阿波罗尼斯圆

已知平面上两定点A,B，则所有满足PAk（k1）的点P的运动痕迹是一个圆，这个PBOAOPk时，∵POABOP∠，∴POAOPOB圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 观察下面的图形，当P在在圆上运动时，∽BPO，∴PA=k，∴PA,PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持k不变，这PB个圆就是阿氏圆。 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“公共边”型相似（也叫“母子型相似”或“美人鱼相似”）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握公共边型相似三角形的性质和构造方法。 如图，在ABC的边AC上找一点D，使得∽ACB。

那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目： 1.已知：ACB90°,CB4,CA6,⊙C半径为2，P为圆上一动点。 求（1）AP11BP的最小值；（2）APBP的最小值。 23ADAB，则此时ABDABAC

1

2.如图，已知扇形COD，∠COD90°，OC6，OA3,OB5，点P是CD弧上一点，求

2PAPB的最小值。

3.在正方形ABCD中，G为正方形内一点，AD4,P为BC的中点，且BGBP，则DG

4.如图，在△ABC中，∠B90°，ABCB2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA

5.如图1，抛物线yax2a3x3a0与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0）（0m4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1:C2=6:5,求m的值；

2

1CG的最小值是 . 22PC的最小值是 . 2（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕O点逆时针旋转到OE，旋转角为（090），连接EA,EB，求EA

6.问题提出

（1）如图①，在△ABC中，ABAC，BD是AC边上的中线，请你用尺规作图作出AB边上的中线，并证明BDCE；

2EB的最小值. 3

问题探究

（2）如图②，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部的一个动点，PA3，求PC最小值；

3

1PD的2问题解决

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB18，BC25，点M是矩形内部一个动点，MA15，当MC

7.（17遵义）如图，抛物线yax2bxab（a＜0，a,b为常数）与x轴交于A,C两点，与

33MD最小时，画出点M的位置，并求出的最小值. 55y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y816x． 93（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m,0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D,E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）； i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O,B重合），无论ON如何旋转，不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

3ii．试求出此旋转过程中，BANB的最小值。

4NP始终保持NB

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