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２００６年第１１期 中学教研（数学） ・４１・ 一 ）＜ｏ，代入可得 ）＝ ｂ２一 ２ｂ２＋ｃ＝一 ｂ２一ｎ— 一 再看－－“／－的几何意义，它代表的是点（ｎ，ｂ）与原 点连线的斜率的倒数，而 。 ＝一２，所以满足条件的 点（ｎ，ｂ）与原点连线的斜率范围为（一２，一１），其倒 ， １、 ｂ ＋３ｎ ＋３ａ６ ＝一一 ｊ口 数的范围为ｆ一１，一÷１． 、 二， （２）由于，（０）＞０，，（１）＞０，故由图形只要在 （０，１）间取一个特殊值说明其为负即可，如 （ ＋÷ｎ）。＋ ３ ｎ２ １）＝等＋６＋ｃ＝等一ｎ＝一号＜ｏ． 除了上述试题，试卷中还安排了较多的以数助 眨 号． ＼＼ Ｌ 形的问题，考查学生通过坐标系用代数的方法把握 ＼ Ｏ 王 图形的条件和性质的能力，如理第１５题（文第１６ 题）中两向量的夹角计算和解析几何大题中角的相 等的证明，另外还有立体几何大题中的向量解法等． 上述只是例举了２００６年高考浙江卷对图形把 握能力要求的考查，在２００６年各地的高考试卷中也 图９ 体现着类似的要求．新的课程标准提出，“加强几何 直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助 直观进行思考．在几何和其它内容的教学中，都应借 助几何直观，揭示研究对象的性质和关系”，这样的 要求能有效地引导我们重视图形把握能力的培养． 点（ｎ，ｂ）是在从点Ｐ出发的往下的射线（不包括Ｐ 点），解方程组可得Ｐ（ｃ，一２ｃ）． 初等数学研究‘‘初辱数学研究・・初等数学研究・・初等数学研究・－初等赣学研究－・初等赣学研究・・初辱效学研究－－初等赣学研究・・初等赣学研究 ｌ 三角形等角共轭点的性质探究 奏 妻 ・李耀文 （山东省枣庄市第四十中学 ２７７２ｏｏ） ・朱艳玲 （山东枣庄市第三十一中学２７７２１１） ｌ 等散学研究．．初辱效学研究．．初等散学研究．．初辱数学研究．．初等赣学研究．．初等散学研究．．初等靠学研究．．初等赣学研究．．初等赣学研 在近世初等几何学上，等角共轭点是重要的研 究内容之一．关于三角形的等角共轭点算是大家最 熟悉的了． 如图１，给定一个△ＡＢＣ （３）每边及延长线上的所有点同以对顶点为它 们的等角共轭点； （４）除以上所说的点外，每一点都有唯一的等角 共轭点和它配成点偶． 关于“等角共轭点”的概念，也可以推广到多边 和两个点Ｐ，Ｑ，如果使其满足 ＰＡＢ＝ Ｃ， ＰＢＡ＝ 形．对于一个多边形来说，假如一点Ｐ与各顶点连线 的等角线汇于一点Ｑ，则这样的Ｐ，Ｑ两点仍有等角 共轭点之称．不过任意的多边形未必有等角共轭点 图１ Ｃ， ＰＣＢ＝ Ｑ ，那么 这样的Ｐ，Ｑ两点叫做ＡＡＢＣ 的等角共轭点．…・ 对于一个三角形而言： （１）外接圆上除３个顶点外，其余所有点均无等 这种点偶存在． 下面笔者就“三角形的等角共轭点”再作一些有 益的探讨，并给出一系列有趣的性质，供大家赏析参 考． 角共轭点和它们相配； （２）每个顶点可有无限多个等角共轭点，即对边 所在直线上的所有点； 性质１ 设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的一对等角共轭点， 则Ｐ，Ｑ在边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ（所在直线）上的射影必共 维普资讯 http://www.cqvip.com
・４２・ 中学教研（数学） ２００６年第１１期 圆，其共圆圆心是等角共轭点Ｐ，Ｑ连线的中点，如图 ２． 事实上，这个命题对多 边形来说也是成立的． 如果一个多边形有等 角共轭点，那么这对等角共 轭点在各边（所在直线）上 的射影必共圆，所共圆圆心 图２ 是这对等角共轭点连线的中点． 于是我们可以得到： （１）若两点在一个多边形各边（所在直线）上的 射影共圆，则它们必是该多边形的等角共轭点； （２）若一点在一个多边形各边（所在直线）上的 射影共圆，则该点的等角共轭点（关于该多边形而 言）必定存在． 注上述性质１在有关书籍［１］，［２］中不难查 到，如在梁绍鸿著《初等数学复习及研究（平面几 何）》一书中，对多边形的情形编列为第三章的例题 ４６（Ｐ．１８６—１８７），读者不妨自己查阅，其证明也并不 难，为省篇幅，这里从略． 其实我们还可以把性质１加强为如下一个等价 形式的命题． 性质１ 设给定ＡＡＢＣ及Ｐ，Ｑ两点，则Ｐ，Ｑ两 点是ＡＡＢＣ的等角共轭点的充要条件是：点Ｐ，Ｑ在 ＡＡＢＣ各边（所在直线）上的射影必共圆． 性质２设给定ＡＡＢＣ及Ｐ，Ｑ两点，则Ｐ，Ｑ两 点是ＡＡＢＣ的等角共轭点的充要条件是：点Ｐ，Ｑ到 ＡＡＢＣ各边的距离成反比．（证明略） 性质３三角形的一对等角共轭点到各顶点的 距离乘积之比等于其等角共轭点到各边的距离乘积 之比． 证明 如图３，由 ＬＰＡＢ＝ＬＱＡＣ，Ｐｚ Ｌ ＡＢ． Ｑｙ＇＿ＬＡＣ，易知有 ＲｔＡＰＡＺｖ，Ｒｔ△Ｑ‘４ ｙ，， 所以 ＰＡ＝ ＰＺ． 图３ 同理，由 ＲｔＡＰＡＹ，￣ＲｔＡＱＡＺ ， 得 ＱＡ Ｑｚ ＰＹ： ． 于是 ，ＰＡ、 ＰＹ・ＰＺ Ｉ 』一Ｑｙ ・ＱＺ ‘ 同理（器） ＝ ，（ ） ＝ 所以 ＰＡ ｔ ＰＢ・ＰＣ ＰＸ・ＰＹ・Ｐｚ 性质４三角形的一对等角共轭点对于三角形 的垂足三角形的面积之比等于其等角共轭点与各顶 点连线所分成对应的３个三角形的面积乘积之比． 为了证明性质，先给出如下引理． 引理 设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的等角共轭点（如图 １），则有 ＡＰ ｓｉｎＬＢＱＣ ＢＰ ｓｉｎＬＣＱＡ ＣＰ ｓｉｎ厶ＡＱＢ ＡＱ—ｓｉｎＬＢＰＣ’ＢＱ—ｓｉｎＬＣＰＡ’ＣＱ—ｓｉｎＬＡＰＢ‘ （证明略） 下面给出性质４的证 明： 证明 如图４，因 ， ，ｙ，ｙ ，ｚ，ｚ 分别是等角 共轭点Ｐ，Ｑ在ＡＡＢＣ的边 ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上的射 图４ 影，由性质１知， ， ，ｙ， ｙ ，ｚ，ｚ 六点共圆，所以 Ｓ△ ＸＹ－Ｙｚ－ｚＸ Ｓ ｘ，ｒ —ＸｔＹ’・Ｙ’ｚ’・ＺｔＸｔ 又由Ｐｚ上Ａ ，ＰＹ＿ＬＡＣ知Ａ，Ｙ，Ｐ，Ｚ四点共圆，且ＡＰ 为ＱＡＹＰＺ的直径，所以ＹＺ＝ＡＰｓｉｎＡ． 同理ｙ Ｚ ＝ＡＱｓｉｎＡ，ＺＸ＝ＢＰｓｉｎＢ，Ｚ Ｘ ＝ ＢＱｓｉｎＢ，ＸＹ＝ＣＰｓｉｎＣ，Ｘ ｙ，＝ＣＱｓｉｎＣ．于是 ＸＹ・Ｙｚ・ｚＸ ＡＰ・ＢＰ－ＣＰ ｘ Ｙ ・Ｙ ｚ －ｚ Ｘ 一ＡＱ・ＢＱ・ＣＱ。 （２） 利用三角形面积公式，有 Ｓ Ｂ： －ＡＰ。ＢＰ．８ｉｎＬＡＰＢ． ｓ△眦： 即．ＣＰ．ｓｉｎＬＢＰＣ， Ｓ△Ｐｃ＾： ｃＰ．ＡＰ．ｓｉｎＬＣＰＡ， 所以 ｓ△ ・ｓ 眦・ｓ ＝÷（ＡＰ・即・ｃｐ） ・（ｓｉｎＬＡＰＢ・ｓｉｎ／＿ＢＰＣ・ｓｉｎ ＣＰＡ） ’同理 ｓ ・ｓ ・ｓ ＝÷（ＡＱ・加・ＣＱ） ・（ｓｉｎ ＡＱ ・ｓｉｎＬＢＱＣ・ｓｉｎ ＣＱＡ） 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００６年第１１期 中学教研（数学） ・４３・ 再由引理知 ＡＰ——一 星Ｑ 一ｓｉｎＬＣＱＡ ｃ＿ｅｅ一 ＿旦 ＡＱ—ｓｉｎＬＢＰＣ’ＢＱ—ｓｉｎＬＣＰＡ’ＣＱ—ｓｉｎＬＡＰＢ‘ 所以。 ＡＰ・ＢＰ・ＣＰ Ｓ 队８・ｓ Ｐ８ｃ’ｓ ＰｅＡ ｒ１、 Ｊ４Ｑ・ＢＱ・ＣＱ—Ｓ△口＾日・Ｓ△ｏ ｃ・Ｓ△ｏｃ＾‘ 由（１），（２），（３）式，可得 ｓ Ｈｚ ｓ Ｐ ‘ｓ Ｐ８ｃ‘ｓ Ｐｎ Ｓａｘ・ｒｚ・Ｓ△口＾日 Ｓ△口日ｃ‘Ｓ△口 由上述性质４的证明过程，不难推证如下推论 （证明略）． 推论１ ＡＡＢＣ的等角共轭点Ｐ，Ｑ对于ＡＡＢＣ 的垂足三角形（图４中的ＡＸＹＺ，ＡＸ ｙ，ｚ ）的边长由 下式给出： ＺＹ＝ＡＰｓｉｎＡ＝ＡＰ’蠡， ｚ～Ｙ＝ＡＱｓｉｎＡ＝ＡＱ’ ａ， 其中口表示ＡＡＢＣ的边ＢＣ的长，Ｒ表示ＡＡＢＣ的外 接圆半径． 推论２ ＡＡＢＣ的等角共轭点Ｐ（或Ｑ）对于 ＡＡＢＣ的垂足三角形（图４中的ＡＸＹＺ或ＡＸ Ｙ Ｚ ） 的边垂直于所对的ＡＡＢＣ顶点与等角共轭点Ｑ（或 Ｐ）的连线（图４中的ＺＹ＿ＬＡＱ（或ｚ ｙ，上Ｊ４Ｐ）等）． 推论３ ＡＡＢＣ的等角共轭点（Ｐ，Ｑ）对于 ＡＡＢＣ的垂足三角形的边，与ＡＡＢＣ的对应边乘这 边相对的顶点到等角共轭点的距离的积成比例． 推论４ ＡＡＢＣ的一对等角共轭点（Ｐ，Ｑ）及其 在ＡＡＢＣ相应两边上的射影为顶点的两个对应三角 形相似（图４中的Ａｐｙｚ，￣，ＡＱｚ Ｙ ，等）． 推论５ ＡＡＢＣ的等角共轭点（Ｐ或Ｑ）到各顶 点的距离之积，与其等角共轭点对于ＡＡＢＣ的垂足 三角形（图４中的ＡＸＹＺ或△ ’ｙ’Ｚ’）的３边之积的 ，＇ｐ２、 比是一定值Ｉ、 ‘ｌ， ｌ，其中△，Ｒ分别表示ＡＡＢＣ的面 积、外接圆半径． 推论６ 三角形的等角共轭点对于三角形的垂 足三角形的面积之比等于其等角共轭点与顶点连线 所分成对应的３个三角形外接圆半径的乘积之比． 性质５设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的等角共轭点，则 ＡＢ・ＡＣ。ＢＡ．ＢＣ。ＣＡ・ＣＢ一 。： Ｑ ：墨Ｑ ： Ｑ一， 证明详见文［４］，这里从略． 特别地，当ＡＡＢＣ的等角共轭点Ｐ，Ｑ是自等角 共轭点（即Ｐ与Ｑ重合，即ＡＡＢＣ的内心，）时，有 Ａｌ２ Ｂ Ｃ ． Ａ—Ｂ￣—ＡＣ 赢■ ■历 ‘ 一般地，设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ内任意两点，则 ＡＰ．ＡＱＪ胁４Ｂ・Ａｃ ＢＡ ＢＣ＋ ＣＡ ＣＢ Ｃ’ ・ ’ ・ 当且仅当ＬＰＡＢ＝ＬＱＡＣ，ＬＰＢＣ＝／ＱＢＡ，ＬＰＣＢ＝ ＬＱＣＡ时取等号 ． 注 此性质笔者曾刊发在文［４］上，２００１年１０ 月四川省的宿晓阳老师在同期刊上又给出了上面一 般性的推广． 性质６设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的等角共轭点，则在 ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上分别存在点Ｄ，Ｅ，Ｆ，使得ＰＤ＋ＤＱ＝ ＰＥ＋ＥＱ＝ＰＦ＋ ，且ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ三线共点． 证明 如图５，设Ｐ点 关于直线ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的对称 点分别为Ｐｌ（ｉ：１，２，３）．连 结Ｐ。Ｑ交ＢＣ于点Ｄ，再连 ＰＤ，由对称性知：ＰＤ＝Ｐ． 于是 ＰＤ＋ＤＱ＝ＰｌＤ＋ＤＱ＝ＰＩ 图５ 类似地，可以在ｃＡ和 ＡＢ上得到点Ｅ，Ｆ，且使得 ＰＥ＋ＥＱ：Ｐ２Ｅ＋ＥＱ＝Ｐ：Ｑ； ＰＦ＋ＦＱ＝Ｐ３Ｆ＋ＦＱ＝Ｐ３Ｑ． 连接ＰＩｃ，Ｐ２ｃ，ＰＩＢ，Ｐ３Ｂ，则易证知 ＡＢＱＰＩ ＡＢＱＰ¨ △ＣＱＰｌ △ＣＱＰ２， 得ＰＩＱ＝Ｐ２Ｑ＝Ｐ３Ｑ． 从而尸ｌＤ＋ＤＱ＝尸Ｅ＋ＥＱ＝ＰＦ＋ＦＱ． 不妨设ＬＢＱＤ＝ａ，ＬＣＤＱ＝口，ＬＰＢＣ＝ ＬＱＢＡ＝０，ＬＰＣＢ＝ＬＱＣＡ＝ ，则易知 ＬＰｌＢＱ＝０＋０＋ ＰＢＱ：／＿＿ＡＢＣ， ＬＰｌＣＱ＝ ＋ ＋ＬＰＣＱ＝ＬＡＣＢ． 由正弦定理得 ＢＰＩ ＱＰＩ ｓｉｎＡＢＱＰＩ—ｓｉｎＬＰＩＢＱ’ ＣＰＩ ＱＰＩ ｓｉｎＺ．ＣＱＰＩ—ｓｉｎＬＰＩＣＱ 又因ＢＰｌ＝ＢＰ，ＣＰＩ＝ＣＰ，故 维普资讯 http://www.cqvip.com
・４４・ 中学教研（数学） ２００６年第１１期 ｓｉｎ￣ｔｓｉｎＢ 一一 ．——ｓｉ 一ＣＰ ｓｉｎＣ 肋｜ｓ 。寺Ｂｑ‘ＤＱ 眦 ．肋－ｓｉｎＢ ＣＤ｜ｓ△ｃｑＤ ｌＣＱ．ＤＱ．ｓ ｃＱ‘ＣＰ’。 同理 ＣＥ： ： ＡＦ—一 ——一 —： Ｑ： ＡＰ・ａｑ・ｓｉｎＡ’ＦＢ ＢＰ・Ｂｑ・ｓｉｎＢ‘ 所以 ・等・篙 由塞瓦（Ｃｅｖａ）定理的逆定理知，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ三 线共点． 由上述性质６的证明过程，不难得到： 推论设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的等角共轭点，且Ｐ，Ｑ 分别关于ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的对称点依次记作为Ｐ ，Ｑ （ｉ＝１，２，３），则 （１）Ｐ。Ｑ。＝ＰＱ（ｉ＝１，２，３）； （２）０Ｐ．Ｐ２Ｐ３与０Ｑ。Ｑ Ｑ３是等圆．（证明略） 注此性质笔者曾发在文［６］上． 性质７设Ｐ，Ｑ是ＡＡＢＣ的等角共轭点，分别 在ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ边上各取两点ＤＩ，Ｄ２；Ｅｌ，Ｅ２；Ｆｌ， ， 且使其满足／ＰＤｌＣ＝／ＱＤ２Ｂ＝ Ｐ Ａ＝／ＱＥ２Ｃ＝ ／ＰＦ．Ｂ＝／Ｑ Ａ＝０（如图６），贝４ （１）Ｄ，，Ｄ２，Ｅ。， ，Ｆ．， 六点共圆； （２） 若 记 ０ＤＩＤ２ＥｌＥ２Ｆｌ 的圆心为 ０，则ＯＰ：ｏｑ，且ｚ＿Ｐｏｑ＝ ２ 图６ 证明如图６， （１）在ＡＡＰＦＩ和ＡＡＱＥ２中，由／ＰＡＦｌ＝ ＱＡ 及／＿＿ＡＦｌＰ＝／ＡＥ２Ｑ，得ＡＡＰＦｌ—ＡＡＱＥ２，所 ＡＰ Ａ Ａｐ—ＡＥ‘ ’ 同理，由ＡＡＰＥ。一△ＡＱ ，得篇＝ ．于是 ＝ 御 ，恤：，所 ， 四点共圆．同理，可得Ｄ。，Ｄ２，Ｅ．，Ｅ２及Ｄ．，Ｄ２，Ｆ．， 四点共圆，故有Ｄ．，Ｄ：，Ｅ．，Ｅ２，Ｆ。， 六点共圆． （２）记０ＤｌＤ２ＥｌＥ２Ｆｌ 的圆心为０，Ｌ＝ＤｌＰｎ Ｄ２Ｑ，Ｍ＝ＥｌＰｎ Ｑ，Ｎ＝ＦｌＰｎ Ｑ，由 ＰＤｌＣ＝ ＱＤ２Ｂ＝ ＰＥｌＡ＝ ｑＥ２Ｃ＝ ＰＦｌＢ＝ Ｑ Ａ＝０， 知 ￡＝ 肘＝ Ⅳ．所以￡，肘，Ｎ，Ｐ，Ｑ五点共圆． 不妨取Ｏ￣ＵＮＰｑ中弧ＰＱ的中点尺（如图６）， 于是，ＲＬ，ＲＭ，ＲＮ分别平分 ＤｌＬＤ２， ＥｌＭＥ２， ／ＦＩⅣＦ２，因此，尺是ＤｌＤｌ，ＥｌＥ２，ＦＩＦ２三条线段的中 垂线的交点． 这就表明：尺必重合于该性质中（１）的六点 ＱＤ．Ｄ２Ｅ，Ｅ２Ｆ。Ｆ２的圆心０，这时很显然有ＯＰ＝ｏｑ， ｚ＿Ｐｏｑ＝２０． 此性质７还可改述为如下等价形式： 性质７ 一圆分别与ＡＡＢＣ的三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ 交于Ｄ．，Ｄ：；Ｅ，，Ｅ２；Ｆ．， 六点，在每边上各取一点 （如Ｄ。，Ｅ，，Ｆ。），记ＡＤ．Ｅ．Ｆ．关于ＡＡＢＣ的密克点 （Ｍｉｑｕｅｌ Ｐｏｉｎｔ） 。】［ 为Ｐ；ＡＤ２Ｅ２ 关￣：ＡＡＢＣ的密 克点为Ｑ，则Ｐ，Ｑ两点互为ＡＡＢＣ的等角共轭 点 ． 注该性质是由上海教育出版社数学编辑室的 叶中豪先生供给《数学通讯》１９９７年第６期上的“问 题征解”栏目中的第１７２题．同时，我们经分析、比 较、联系，不难看出性质７其实质是性质１的一般性 表述形式（推广）． 可见，关于“三角形等角共轭点”的美妙性质相 当丰富，还有待进一步的探索与发掘． 参考文献 ｌ［美］Ｒ．Ａ．约翰逊著．单埠译．近代欧氏几何学 ［Ｍ］．上海：上海教育出版社，１９９９． ２梁绍鸿．初等数学复习及研究（平面几何）［Ｍ］． 北京：人民教育出版社，１９７８． ３ 闵飞．三角形等角共轭点的一个性质［Ｊ］．中学数 学，２００５（１２）：２１． ４李耀文．三角形等角共轭点的一个有趣性质［Ｊ］． 中学数学，２００１（１）：ｌ３． ５宿晓阳．三角形等角共轭点的一个有趣性质［Ｊ］． 中学数学，２００１（１０）：２５． ６李耀文，高安国．三角形等角共轭点的一个性质 ［Ｊ］．中学数学，２ｏｏ４（４）：封底． ７叶中豪．问题征解．数学通讯［Ｊ］．１９９８（８）：４５— ４８． ８李耀文．三角形等角线的性质初探［Ｊ］．中学教研 （数学），２００１（７）：２３—２７．
