初 数毒薮 誓 （沈阳师范大学教师专业发展学院） 一摘要：发展学生的归纳推理能力是数 学课程的重要目标之一．针对初中学生数 题，以北师大版课标教材为例，对教材中 、初中数学课程中的归纳推理分析 特殊的数、式或方程的共性分析，归纳或 归纳是从特殊例子推出一般规律，或 猜想出一般性的结论．主要是对教材中出 基础是观察与实验．人们认识事物一般都 案例１ 在给出一元二次方程的概念 学归纳推理能力的培养方面存在的一些问 者从提出事实到证明一般命题的过程，其 现的概念、性质、法则的归纳． 归纳推理的呈现方式与特点进行分析，并 可以从具体问题人手，通过归纳得出规律 时，教材中给出了３个问题，由此可以得 基于调查研究提出了一些教学建议． 性的认识，还可以从经验出发验证具体问 到以下３个方程：（８一 ）（５一 ）＝１８； 关键词：归纳推理；初中数学；数学 题的正确性．因此，归纳是人类认识自然 教学；教学建议． 的直接途径之一．归纳推理的本质特征 生的归纳推理能力已成为数学课程的重要 反映一类现象的结论．这个过程中，有一 目标之一．国家教育部颁布的（Ｌ￣ｔｔ学课程 定的直觉因素参与，因此不像演绎推理那 ② ＋（ ＋１） ＋（ ＋２） ：（ ＋３）２－Ｉ－ （３）（ ＋６） ＋７ ＝１０ ． ： 在我国新一轮的课程改革中，发展学 是：通过研究若干个别现象的共性，获得 （ ＋４）接着，教材以问题“这３个方程有什 标准》对基础教育阶段学生的数学推理能 样容易理解．教材在编写过程中，十分注 么共同特点”进行引导，通过观察这３个 力的要求是：能通过观察、实验、归纳、 意归纳推理思想的渗透．现以北师大版课 方程，引导学生得出它们的共同特点是： 类比等获得数学猜想，并进一步寻求证 标教材为例，从以下２个方面对教材中归 均含有一个未知数，并且未知数的最高次 据、给出证明或举出反例；能清晰、有条 纳推理呈现的方式与特点进行分析．数是２．从而归纳出一元二次方程的概念． 理地表达自己的思考过程，做到言之有 理、落笔有据；在与他人交流的过程中， 能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质 疑．这些要求说明数学课程已经打破了原 １．归纳推理的统计分析 从教材中归纳推理所处的位置进行分 析．北师大版课标教材共６册，其中归纳 推理在教材中的分布及出现的次数如表１ 所示． 表１：归纳推理分布统计表 分析：代数课程中的归纳过程通常体 现在由具体数量的运算关系和代数式的结 构关系到一般的通项的归纳过程．这类问 题多是利用具体的数量关系说明代数关系 来“严谨”的面孔，将多样化的价值展现 在学生面前． 然而，初中生数学归纳推理能力的发 的过程，要求学生对数量关系有深入的理 解，明确算术与代数的联系，掌握基本的 数学思想，从而完成基本的归纳推理的 过程． 分布 知识点生成 课后练习 复习题 总次数 次数 ３２ １０ １０ ５２ 展还不容乐观．在沈阳市一所普通中学的 七年级期中测试卷中，有一道中等难度的 归纳推理题，这道题只有ｌ ７％的学生能正 （２）几何领域的归纳． 从表ｌ可以看出，教材中的归纳推理 大多体现在知识点的生成过程中（包括概 念、性质、法则、定理等的生成过程）， 几何领域的归纳的特点是通过对几个 特殊图形的共性分析，归纳或猜想出一般 图形的结论．主要是对教材中出现的概 确解答．通过试卷分析和学生访谈得知， 出现错误的大部分学生对于数学归纳推理 而课后练习及复习题中出现的归纳推理， 念、定理以及关于图形的一些重要结论的 分是因为在课外看到了相同的习题．这些 主要体现在问题解决、联系拓广、数学理 归纳． 解等类型的题目中． 现象说明学生在学习的过程中，更多关注 案例２在“ 角形任意两边之差小 的目标不明确，即使做对的学生也有一部 的是对结论的记忆和理解，而不是新知识 的生成过程．在教学方面，由于归纳推理 ２．归纳推理的类型分析 于第 边”一课中，教材中给出了３个三 根据归纳推理的特点和课程内容，可 角形，让学生测量并计算每个三角形的任 “散落”于教材的各部分，学生不能对归 将教材中所出现的归纳推理分为３类：代 意两边之差，再与第三边比较．从而归纳 纳推理的过程形成清晰的思路，不知道该 数领域的归纳、几何领域的归纳及统计领 出三角形任意两边之差小于第三边的结论． 如何去思考，怎样进行归纳． 域的归纳．现对这３类归纳推理在教材中 分析：教材在这里给出的是一个实验 在此，本文将从中学数学教学的角度 的呈现方式与特点加以分析．（１）代数领域的归纳． 出发，对学生在数学归纳推理方面存在的 问题进行简单的讨论． 的过程．通过测量计算可知这３个特殊三 角形的两边之差和第三边的长度，进而对 代数领域的归纳的特点是通过对几个 它们加以 匕较．由于学生的测量精度和思 中国数学教育 ［２０１０年第４期］１ ５ 维角度各不相同，因此可能会得出各种不 一般性的结论．由于一般性的结论有很 验数据与概率不够接近的现象（如由于硬 同的结论，但是其中一般都会包括这样的 多，学生可能会给出很多被称之为“无 币不够均匀，导致概率变化等），这时也 结论：三角形的两边之差小于第三边． 用”的归纳，但学生在不知道老师“想 不能说学生做错了． 对几何对象的归纳主要以图形为主， 要”的结论之前，很难一下子获得所谓 现的是由特殊图形的数量关系到一般图形 难点． 的一般关系的归纳过程，这里包括两个归 ２．让学生明确归纳推理的目标，进 培养学生归纳推理能力的关键是让学 生敢想，能够按照自己的感觉、直觉和经 兼顾数量关系．由以上可知，此案例所体 “有用”的结论，这就是归纳推理教学的 行有目的的猜想 二、教学建议 纳过程：一个是数值的不等关系的共性； 归纳推理在初中教材中大量出现，案 验允许的范围进行大胆猜想．敢想是第一 另一个是特殊三角形到一般三角形的过 例也很丰富，说明课程目标对学生归纳推 步，会想才是关键．让学生按照数学的规 程．要求学生能够有一个对归纳方向可能 理能力的要求是明确的．但仍有相当一部 律去归纳，需要让学生明确归纳推理的方 性的分类，对几何图形的性质和分类要有 分学生不能真正理解归纳推理的思维过 向．教师要给学生以针对性的提示，使学 系统的归纳． 程，在遇到归纳推理题时，经常没有思路 生能够明确地朝着教师所“预想”的方向 或选择放弃．为了帮助教师更好地开展归 思考，从而避免学生出现理解上的偏差． （３）统计领域的归纳． 统计领域的归纳的特点是通过对统计 纳推理的教学，促进学生对归纳推理的理 同时，还要注意让学生从不同的角度去思 数据变化规律的共性分析，归纳出数据一 解，提出以下４点教学建议． 般性的规律或发展趋势．主要是对教材中 出现的一些概念和规律的归纳． １．重视对新知识生成过程的分析 考问题，得出不同的结论． 例如，对于八年级下册第一章不等式 对于一个新的知识点，教师应让学生 性质２和不等式性质３的得出，教材是这 案例３在“游戏公平吗”一课中， 理解该知识点的实际背景及产生、发展的 样引人的． 教材给出了掷硬币试验的例子，并提出以 过程．因此，教学时要让学生理解归纳推 下４个掷硬币试验的相关问题． 理的原理，注意观察知识点的生成过程， 自主地进行归纳，积累学生的归纳经验， 完成下列填空： ２＜３； ・ ①同桌两人做２０次掷硬币的游戏， 朝上的频率． ２ Ｘ ５３ Ｘ ５； 分别记录正、反面朝上的次数及正、反面 为归纳推理能力的形成奠定基础． 数学教育家Ｇ・波利亚在其名著《数 ②累计全班同学的试验结果，分别计 学与猜想——数学中的归纳和类 匕》中， 算当试验累计进行到２０次，４０次，８０次， 给出了归纳过程的两个典型步骤：首先， １２０次，…，４００次时正面朝上的频率， 要注意某些相似性；其次，是一个推广的 ２ １３ Ｘ｝； ３ Ｘ（一１）； ３ Ｘ（一５）； ２ Ｘ（一１） ２ Ｘ（一５） 并完成教材所给的折线统计图． 律？ 过程．教师在进行归纳推理的教学时，可 案例１，教师可以先引导学生观察３个方 ２ｘ（一 ）一ｓ×（一争）． 你发现了什么？请你再举几例试试， 还有类似的结论吗？ ③观察折线统计图，你发现什么规 以基于这两个步骤进行讲解．例如，对于 ④根据所给表格列出的一些历史上 程的特点，让学生去分析它们的相似性或 的数学家所做的掷硬币试验的数据，分析 共同特点，然后让学生对这一类方程进行 如果教师只是让学生去观察这些不等 式的特点，那么可能会有一部分学生从不 表中数据是否支持上述发现的规律． 归纳，最后教师再给出一元二次方程的概 等式两边同乘以正、负数的角度去思考， 归纳出不等式的两个性质，还可能会有一 部分学生从不等式两边同乘以整数或分数 计图，帮助学生理解统计图的含义，并给 程，不仅加深了对概念的理解，还增强了 的角度去思考，这样就无法得到不等式的 对归纳推理的理解． 出了一个观察任务．这个任务就是一个归 性质．因此，教师在让学生进行归纳推理 这里重点要关注２个问题：归纳的正 纳的过程，要求学生从中找出规律，即随 前，要给学生指定一个明确的方向． 机掷一枚均匀的硬币，硬币落地后正面朝 确性和开放性．正确性是指只要学生根据 例如，教师可在学生完成填空后，提 上的概率与反面朝上的概率相同，都是 给定的归纳素材得出的正确结论都是应该 出这样的问题． 肯定的．例如，对案例１中３个方程的归 由此就可以引出“游戏公平”的内 ①对于不等式２＜３，当不等式两边 纳可以有很多结论：都是等式方程；未知 ，分析：教材在这里通过让学生制作统 念．学生通过亲身体验整个概念的产生过 涵，问题④则从另一个角度完成了对猜想 数都是用 表示的；都含有一个二次多项 同乘以５或 时，不等号的方向是否发 的验证工作．因此可以说，这是一个完整 式……这些结论都应该是正确的，尽管有 生改变？由此你能得出什么结论？再举几 的归纳过程． 些不是～元二次方程的本质属性．开放性 个例子，看结论还成立吗？ 通过上述分析可知，归纳推理是由特 是指不能急于求成地直奔主题，要允许学 殊到一般的思维过程．这个过程需要学生 生产生自由的联想，避免学生的思 通过一定的数量关系分析、归纳、总结出 维．例如，投硬币实验就很可能会出现实 ②对于不等式２＜３，当不等式两边 同乘以一１，一５或一 时，不等号的方向 １ ６ ［２ｏ 一 一ｊ” 薮孚薮备… 是否发生改变？由此你能得出什么结论？ 再举几个例子，看结论还成立吗？ 这些步骤在不同的归纳过程中会有不 感受、思路、能力、知识基础等多方面因 同的体现或省略．教师不能严格要求学生 素，分析归纳产生障碍的原因，进行有 目的的指导．在归纳推理时，由于不同 面也不同．对于学生的回答，无论学生 这样，在教师的引导下，学生自然就 必须按照步骤进行，但应进行必要的提 有目的的猜想．师生双方只有达成共识， 些步骤．例如，对多个特例进行归纳时， 会朝着教师所“预想”的方向思考，进行 示，只有在不需要的时候才能省略其中某 学生的认知水平不同，对问题的思考层 才能顺利地得到结论．预想目标不是硬性 多少个特例才算够用呢？５个，还是１０ 是从哪个角度思考的，只要其中有合理 规定，而是对于数学规律的感受．例如， 个？这个问题要根据学生的具体情况而 的成分，教师都应给予鼓励，促使学生 对概念、定义的归纳，一定是对本质属性 定，如果归纳结果的偏差较大，就需要添 完成归纳猜想和整理的全过程．此案例 的归纳，学生可能会先得到很多属性，然 加更多的例子，用来修正学生猜想的方 中教师的做法打消了学生学习的积极性， 后从中确定本质属性，也就是定义．例 向．如果学生有一定的经验，就可以省略 使学生对结论的探求由主动变为被动，由 如，学生在归纳平行四边形的定义时，得 这个步骤，直接进行共性概括． 积极变为消极． 出“两组对边分别相等”或者“对角线互 ４．不断与学生进行沟通 三、小结 相平分”等结论都可以作为定义，之所以 上述问题的有效性取决于师生之间的 总之，归纳推理是初中数学课程的重 将“两组对边分别平行”作为定义，是因 沟通．沟通是人与人之间、人与群体之间 要内容，同时也是进行教学设计的基本方 为这个性质更能反映概念的本质特征．这 思想与情感的传递和反馈的过程．教师要 法之一．通过归纳推理过程设计的教学过 样，学生不仅获得了定义，还获得了很多 充分了解学生的学习基础，掌握他们的学 程对于开拓学生的视野，激发学生的学习 性质定理． 习心理，不断与学生进行交流，这样可以 兴趣，改进学生的学习方法，增强学生的 需要注意的是，教师不能将自己的思 避免教师对学生的认知水平及分析能力考 创新思维，提高学生的数学归纳推理能 路强加给学生，因此有时花的时间可能会 虑得不周全．当学生所说结论与自己的预 力，都有一定的促进作用．因此，教学 比较多．为了解决时间紧张的问题，教师 想不符时，要关注学生的思维过程，不要 时，一方面，要鼓励学生善于归纳、大胆 可以留适当的课后思考题或预习问题，给 单纯地考虑结果正确与否，要在过程中寻 猜想，激发学生进行归纳推理的欲望；另 学生比较充分的自由思考时间．这样，学 找合理成分并予以鼓励，从而提高学生的 一方面，教师自身也要不断地学习、探 生首先“尽可能”地想，然后按照结论的 自信心． 索，丰富自己的知识储备，帮助学生进行 本质程度进行筛选，逐渐明确目标． 案例４一位教师在让学生归纳不等 有目的的归纳，减少归纳过程的盲目性． ３．让学生充分感受归纳推理的基本 式的概念时，给出了５个关系式，并提问 参考文献： 过程 学生它们的共同特点是什么．当一名学生 ［１］［美］Ｇ．波利亚．数学与猜想［Ｍ］． 利用现有的归纳经验进行目标归纳是 回答“上述关系式的共同特点是反映了两 北京：科学出版社，２００１ 一个感悟的过程，有些教师将这些经验变 个量之间的大小关系”时，教师对学生的 ［２］中华人民共和国教育部．全日制 成了知识，要求学生“背”下来，这样的 答案做出了否定的评价．这反映出教师的 义务教育课程标准（实验稿）［ｓ］． 做法仅在一定时期内是可行的，因为能力 急躁心理，不能倾听学生的思考过程，而 北京：北京师范大学出版社， 永远不是知识的堆积．归纳是一个直觉与 仅看结论是否符合“要求”． ２００１ 逻辑交织互动的过程，因而也是有一定的 分析：归纳过程具有很强的不确定 ［３］石志群．关于“归纳推理”教学 规律的（如案例３就给出了一个完整的归 性，教学中，教师应认真听取学生的表 的几点建议［Ｊ］．中学数学月刊， 纳过程）．对归纳过程的整体理解是学生 述，并追问学生得出结论的思考方法和理 ２００７（１２） 学习归纳推理的重要内容之一，学生只有 由，这样才能促使学生不断地变换思维角 ［４］武锡环，李祥兆．中学数学归＿纳 知道了这些基本步骤，才能知道自己现在 度和表达方法．从而相对地完成归纳 推理的发展研究［Ｊ］．数学教育学 正在做什么或者将来要做什么． 的过程．教师要通过交流了解学生的心理 报．２００４（３） 归纳推理有完整的思维过程，有的过 程可能会省略一些环节，但总的流程可以 归为以下４个主要步骤： （１）要对多个特例进行综合分析； （２）明确归纳的方向，寻找这些特例 的共性因素或规律； （３）猜想和表述找到的共性因素或规 律； （４）要对猜想进行严格的证明． 中国数学教育 ［２０１０年第４期 １ ７
