函数的概念讲义

考 点 考点9 函数的概念与表示 考点10 函数的定义域 考点11 分段函数 考点12 函数的值域与最值 出现频率 1/6 0/6 4/6 1/6 2022年预测 2021年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习. 基础知识诊断 回顾教材 务实基础

【知识梳理】

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：xyf(x)，xA.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{yyf(x)，xA}叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为yf(x)，xD (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域 (1)分式中的分母不为0;

(2)偶次方根下的数（或式）大于或等于0; (3)零指数幂的底数不为0; (4)指数式的底数大于0且不等于1;

(5)对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0; (6)正切函数ytanx(xR且xk2，kZ)．

注：定义域需用区间或集合的形式写出. 3.基本初等函数的值域

(1)ykxb(k0)的值域是R.

4acb2(2)yaxbxc(a0)的值域是：当a0时，值域为{yy}；当a0时，值域为

4a24acb2{yy}．

4a(3)yk(k0)的值域是{yy0}. x(4)yax(a0且a1)的值域是(0，).

(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.

4.函数的值域常规求法

(1)与二次函数有关的函数，可用配方法(注意定义域)；

(2)形如yaxbcxd的函数，可用换元法．即设tcxd，转化成二次函数再求值域(注意t0)； (3)形如yaxb(c0)的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为cxda{yy}；

cax2bxc(4)形如y(a、m中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常

mx2nxp数后换元．

5.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．

考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 函数的定义域

【例1】(2021·深圳期末)若函数yf(x)的定义域为{x2x3，且x2}，值域{y1y2，且y0}，则yf(x)的图像可能是（ ）

A． B．

C．

D．

【例2】(2021·宝安期末)函数f(x)A．[2，)

1(x3)0的定义域是（ ） x2B．(2，C．(2，) 3)(3，)

D．[3，)

【例3】(2020·郑州期中)若函数f(x)

xaxax12定义域为R，则实数a的取值范围是 ．

【例4】已知函数f(x)的定义域为[2，3]，则f(2x3)的定义域是（ ）

1A．[7，B．[3，C．[，3] 7] 3]

21D．[，3]2

【例5】(2020·集宁期中)已知函数f(2x3)的定义域是[1，4]，则函数f(12x)的定义域（ ） A．[2，B．[1，C．[2，D．[1，1] 2] 3] 3]

11【例6】(2020•蚌埠期末)函数f(x)的定义域是[0，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是（ ） 2]，

2211133A．[，B．[，2] C．[，] D．[1，]1]

22222

【解题总结】

1．求定义域出现二次函数形式，在满足常规条件的情况下，我们可以从二次项系数、开口方向、判别式、对称轴位置进行分类讨论.

b)，求2．抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)的定义域为(a，f[g(x)]中ag(x)b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：定义域指的是x的范围，括号范围相同．

已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

3．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 【训练1】(2020•北京)函数f(x)1lnx的定义域是 ． x1x1，x01【训练2】(2017•新课标Ⅲ)设函数f(x)x，则满足f(x)f(x)1的x的取值范围

22，x0是 ．

【训练3】(2021·一模拟)若函数f(x)ln(e2xaex1)对xR恒有意义，则实数a的取值范围是（ ） A．(，)

B．(2，)

C．(2，2)

D．(，2)

1)，则函数f(13x)的定义域是 ． 【训练4】(2020·济南质检)函数f(2x1)的定义域为(0，【训练5】(2021•海珠月考)已知函数f(x)的定义域为[1，5]，则f(x23x5)的定义域为 ．

考点二 函数的解析式

1. 待定系数法求函数解析式

【例1】(2021•朝阳区校级月考)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x);

2. 换元法求函数解析式

11【例2】(2021•让胡路月考)已知f()，则f(x)的解析式为（ ）

xx11x1xA． B． C．

x1xx1

D．x1

3. 配凑法求函数解析式

【例3】(2020•新华模拟)已知函数f(x)在定义域(0，)上是单调函数，若对任意x(0，)，都有11f[f(x)]2，则f()的值是 ．

x5

4. 方程组法求函数解析式

1【例4】已知f(x)2f()x(x0)，求f(x)．

x

5. 分段函数的解析式

(xa)2a2，x0【例5】(2020•海门市期中)设函数f(x)2，若f(0)是f(x)的最大值，则a的取值范

x2x1a，x0围为 ．

【解题总结】

1．已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式．

2．已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围． 3．当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．

4．若已知成对出现f(x)，f(1)或f(x)，f(x)，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个

x方程，消元的方法求出f(x)．

【训练1】(2021•山东模拟)已知f(x2)x3x．求f(x)的函数解析式； 【训练2】(2020•咸阳期末)已知函数f(x1)x22x3，则f(x)（ ） A．x24x

B．x24

C．x24x6

D．x24x1

【训练3】(2020•虹口区期末)已知函数f(x)满足2f(的解析式为 ．

x1x1其中xR且x0，则函数f(x))f()1x，

xxx1x2x1)【训练4】已知函数f(x)满足f(，求f(x)的函数解析式． 2xx考点三 函数的值域

1. 函数值域的常规求法 【例1】分别求下列函数的值域：

12x2x1223])； (3)yx1x； (4)y(1)y； (2)yx2x(x[0，．

12xx3

2. 函数值域的单调性求法

1【例2】(2020•石家庄期末)已知函数f(x)|log3x|在[，m]上的值域为[0，2]，则f(3m)的取值范围是

9（ ）

A．[1，1]

3. 函数值域的换元求法

B．[0，1] C．[1，3] D．[0，3]

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用． 【例3】求函数yx12x的值域．

【例4】求

4. 函数值域的数形结合求法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目． 【例4】求函数y(x3)2(x4)2的值域

5. 复合函数值域不变性（保值性）

形如(或化为)f[g(x)]的函数的值域，抓住最关键一点就是“内值外定”就是内函数看值域是否满足外函数定义域，如果内函数值域完全填满外函数定义域，那么外函数的值域即为整个函数的值域，我们将这个原理叫做复合函数“保值性”，这个问题我们在《秒2》中关于同构式性质中已经阐述． 【例5】(2021•临沂一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y[x]称为高斯函数，也称取整

f(x)12x2x的值域．

ex1函数，例如：[3.7]4，[2.3]2．已知f(x)x，则函数y[f(x)]的值域为（ ）

e12A．{0} B．{1，0} C．{2，1，0} D．{1，0，1}

6. 值域最值逆用

【例6】(2020•台州期末)若函数yx24x4的定义域为[0，m]，值域为[8，4]，则实数m的值可能为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【解题总结】

1．单调性法求值域:一般能用于求复合函数的值域或最值(原理:同增异减)． 2．换元法求值域适用类型：无理函数、三角函数(用三角代换)等．

3．数形结合求值域适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．

【跟踪训练】

1.(2017•浙江)若函数f(x)x2axb在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则Mm（ A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

2．（2020•赤峰期末）函数y2x41x的值域为( ) A．(，4]

B．(，4]

C．[0，)

D．[2，)

3．（2020•威宁县期末）已知函数f(x)(4a)x3a，x1的值域为log3x，x1R，则实数a的取值范围是(A．(2,4) B．[2，4) C．(，2] D．{2}

4．（2021•3月份模拟）函数f(x)2xx26x10的值域为 ．

5．（2021•百校模拟）求f(x)x1x2的值域

考点四 分段函数的应用

【例1】(2021•遵义一模)已知函数f(x)x22x，0x22f(x2)，x2，则f(9)（ ）

A．16 B．8 C．8 D．16

【例2】（2018•新课标Ⅰ）设函数f(x)2x，x0，则满足f(x1)10f(2x)的x的取值范围是( ，xA．(，1] B．(0，) C．(1，0) D．x(，0)

）))

【解题总结】

1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 2x13，x11.(2021•广西二模)已知f(x)，则f(f(3))（ ）

log(1x)，x12A．1 B．1 C．2 D．2

x1(x2)e3.(2021•乌鲁木齐一诊)函数f(x)，则不等式f(x)1的解集为（ ）

log(x1)(x2)3A．(1，2)

4B．(，)

34C．(1，)

3D．[2，)

x1，x01f(x)xf(x)f(x)12，x021.（2017•新课标Ⅲ）设函数，则满足的x的取值范围是__ _．