在唯一零点x0(,)，g(x0)0，

2当x(,x0)时，g(x)0，f(x)递增； 当x(x0，)时，g(x)0，f(x)递减，

2ex(x1)当x(，0)时，f(x)2cosx0，所以f(x)递减， 2x2故f(x)在(x0，0)为减函数， 所以f(x)有唯一的极大值点x0，

1由f(x)在(x0，)递减，得f(x0)f()220， 22e2222eex0exo2sinx0，当x0(,)时，(1,0)，02sinx02， 又f(x0)xox20故f(x0)2，

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综上，命题成立．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

x5cos(为参数）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原

y4sin点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2:24cos30． （1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．

x5cos(为参数）【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，转换为直角坐标方程为：

y4sinx2y21． 2516曲线C2:24cos30．转换为直角坐标方程为x2y24x30，整理得(x2)2y21．

（2）设点P(5cos,4sin)在曲线C1上，圆心O(2,0)，

所以：|PO|(5cos2)2(4sin)29cos220cos209(cos当cos1时，|PO|min3， 所以|PQ|的最小值312．

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f(x)|2xa||xa1|． （1）当a4时，求解不等式f(x)8；

10280， )99a2（2）已知关于x的不等式f(x)在R上恒成立，求参数a的取值范围．

2【解答】解：（1）当a4时，f(x)|2x4||x3|，

(i)当x3时，原不等式可化为3x78，解可得x5，

此时不等式的解集[5，)；

(ii)当2x3时，原不等式可化为2x43x8，解可得x59，

此时不等式的解集；

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1(iii)当x2时，原不等式可化为3x78，解可得x，

31此时不等式的解集(，]，

31综上可得，不等式的解集[5，)(，]，

31（2）(i)当a1a即a2时，f(x)3|x1|2a22显然不成立， 213x2a1,xa211(ii)当a1a即a2时，f(x)x1,axa1，

223x2a1,xa1111结合函数的单调性可知，当xa时，函数取得最小值f(a)a1，

222

a211若f(x)在R上恒成立，则a1a2，此时a不存在，

2223x2a1,xa111(iii)当a1a即a2时，f(x)x1,a1xa

2213x2a1,xa2a2112若f(x)在R上恒成立，则1aa，解可得2a1，

222此时a的范围[2，1]， 综上可得，a的范围围[2，1]．

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