4.万有引力理论的成就
1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是 ( )。 A.天王星、海王星和冥王星,都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的
B.在18世纪已经发现的7颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差
C.第八颗行星,是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经大量计算而发现的 D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的 答案:B
解析:由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、C、D错误,B正确。
2.若已知某行星绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T,万有引力常量为G,则由此可求出( )。
A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的密度 D.太阳的密度 答案:B
解析:设行星的质量为m,太阳质量为M,由万有引力定律和牛顿第二定律有GMm=m(2π)r,得
2
r2T23
M=4πr,因太阳的半径未知,故无法求得密度。 T2G
3.(2013·浙江理综)如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )。
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 答案:C
解析:各小行星距太阳远近不同,质量各异,太阳对小行星的引力F引=GMm,A错;地球绕日的
r2r,显然轨道半径r越大,轨道半径小于小行星绕日的轨道半径,由GMm=m4π2r得T=2π
Tr2GM绕日周期T也越大,地球绕日周期T地=1年,所以小行星绕日周期大于1年, B错;由
GMm=ma,a=GM,可见,内侧小行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度,选项C正确;由r2r223GMm=mv2,v=GM,小行星轨道半径r小大于地球绕日轨道半径r地,v地>v小,选项D错。
rr2r4.(2013·四川绵阳高一检测)宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行,变轨后的半径为R2,且R1>R2,
宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动,则变轨后宇宙飞船的( )。
A.线速度变小 C.周期变大 答案:D
B.角速度变小 D.向心加速度变大
222vMm解析:根据G=m=mrω=mr(2π)=ma向,可知变轨后飞船的线速度变大,A项错误;角速度
rr2T变大,B项错误;周期变小,C项错误;向心加速度变大,D项正确。
5.有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍,则该星球质量是地球质量的( )。 A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.倍 答案:D
4G·πR3?ρ4解析:由g=GM3GπRρ,可知g∝R,即该星球半径是地球半径的4倍,由22RR3M=ρ·4πR3可知该星球的质量是地球质量的倍。
36.(2013·福建理综)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇
航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( )。 A.mv GNC.Nv Gm答案:B
22B.mv GND.Nv Gm244解析:行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,有GMm'=m'v①
RR2行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力,有GMm=mg②
R2根据题意,有N=mg③
4mv解以上三式可得M=,选项B正确。 GN7.如图所示,两个星球A、B组成双星系统,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点
3做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB,万有引力常量为G。求L(其
T2中L为两星中心距离,T为两星的运动周期)。
答案:G(mAmB)
4π2解析:设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。
则rA+rB=L, 对星球A:
B=mArA4π GmAm222LT对星球B:
B=mBrB4π GmAm222LT联立以上三式求得 L3G(mAmB)。
T24π28.(2013·安徽高考)(1)开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴
3aa的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即2=k,k是一个对所有行星都相同的常量。将T行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M太。
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。
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经测定月地距离为3.84×10 m,月球绕地球运动的周期为2.36×10 s,试计算地球的质量M地。
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(G=6.67×10 N·m/kg,结果保留一位有效数字) 答案:(1)k=GM太 (2)6×10 kg
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4π223解析:(1)GM太m=ma4π,又k=a,故k=GM太。
T2T2a24π222324
(2)GM地m月=m月4πr,M地=4πr,代入数值解得:M地=6×10 kg。
T2GT2r2
