2020年山东省泰安市岱岳区中考数学一模试卷

题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 若（ ）-（-2）=3，则括号内的数是（ ）

A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 2. 下列计算正确的是（ ）

A. a4+a4=a8 B. （a3）4=a7

3a2b-2=4a4b2 C. 12a6b4÷D. （-a3b）2=a6b2

3. PM2.5是指大气中直径0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示（ ） A. 2.5×10-7 B. 25×10-4 C. 25×10-7 D. 025×10-5 4. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）

A. 13 B. 11 C. 10 D. 8

5. 如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数

等于（ ）

A. 122°B. 151°C. 116°D. 97°

6. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正

方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）

A.

7. 不等式组

B. C. D.

的整数解的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测

到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，

=0.9272，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°

sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（ ） A. 22.48 B. 41.68 C. 43.16 D. 55.63 9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则

AC的长等于（ ）

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A. 4 B. 6 C. 2 D. 8

10. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折

叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（ ）

11. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的

圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 2 B. 4 C. D. 2

A. B. C.

+ +π -

D. 2+

12. 如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不

与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

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13. 一元二次方程x2-x=0的根是______．

14. 小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千

克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为______． 15. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD

延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=______．

16. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表

x y -1 -1 0 3 1 5 3 3 下列结论： ①ac＜0；

②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． ③3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根； ④当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0． 其中正确的结论是______．

17. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中

有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为______步．

18. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、

O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2

在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的

5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两

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幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．

（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．

四、解答题（本大题共6小题，共50.0分） 20. 先化简：

+

÷

在从-1≤x≤3的整数中选取一你喜欢的x的值代入求值．

21. 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB

的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD． （1）求∠P的度数及点P的坐标； （2）求△OCD的面积；

（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

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22. 为了落实党的“精准扶贫”，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农

村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260

吨．

（1）A城和B城各有多少吨肥料？

（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．

（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？

23. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，

且PD⊥AD．

（1）证明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

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24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（-1，0），B（2，0）且与y轴交

于点C，OA=OC．

（1）求该抛物线的表达式；

M是线段BC1上的一个动点C1重合）（2）点C关于x轴的对称点为C1，（不与B、，

ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面

积最大？说明理由；

（3）已知点P时直线y=x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．

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25. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，

E是BC的中点，AD⊥AE． （1）求证：AC2=CD•BC； （2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB． ①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵ 3+（-2）=1， ∴ 1-（-2）=3， 故选：B．

根据题意列出算式，计算即可得到结果．

此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2.【答案】D

【解析】解：A、原式=2a4，错误； B、原式=a12，错误； C、原式=4a4b6，错误； D、原式=a6b2，正确． 故选D．

原式各项计算得到结果，即可做出判断．

此题考查了整式的除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3.【答案】B

10-6． 【解析】解：将0.0000025用科学记数法表示为2.5×

故选：B．

10-n，与较大数的科学绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×

左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4.【答案】B

【解析】解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴； 第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴； 第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴； 第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴； 则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11． 故选：B．

根据轴对称及对称轴的定义，分别找到各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案． 本题考查了轴对称及对称轴的定义，属于基础题，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 5.【答案】B

【解析】解：∵AB∥CD，∠1=58°， ∴∠EFD=∠1=58°， ∵FG平分∠EFD，

58°=29°∴∠GFD=∠EFD=×， ∵AB∥CD，

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-∠GFD=151°∴∠FGB=180°．

故选：B．

根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．

题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．

6.【答案】C

【解析】【分析】

由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义． 【解答】

解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， 5=． ∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷故选：C．

7.【答案】C

【解析】解：

，

解不等式①得，x＞-， 解不等式②得，x≤1，

所以，不等式组的解集是-＜x≤1，

所以，不等式组的整数解有-1、0、1共3个． 故选C．

先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个数． 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 8.【答案】B

【解析】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，

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MN=30×2=60（海里）， ∵∠MNC=90°，∠CNP=46°， ∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°， ∵∠BMP=68°，

-∠BMP=22°∴∠PMN=90°，

-∠PMN-∠PNM=22°∴∠MPN=180°，

∴∠PMN=∠MPN，

∴MN=PN=60（海里）， ∵∠CNP=46°， ∴∠PNA=44°，

∴PA=PN•sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里） 故选：B．

过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可

此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 9.【答案】A

【解析】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D， ∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC， ∴∠COD=∠B=60°；

在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°， ∴CD=OC=2

，

∴AC=2CD=4． 故选：A．

首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．

此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大． 10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】

解：∵E是AD的中点， ∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE=EG，AB=BG， ∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中， ∴∠A=∠D=90°， ∴∠EGF=90°，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

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，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF=FG，

设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，

在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2， 解得x=4． 故选B． 11.【答案】A

【解析】解：设AD与圆的切点为G，连接BG， ∴BG⊥AD， ∵∠A=60°，BG⊥AD， ∴∠ABG=30°， 2=在直角△ABG中，BG=AB=×∴圆B的半径为

，

，AG=1，

1×= ∴S△ABG=×

在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°， ∴∠EBF=120°， ∴S阴影=2（S△ABG-S扇形）+S扇形FBE=2（-）+

=

+．

故选：A．

设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．

此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键． 12.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP， ∴△BPD∽△CAP， ∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y， ∴x：4=y：（4-x）， ∴y=-x2+x．

故选：C．

由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键． 13.【答案】x1=0，x2=1

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【解析】解：方程变形得：x（x-1）=0， 可得x=0或x-1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1．

方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：由题意可得，

，

故答案为：

．

根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

15.【答案】50°

【解析】解：如图，连接BC，AF，OF，OF交CE于K． ∵AB是直径，∠ACF=65°， ∴∠ACB=90°，∠BCF=∠OAF=25°， ∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA=25°，

∴∠HOK=∠OAF+∠OFA=50°， ∵CH=HE， ∴OH⊥EC， ∴∠OHK=90°， ∴∠OKH=∠FKE=40°， ∵EF是⊙O切线， ∴OF⊥EF， ∴∠KFE=90°，

-∠FKE=50°∴∠E=90°．

故答案为50°．

如图，连接BC，AF，OF，OF交CE于K，因为△EFK是直角三角形，欲求∠E，只要求出∠EKF即可，再转化为求∠HOK即可解决问题．

本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是添加辅助线，需要灵活运用圆的有关知识，属于中考常考题型．

16.【答案】①③④

【解析】解：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5， ∴

，

解得，

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∴y=-x2+3x+3，

3=-3＜0，故①正确； ∴ac=-1×对称轴为直线x=-=，

所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 方程为-x2+2x+3=0，

整理得，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3，

所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故③正确； -1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0正确，故④正确；

综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④．

利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确．

本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：DH=100，DK=100，AH=15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK=∠A， 而∠CKD=∠AHD， ∴△CDK∽△DAH， ∴=，即∴CK=

．

步． =

，

答：KC的长为故答案为

．

证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的

长．

本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 18.【答案】10100

【解析】解：由图象可知点B2020在第一象限， ∵OA=，OB=4，∠AOB=90°， ∴AB=

=

=，

∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），… ∴B2020（10100，4）．

∴点B2020横坐标为10100．

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故答案为10100

首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的坐标．

本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 19.【答案】解：（1）56÷20%=280（名）， 答：这次调查的学生共有280名；

15%=42（名），（2）280×

280-42-56-28-70=84（名）， 补全条形统计图，如图所示，

280=30%，根据题意得：84÷

360°×30%=108°，

答：“进取”所对应的圆心角是108°；

（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为： A B C D E A B （A，B） C （A，C） （B，C） D （A，D） （B，D） E （A，E） （B，E） （D，E） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （C，B） （D，B） （E，B） （E，C） （C，D） （C，E） （E，D） （D，C） 用树状图为：

共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．

【解析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；

（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可； （3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．

此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：原式=

==

+，

+•

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∵从-1≤x≤3的整数中选取一你喜欢的x的值， ∴x可以为：-1，0，1，2，

当x=0，1，2时，分式无意义， 当x=-1时， 原式=-．

【解析】直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键． 21.【答案】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．

∴∠PMA=∠PHA=90°，

∵∠PAM=∠PAH，PA=PA， ∴△PAM≌△PAH（AAS）， ∴PM=PH，∠APM=∠APH， 同理可证：△BPN≌△BPH， ∴PH=PN，∠BPN=∠BPH， ∴PM=PN，

∵∠PMO=∠MON=∠PNO=90°， ∴四边形PMON是矩形， ∴∠MPN=90°，

∴∠APB=∠APH+∠BPH=（∠MPH+∠NPH）=45°， ∵PM=PN，

∴可以假设P（m，m）， ∵P（m，m）在y=上，

∴m2=9， ∵m＞0， ∴m=3，

∴P（3，3）．

（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b， ∴AB=6-a-b，

∵AB2=OA2+OB2， ∴a2+b2=（6-a-b）2， 可得ab=6a+6b-18， ∴3a+3b-9=ab， ∵PM∥OC， ∴

=

，

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∴=∴OC=

，

，同法可得OD=

， =•

=9．

∴S△COD=•OC•DO=•

（3）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b， ∴AB=6-a-b，

∴OA+OB+AB=6， ∴a+b+

=6，

∵a2+b22ab,a+b2

+≤6， ∴2

≤6， ∴（2+）

≤3（2-）, ∴

∴ab≤54-36， ∴S△AOB=ab≤27-18

，

∴△AOB的面积的最大值为27-18．

【解析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．

（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．

OB=b，BN=BH=3-b，（3）设OA=a，则AM=AH=3-a，可得AB=6-a-b，推出OA+OB+AB=6，可得a+b+

=6，利用基本不等式即可解决问题．

22.【答案】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨

根据题意，得解得

答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；

（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则从A城运往D乡（200-x）吨， 从B城运往C乡肥料（240-x）吨，则从B城运往D乡（60+x）吨． 若总运费为y元，根据题意，

得：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x） =4x+10040

由于y=4x+10040是一次函数，k=4＞0， y随x的增大而增大． 因为x≥0，

所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元．

（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元， 所以y=（20-a）x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x） =（4-a）x+10040

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当0＜a＜4时，∵4-a＞0

∴当x=0时，运费最少是10040元； 当a=4时，运费是10040元； 当4＜a＜6时，∵4-a＜0

∴当x最大时，运费最少．即当x=200时，运费最少．

所以：当0＜a＜4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少；

当a=4时，不管A城化肥运往D乡多少吨，运费都是10040元．

当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．

【解析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；

（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；

（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．

本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（3）需分类讨论，并且需注意A城只有化肥200吨．

23.【答案】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，

∴∠ACD+∠BDC=90°， ∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∵PD⊥AD，

∴∠ADC+∠PDC=90°， ∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M， ∵∠BDC=∠PDC， ∴CE=CM，

∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴

=，

设CM=CE=x， ∵CE：CP=2：3， ∴PC=x， ∵AB=AD=AC=1， ∴=

，

解得：x=，

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故AE=1-=．

【解析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；

（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．

24.【答案】解：（1）∵点A（-1，0） ∴OA=1，

∵OA=OC=1，且点C在y轴负半轴， ∴点C（0，-1）

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（-1，0），B（2，0）且与y轴交于点C， ∴

解得：

∴抛物线的表达式为：y=x2-x-1； （2）∵点C关于x轴的对称点为C1， ∴C1（0，1），

∵点B（2，0），点C1（0，1）， ∴直线BC1的解析式为：y=-x+1， ∴设点M坐标为（m，-m+1） ∴MF=m，ME=-m+1，

ME=m×∴矩形MFOE的面积=MF×（-m+1）=-m2+m=-（m-1）2+， ∴当m=1时，矩形MFOE的最大面积为，

此时点M的坐标为（1，），即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大；

（3）由题意，C（0，-1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边

形，分以下两种情况：

①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C=PQ， 设P（m，m+1），Q（m，m2-m-1）， ∴|（m2-m-1）-（m+1）|=2，

解得：m1=4，m2=-2，m3=2，m4=0（舍），

P1（4，3），Q1（4，5）；P2（-2，0），Q2（-2，2）；P3（2，2），Q3（2，0） ②C1C为对角线，

∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），

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∴PQ的中点为（0，0），

设P（m，m2-m+1），则Q（-m，m2+m-1） ∴（m+1）+（m2+m-1）=0，

解得：m1=0（舍去），m2=-2， ∴P4（-2，0），Q4（2，0）；

综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（-2，0），Q2（-2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（-2，0），Q4（2，0）．

【解析】（1）先求出点C坐标，再利用待定系数法可求解析式；

（2）利用待定系数法可求直线BC1的解析式为：y=-x+1，设点M坐标为（m，-m+1），由矩形的面积公式和二次函数的性质可求解；

（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．

本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．

25.【答案】证明：（1）∵AC平分∠BCD， ∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE， ∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠DAC=∠EAB． 又∵E是BC的中点， ∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC， ∴∠DAC=∠ABC， ∴△ACD∽△BCA， ∴=，

∴AC2=CD•BC；

（2）①证明：连接AH． ∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称， ∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE， ∴点G是AB的中点， ∴HG=AG，

∴∠GAH=∠GHA． ∵点F为AC的中点， ∴AF=FH，

∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°， ∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC， 又∵∠B=30°，

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∴AC=BC=EB=EC． 又EK=EB， ∴EK=AC，

即AK=KE=EC=CA， ∴四边形AKEC是菱形．

【解析】（1）欲证明AC2=CD•BC，只需推知△ACD∽△BCA即可；

（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；

②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．

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