２０１６年第６期 河北理科教学研究 问题讨论 问 题 再谈高考中 讨 论 圆锥曲线定义的应用 河北省武邑县职教中心刘永智李凤迎０５３４００ 摘要：通过对一些经典例题的深入分析，论述了圆锥曲线定义在解题中的运用方法和技巧 关键词：圆锥曲线定义；焦半径 平面解析几何作为高考的重要组成部 ｌＰＣ Ｉ且Ｉ ＢＦ２ ｌ＝Ｉ ＢＣ Ｉ，所以ＯＢ为 分，经常出现在高考试题中．高考中的这些题 ａ ＣＦｌ Ｆ２的中位线，则Ｉ ＯＢ ｌ＝ １ Ｉ ＣＦ】Ｉ＝ 目主要考查椭圆的定义、双曲线的定义和抛 物线的定义．解决这些问题的标志是看题目 吉（Ｉ 。Ｉ＿ｌ Ｐｃ Ｉ）＝｛（Ｉ 。ｌ－１ Ｊ）． 中是否出现“焦半径”，也即圆锥曲线上的一 由双曲线定义知ｌ ＰＦ ｌ—Ｉ ＰＦ：Ｉ＝２ａ，所以 点与其焦点所组成的线段，此信息就向我们 暗示了要使用“定义法”来解决． ｌ ＯＢ ｌ＝ ×２口＝。，故选Ｂ． １求线段（或线段和）的长度 例２（２０１４年 ２ ２ 例１ 已知双曲线 一 ＝１（０＞０， 全国新课标）已知抛 Ｕ Ｕ 物线Ｃ：ｙ２：８ｘ的焦 ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ，，Ｆ：，ｅ为双曲 Ｐ ＼ ｙ 点为Ｆ，准线为Ｚ，Ｐ 线的离心率，Ｐ是双曲线右支上的动点， 是Ｚ上一点，Ｑ是直线 Ｈ ＼ ａＰＦ。Ｆ 的内切圆的圆心为，，过Ｆ 作直线 Ｚ与ＰＦ的一个交点， ／／／ Ｐ，的垂线，垂足为Ｂ，则线段ＯＢ的长度为 Ｄ ‘若ＦＰ＝４ ＦＱ， （ ）． 则Ｉ ＱＦ Ｉ＝（ ）． ＼ Ａ．ｂ Ｂ．ａ Ｃ．ｅｂ Ｄ．ｅａ 分析：首先根据三角形内心的性质及等 Ａ． Ｂ吾 Ｃ．３ Ｄ．２ 腰三角形的“三线合一”性质将Ｉ Ｐ ｌ转化 分析：首先根据抛物线的定义，可把求 为Ｉ ＰＣ ｌ，再根据三角形中位线定理和双曲 ｌ ＱＦ ｌ的长问题转化为求点Ｑ到抛物线的 线定义，问题即可解决． 准线ｚ的距离ｌ ＱＨ ｌ的长问题；然后再由 解析：延长Ｆ Ｂ交ＰＦ 于Ｃ，则可知ＰＢ ＦＰ＝４ ＦＱ的意义及相似三角形的知识求 既为ａＰＦ：Ｃ角平分线又为ａＰＦ：Ｃ高线， 得Ｉ ＱＦ ｌ的长． 所以ＡＰＦ２ Ｃ为等腰三角形，所以ｌ ＰＦ２ Ｉ＝ 解析：在抛物线中，因为２ｐ＝８，所以Ｐ ・１・ ２０１６年第６期 ＝河北理科教学研究 一问题讨论 ４，所以焦点为ｖ（２，０），准线ｆ： ：一２．设 个动点，则点Ｐ到点Ａ（０，２）的距离与点Ｐ ｌ与 轴交于Ｋ，则ｆ ＦＫ ｌ＝４．过Ｑ作ＱＨ上 Ｚ于 ，则抛物线定义知Ｉ ＱＦ Ｉ＝Ｉ ＱＨ Ｉ．因 为ＦＰ＝４ ＦＱ，所以ｌ ＱＰ ｌ＝３ ｌ ＱＦ ｌ，设 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）． Ａ． ．／ ｆ Ｂ．３ ｃ． Ｄ． Ｉ ＱＦ Ｉ＝ｍ，则ｌ ＱＨ Ｉ＝ｍ，Ｉ ＱＰ Ｉ＝３ ｍ． 因为Ａ ＰＱＨ—Ａ ＰＦＫ，所以 ＝ 分析：首先根据抛物线的定义将Ｉ ＰＦ ｌ 转化为点Ｐ到准线的距离Ｉ ＰＰ Ｉ再利用动 ｛＿＿ ，所以 ３ ｍ＝ ４ｍ，解得 ＝３，即 Ｉ ｐ ｌ：３，故选Ｃ． 例３（２０１４ 年辽宁１５）已知 椭圆ｃ：号十 ｜ ｘ ＝１，点 与Ｃ的 焦点不重合，若 关于Ｃ的焦点 的对称点分别为Ａ，Ｂ，线段ＭＮ的中点在Ｃ 上，则Ｉ ＡⅣｌ＋ｌ ＢＮ Ｉ： ． 分析：根据三角形中位线定理把求 Ｉ ＡⅣｌ＋Ｉ ＢＮ Ｉ的大小问题转化为求 Ｉ尸Ｆ。Ｉ＋ｌ ＰＦ Ｉ的大小问题，再利用椭圆定 义即可求得Ｉ ＡＮ ｌ＋ｌ ＢＮ ｌ的值． 解析：设线段ＭＮ的中点为Ｐ，左右焦点 分别为Ｆ ，Ｆ ．又因为Ｆ 为线段ＭＡ的中 点，Ｆ 为线段ＭＢ的中点，所以Ｉ Ａ Ｊ７、，ｌ＝ ２ ｌ ＰＦｌ ｌ，ｌ ＢＮ ｌ＝２ Ｉ ＰＦ２ １．则Ｉ ＡⅣｌ＋ ｌ ＢＮ ｌ＝２ ｌ ＰＦ１ ｌ＋２ ｌ ＰＦ２ ｌ＝２（Ｉ ＰＦｌ Ｉ＋ Ｉ ＰＦ２ Ｉ）．由椭圆定义得ｌ ＰＦ ｌ＋Ｉ ＰＦ Ｉ＝ ２ａ，所以Ｉ ＡⅣｌ＋Ｉ ＢＮ Ｉ：４ａ．又因为ａ ： ９，所以ａ＝３，所以Ｉ ＡＮ Ｉ＋Ｉ ＢＮ ｌ：１２． ２ 求线段和（或差）的最值 例４ 已知点Ｐ是抛物线ｙ２＝２ 上的 ・ ，・ 点三角形中的三边关系，即当三点Ｐ，Ａ，Ｆ 共线时所求问题即可解决． 解析：设点Ｐ在准线上的射影为Ｐ ，由 抛物线定义得ｌ ＰＰ ｌ：ｌ ＰＦ Ｉ，则ｌ Ｊｐ Ｉ＋ Ｉ ＰＡ ｌ＝Ｉ ＰＰ Ｉ＋Ｉ ＰＡ Ｉ．当Ｐ，Ａ，Ｆ三点共 线时，Ｉ ＰＦ ｌ＋Ｉ Ｐ４ ｌ有最小值．又因为抛物 线焦点为 （ ，０），所以（Ｉ ＰＰ Ｉ＋ｌ ＰＡ １） ＝ｌ ＡＦ ｌ＝√（ ） ＋２ ＝ ．故选Ａ． 例５ 设Ｆ－，Ｆｚ分别是椭圆 ＋ ＝ １的左、右焦点，Ｐ为椭圆上任一点，点 的 坐标为（６，４），则ｌ Ｐ ｌ十Ｉ ＰＦ Ｉ的最大值为 分析：首先根据椭圆的定义，把求ｌ Ｐ Ｉ ＋ｌ ＰＦ １最大值问题转化为求Ｉ ＰＭ ｌ— Ｉ ＰＦ ｌ的最大值问题，再利用动点三角形中 的三边关系——当三点共线时Ｉ Ｐ Ｉ— Ｉ ＰＦ Ｉ有最小值，从而问题得解． 解析：因为ａ ＝２５，所以ａ＝５．由椭圆 定义得Ｉ ＰＦｌ ｌ＋Ｉ ＰＦ２ ｌ＝２０＝１Ｏ．所以 ｌ ＰＭ Ｉ＋ｌ ＰＦｌ Ｊ＝ｌ Ｐ Ｉ＋（１０一Ｉ尸Ｆ２ Ｉ） ＝Ｉ ＰＭ ｌ—ｌ ＰＦ２ Ｉ＋ｌ０．因为点Ｐ为动点，所 以．Ｉ Ｐ Ｉ—ｌ ＰＦ２ ｌ≤Ｉ ＭＦ２ Ｉ，当 ，Ｆ２，Ｐ 三点共线时，（Ｉ Ｐ Ｉ—ｌ ＰＦ Ｉ）一＝ ２０１６年第６期 河北理科教学研究 问题讨论 ｌ ＭＦ Ｉ．又因为Ｉ ＭＦ Ｉ：￣／ｒ ｊ：５，所 以ｌ Ｐ Ｉ＋Ｉ ＰＦ１ ｌ≤１０＋５＝１５．即ｌ ＰＭ Ｉ ＋Ｉ ＰＦ ｌ的最大值为ｌ５． ３ 求直线的斜率（或倾斜角） 例６（２０１３年 皖南八校联考）已知 直线ｆ：Ｙ＝ｋ（ 一 ２）（ｋ＞０）与抛物线 ．｝ Ｃ：ｙ２＝８ｘ交于Ａ， Ｄ 两点， 为抛物线Ｃ ‘｛ ．｜Ｆ 的焦点．若Ｉ ＡＦ Ｉ＝ ２ Ｉ ＢＦ ｌ，则ｋ的值 八＼ ４ 求焦点三角形的面积 例７ 已知点Ｐ是椭圆 ＋号＝ｌ上的 一点，且 Ｆ ＰＦ２＝６０。，则△Ｆｌ ＰＦ２的面积 为． ——分析：首先设Ｉ ＰＦ１ Ｉ＝ｍ，ｌ ＰＦ ｌ＝ｎ， 用余弦定理求得ｍ与ｎ之间的关系，再根据 椭圆定义用配方法求得ｍｎ的值，代人三角 形面积公式问题即可解决． 解析：由题意得ａ＝４，Ｃ＝３，所以 Ｉ Ｆ１ Ｆ２ Ｉ＝２ｃ＝６．设Ｉ ＰＦ１ Ｉ＝ｍ，Ｉ ＰＦ２ ｌ ＝ｎ，由余弦定理得Ｉ Ｆｌ Ｆ２ ｌ ＝ｌ ＰＦｌ ｌ ＋ ｌ ＰＦ２ Ｉ 一２ Ｉ ＰＦ１ ｌｌ ＰＦ２ Ｉ ｃ０ｓ Ｆ１ ＰＦ２，即 ６：ｍ ＋ｎ 一ｍｎ，所以３６：（ｍ＋ｎ） 一 ３ ｍ凡．由椭圆定义得ｍ＋ｎ＝２ａ＝８，所以 ３６：６４—３ ａｒｎ，所以ｍ凡： ２８，所以Ｓ Ｆ． ： ＝吉ｍｎｓｉｎ Ｆ ＰＦ ＝ １・２了８・ ＝ ． ５ 求圆锥曲线的离心率 例８ 已知双曲线 一 ：１（ｏ＞０， ｂ＞０）的左右焦点分别为Ｆ。，Ｆ ，点 ， 在 双曲线的右支上，且ＡＢ经过右焦点Ｆ ，若 △ＡＢＦ 为等腰直角三角形，则双曲线的离 心率的平方的值为 分析：首先设ｌ ＡＦ Ｉ：ｍ，根据双曲线 定义，将△ＡＢＦ 中的各条线段用ｍ表示，获 得ｍ与口的关系，再在ＡＡＢＦ 中由勾股定 理获得口与ｃ的关系，根据离心率公式问题 即可解决． 解析：设Ｉ ＡＦ，Ｉ＝ｍ，则ｌ ＡＢ ｌ＝ｍ， Ｊ ＢＦ。ｌ＝√２ ｍ．由双曲线定义得Ｉ Ａ Ｊ一 ・ ・ ２０１６年第６期 河北理科教学研究 问题讨论 Ｉ ＡＦ２ ｌ＝２ａ，所以ｌ ＡＦ２ １．ｍ一２Ⅱ，同理 可得Ｉ Ｆ２ Ｉ＝ ｍ一２ａ．又因为Ｉ Ａ Ｉ： Ｉ ＡＦ２ ｌ＋Ｉ曰Ｆ２ Ｉ，所以ｒｉｇ＝ｍ一２口＋ ｍ 一２ａ，所以ｍ＝２√２ｏ．则在△ＡＦ。Ｆ：中， Ｉ Ｆｌ Ｉ：２√２０，ｌ ，２ Ｊ＝（２￣／２—２）ｎ．由 ｌ Ｆｌ Ｆ２ ｌ ＝ｌ ＡＦ１ ｌ ＋Ｉ ＡＦ２ Ｉ ，得（２ｃ） ＝ （２√ ） ＋［（２√ 一２）口］。，所以。。：（５— ２ ）５２，则ｅ２： ：５—２ ． 口 ６ 判断圆锥曲线的类型 例９ 点Ｐ是以Ｆ ，Ｆ：为焦点的椭圆上 一点，过焦点， 作 Ｆ 外角平分线的 垂线，垂足为 ，则点 的轨迹为（ ）． Ａ．圆 Ｂ．椭圆 ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 分析：延长Ｆ 交Ｆ Ｐ于Ⅳ，则知线段 ＰＭ为等腰△ＰＦ Ｎ的“三线合一”线．再由 三角形中位线定理和双曲线的定义获得点 Ｍ的轨迹． 解析：延长 ： 交，ｌＰ于Ⅳ，因为Ｐ 既为ＰＦ Ｎ角平分线又为ＡＰＦ：Ｎ高线， 所以△ＰＦ２ Ｎ为等腰三角形，所以ｌ ＰＦ。Ｉ ＝ｌ ＰⅣｆ．连接ＯＰ，因为０为 Ｆ：的中点， 所以ＯＭ为△ⅣＦ１ Ｆ２的中位线，则ｌ ＯＭ ｌ ： ｌ Ｆｌ Ｊ７、『Ｉ： （１ ＰＦ１ ｌ＋ｌ尸ⅣＩ）： ｛（Ｉ ＰＦ ｌ＋Ｉ ＰＦ：ｆ）， 由椭圆定义知 Ｉ ＰＦｌ ｌ＋Ｉ ＰＦ２ ｌ＝２ａ，所以Ｉ ＯＭ ｌ：０，贝４ 可知点 的轨迹是以０为圆心，以０为半径 的圆．故选Ａ． ７ 求圆锥曲线的方程 例１０（２０１４年大纲２１）已知抛物线ｃ： ・４・ Ｙ ：２ｐｘ的焦点为Ｆ，直线Ｙ＝４与Ｙ轴的 交点为Ｐ，与Ｃ的交点为Ｑ，且Ｉ ＱＦ Ｉ－ ｌ ＰＱ Ｉ，（１）求Ｃ的方程，（２）略． 分析：可以利用待定系数法．首先利用抛 物线的定义结合已知条件求得含有ｐ的点Ｐ 的横坐标，再将点Ｐ的坐标代入抛物线方程 即可求得Ｐ值． 解析：设９（ ，４），直线Ｙ＝４与准线交 于日．因为抛物线的准线为 ＝一罢，则由抛 物线定义知Ｉ ＱＦ Ｉ＝Ｉ Ｑ ｌ＝ ＋告．又因 为Ｉ ＰＱ Ｊ＝ ，ｆ ＱＦ Ｉ． Ｉ ＪＰＱ ｆ，所以 ＋号＝ ，解得 ＝２ｐ，则Ｏ（２ｐ，４）．代入 Ｙ ＝２ｐｘ得１６：２ｐ・２ｐ，解得Ｐ＝２，所以 抛物线的方程为ｙ２＝４ｘ． ８ 求动点的轨迹方程 例１１ 点Ｐ 是圆Ｃ：（ ＋２） ＋ｙＺ＝４上的动 ＼ 点，定点Ｆ（２，０）， ／Ｄ／ 线段ＰＦ的垂直平 ｜ 分线与直线ＣＰ 的交点为Ｑ，则点Ｑ的轨迹方程为． ——分析：首先根据线段垂直平分线的性质 将ｆ ＯＦ ｌ转化为ｆ ９Ｐ Ｉ，再根据双曲线的定 义求得动点９的轨迹方程． 解析：圆Ｃ的圆心为Ｃ（一２，０），半径ｒ ：２．由线段垂直平分线的性质可知Ｉ ｑＦ Ｉ ＝ｌ ＱＰ Ｉ，贝４ ｌ ＱＦ Ｉ—Ｉ Ｏｃ Ｉ＝ｌ ＱＰ Ｉ— Ｊ Ｏｃ Ｉ＝ｆ ｃＰ ｌ＝２．此时因为Ｉ ＯＦ Ｉ— ２０１６年第６期 河北理科教学研究 问题讨论 Ｉ ＱＣ Ｉ＜Ｉ ＣＦ Ｉ，所以点Ｑ的轨迹为以Ｃ，Ｆ 为焦点的双曲线．因为２ｎ＝２，２ｃ＝４，所以 ０＝１，ｃ＝２，所以０。＝１，ｂ ＝ｃ 一０ ＝ ３．又因为双曲线的焦点在 轴上，所以点Ｑ ２ 的轨迹方程为２一号＝１． ９ 圆锥曲线综合应用 例１２ 过双 ２ ２ 曲线 一 ： “ ￡， １（０＞０，ｂ＞０）的 左焦点Ｆ ，作圆 Ｆ ＋ｖ２＝０ 的切线 交双曲线右支于点 Ｐ，切点为Ｔ．ＰＦ 的中点 在第一象限，则以ｆ＝结论正确的是 （ ）． Ａ．ｂ一０＝Ｉ Ｍ０ ｌ—ｌ ｌ Ｂ．ｂ—ｎ＞Ｉ Ｄ ｌ—Ｉ Ｉ Ｃ．ｂ一口＜Ｉ Ｍ０ Ｊ＋Ｉ Ｉ Ｄ．ｂ一０＝Ｉ Ｍ０ Ｉ＋ｌ １ 分析：首先根据三角形中位线定理和双 曲线定义将Ｉ ＭＯ Ｉ，ｌ ＭＴ Ｉ都用ｌ ＰＦ。Ｉ表 示，再根据双曲线中０，ｂ，ｃ之间的关系表示 Ｉ ＴＦ１ Ｉ． ．解析：连接ＰＦ２，则ＭＯ为△Ｆ ＰＦ２的 中位线，则Ｉ Ｄ Ｉ＝ １ Ｉ ＰＦ：Ｉ，Ｉ Ｄ Ｉ— Ｉ肘 ｌ＝ １ Ｉ ＰＦ２ Ｉ一（Ｉ ｌ Ｉ—Ｉ ＴＦｌ １） １ Ｉ ＰＦＩ— １ Ｉ ＰＦ＝ ２ １ Ｉ＋Ｉ ＴＦＩ Ｉ＝ １ 去（１ ＰＦ２ Ｉ—ｌ ＰＦ１ Ｉ）＋Ｉ Ｆ１ Ｉ．由双曲线定 义得ｌ ＰＦ Ｉ—ｌ ＰＦ ｌ：２ａ，又因为在 ＲｔＡ Ｆ ＯＴ中，Ｊ ＴＦ ｌ－、 ： ：６，所以ｌ ＭＯ ｌ—Ｉ ＭＴ Ｉ： （一２。）＋６＝６一。．故选Ａ． 例１３ 过抛物 Ｄ 线ｙ２＝４ｘ的焦点 Ｆ的直线交抛物线 于 ， 两点，点０ 是坐标原点，则 Ｅ ０ Ｉ ＡＦ Ｉ・Ｉ ＢＦ Ｉ的 最大值是（ ）． Ａ．２ Ｂ．２ ｃ．４ Ｄ．４ 分析：首先引入参数设出直线ＡＢ的倾 斜角 ，再利用抛物线定义将ｌ ＡＦ ｌ和ｌ ＢＦ Ｉ 用含有 的代数式表示，根据正弦函数的有 界性求得ｌ ＡＦ １．１ ＢＦ ｌ的最大值． 解析：设点Ａ在抛物线准线上的射影为 Ｄ，在 轴上的射影为Ｃ， 轴与准线的交点 为Ｅ，设直线ＡＢ的倾斜角为 ．因为２ｐ：４， 所以Ｐ＝２．由抛物线定义得Ｉ ＡＦ Ｉ： ｌ ＡＤ Ｉ，又因为Ｉ ＡＤ ｌ＝Ｉ ＣＥ ｌ＝Ｉ ＥＦ ｌ＋ Ｉ ＦＣ ｌ＝Ｐ＋ｌ ＡＦ Ｉ ｃｏｓ０，所以ｌ ＡＦ Ｉ＝２＋ Ｉ ＡＦ Ｉ ｃ。ｓ０， 则 Ｉ ＡＦ Ｉ＝ 南． 同理 １ 日Ｆ ｌ ＝ 南・所以 Ｉ ＡＦ ＢＦ ｌ＝ ＝ ．因为ｏ＜ｓｉｎ２ ０≤１，所以 ｌＡＦ １．Ｉ Ｆ ｌ≥４．故选ｃ． ・ ５ ・
