浙教版初中数学七年级下册30.十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解

十字相乘法及分组分解法（提高）

【学习目标】

1. 熟练掌握首项系数为1的形如x(pq)xpq型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】

【400150 十字相乘法及分组分解法 知识要点】 要点一、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式xbxc，若存在222pqc2 ，则xbxcxpxq

pqb要点诠释：（1）在对xbxc分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c0，

则p、q同号(若c0，则p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号

（2）若xbxc中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考

虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对

为止.

要点二、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式axbxc(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

22aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式axbxc的一次项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与

2a2xc2之积，即ax2bxca1xc1a2xc2.

要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号

里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

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要点三、分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 二项、二项 三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 特点 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式 四项 分组分解法 六项 要点四、添、拆项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】

类型一、十字相乘法

1、分解因式： x(a1)x(6a13a6) 【答案与解析】

解：原式＝xa1x2a33a2

222

x2a3x3a2x2a3x3a2

【总结升华】将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.

举一反三：

【变式】分解因式：3xyy3x4y5 【答案】

解：原式y(3x4)y3x5(y3x5)(y1)

22

2、分解因式：

【思路点拨】该题可以先将a2a看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十

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字相乘.

【答案与解析】 解： 因为

2a2a12a2a14a2a

所以：原式＝[

－2][

－12]

＝(a2a2)(a2a12)

＝a1a2a3a4

【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：

【变式】分解因式：(x3x)2(x3x)8； 【答案】

解：原式x23x4222x23x2

x4x1x1x2

3、分解下列因式

(1)(xx1)(xx2)12 (2)(x3x3)(x3x4)8 【答案与解析】

解：（1）令xx1t，

则原式t(t1)12tt12(t4)(t3)(xx5)(xx2) (x2)(x1)(xx5)

（2）令x3xm，

原式(m3)(m4)8mm20(m5)(m4) (x3x5)(x3x4)(x4)(x1)(x3x5)

【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法

22222222222222

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4、分解因式：x2xyy3x3y2

【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成(xy)，第4、5项→3(xy). 【答案与解析】

解：原式(xy)3(xy)2(xy1)(xy2)

【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：

【400150 十字相乘法及分组分解法 例4】 【变式】分解因式：（1）abacbc

（2）5a5b3a3b （3）3xyy3x4y5

【答案】

解：（1）原式ababcabababc；

（2）原式5a2b23ab5abab3abab5a5b3； （3）原式3xy3xy4y53x(y1)(y1)(y5)(y1)(3xy5). 类型三、拆项或添项分解因式

5、拆项或添项分解因式

43（1）4xyxy3； （2）x； （3）x48x7

222222222222【答案与解析】

149 16161249 (2xy)

4163 (2xy2)(2xy)

2解析：（1）原式4xyxy22 (xy1)(4xy3)

（2）x

x16x16x

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(x8)16x

(x4x8)(x4x8) （3）x48x7 x49xx7 x(x49)x7 (x7)(x7x1)

【总结升华】这一方法需很强的数感和创造的灵性，对提高我们的数式变形能力非常有帮助. 肯定不能上来就漫无边际地去想，本着公式结构的需要去凑配项应是首先去尝试的思路.

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