不等式选讲-近三年高考真题汇编详细答案版

分类汇编：不等式选讲

2014年真题： 1．[2014·广东卷] 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________． 1．(－∞，－3]∪[2，＋∞)

51

2．[2014·湖南卷] 若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x－3＜x＜3，则a＝________．



2．－3 3．[2014·陕西卷] A．(不等式选做题)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．

3．

14．[2014·重庆卷] 若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a

2

的取值范围是________．

5．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 5．(1)C 6．[2014·福建卷] (Ⅲ)选修4-5：不等式选讲

已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a. (1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3. 6. (Ⅲ)解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3. 7．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.

(1)求M；

1

(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.

4

3x－3，x∈[1，＋∞），

7．解：(1)f(x)＝

1－x，x∈（－∞，1）.

44

当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；

33

当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.

4

所以f(x)≤1的解集M＝x0≤x≤3.



2113(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16x－4≤4，解得－≤x≤，

44

13

因此N＝x－4≤x≤4，



3

故M∩N＝x0≤x≤4.



1

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当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是

1121

xf(x)＋x·[f(x)]＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－x－2≤. 44

8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-5：不等式选讲

2

2

11

若a>0，b>0，且＋＝ab.

ab

(1)求a3＋b3的最小值．

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6并说明理由.

112

8.解：(1)由ab＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立．

abab

故a3＋b3≥2a3b3≥4 2，当且仅当a＝b＝ 2时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为42. (2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.

由于43>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6. 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲

1

x＋＋|x－a|(a＞0)． 设函数f(x)＝a(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

111

x＋＋|x－a|≥x＋－（x－a）＝＋a≥2，所以9．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝aaa

f(x)≥2.

1

3＋＋|3－a|. (2)f(3)＝a1

当a>3时，f(3)＝a＋，

a5＋21

由f(3)<5得31＋51

当0a21＋55＋21.

综上，a的取值范围是2，2

10．[2014·浙江卷] (1)解不等式2|x－2|－|x＋1|＞3；

(2)设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立条件．

解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x＋1)＞3，得x＜2，此时x≤－1； 当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x＋1)＞3，得x＜0，此时 －1当x>2时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得x>8，此时x>8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．

111

(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得＋＋＝1.

abbcca

由柯西不等式，得

111＋＋≥(1＋2＋3)2， (ab＋4bc＋9ac)abbcca所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．

2

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2013年真题：

1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x的不等

式x5x3a无解,则实数a的取值范围是_________

【答案】

,8

2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则

(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.

【答案】2

3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式x211的解集为

_________

【答案】

0,4

24 ．（2013年高考湖北卷（理））设x,y,zR,且满足:xy2z21,x2y3z14,

则xyz_______.

【答案】二、解答题

314 75 ．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲

设均为正数,且,证明:

(Ⅰ)

【答案】

; (Ⅱ).

6 ．（2013年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲

3

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已知函数fxxa,其中a1.

(I)当a=2时,求不等式fx4x4的解集;

(II)已知关于x的不等式f2xa2fx2的解集为x|1x2,求a的值.

【答案】



7 ．（2013年福建数学（理））不等式选讲:设不等式

3x2a(aN*)的解集为A,且A,

21

A. 2

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)xax2的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为

3131A,且A,所以2a,且2a 2222解得

13a,又因为aN*,所以a1 [来源:学科网] 22(Ⅱ)因为|x1||x2||(x1)(x2)|3

当且仅当(x1)(x2)0,即1x2时取得等号,所以f(x)的最小值为3

8 ．（2013年江苏卷（数学））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.

已知ab>0,求证:2a3b32ab2a2b

4

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[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【答案】D

证明:∵2a3b32ab2a2b2a32ab2(a2bb3)2aa2b2b(a2b2) [来源:Z|xx|] a2b2(2ab)(ab)(ab)(2ab)

又∵ab>0,∴ab>0,ab02ab0, ∴(ab)(ab)(2ab)0 ∴2a3b32ab2a2b0 ∴2a3b32ab2a2b

9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲

已知函数(Ⅰ)当

=

<

,=.

=2时,求不等式的解集;

(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,<

≤化为

,求的取值范围.

,

【答案】当=-2时,不等式

设函数=,=,

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当

时,

<0,∴原不等式解集是

. (Ⅱ)当

∈[,)时,=,不等式≤化为,

5

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∴对∈[,)都成立,故,即≤,

∴的取值范围为(-1,].

2012年真题（部分）

1.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数f(x)xax2

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集；

（2）若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 【答案】（1）当a3时，f(x)3x3x23

x2x32x3 或或

3x2x33xx23x3x23 x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立

xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立 3a0

2.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x使|xa||x1|3成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】2a4.

【解析】不等式|xa||x1|3可以表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时即是x在点a和点1之间时，此时距离和为|a1|，要使不等式|xa||x1|3有解，则|a1|3，解得2a4. 3【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为{x2x1}。 (Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若f(x)2f()k恒成立，求k的取值范围。

x26

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【答案】

【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第(Ⅰ)问，要真对a的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对

xf(x)2f()的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。本题属于中

2档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 4【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a，b，c∈R，且

【答案】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想.

5.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x，y满足：

|xy|115求证：|y|． ，|2xy|，3618【答案】证明：∵3|y|=|3y|=|2xy2xy|2xy2xy，

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由题设|xy|111155∴3|y|<=。∴|y|。 ，|2xy|，3636618【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

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