一、数列的通项公式的常用求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现将求数列的通项公式的几种常见类型及方法总结如下：
1．观察法
根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式． 例1:根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
579
(1)1,1，，，，…；
71531
(2)2,22,222,2 222，…； (3)3,0，-3,0,3，….
13579
解:(1)数列即，，，，，…，
1371531
由于分子是等差数列{2n-1}的各项，分母是数列{2n-1}的各项， ∴an＝
2n-1
(n∈N+)． n
2-1
(2)所求数列的通项可转化为数列9,99,999,9 999，…的通项，即数列{10n-1}，
2
易得an＝(10n-1)(n∈N*)．
9
(3)所求数列的通项可转化为数列1,0，-1,0,1，…的通项，这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值．
nπn-1
从而有an＝3sin或an＝3cosπ(n∈N+)．
22
2．代换法
将数列的递推公式运算变形后，运用整体代换的方法转化为等差(比)数列，再求出数列的通项公式．-
an-1
例2:已知数列{an}，a1＝2，an＝(n≥2)，求an.
1+an-1
an-111
解:由an＝两边取倒数得-＝1，
1+an-1anan-1111
∴数列{}是首项为＝，公差为1的等差数列，
ana12
1
1112n-12∴＝+(n-1)＝n-＝.∴an＝. an2222n-1
3．迭代法
对于形如an＝f(an-1)型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使an与初始值a1(或a2)建立联系的方法就是迭代法．
例3:已知数列{an}，a1＝2，an＝2an-1-1(n≥2)，求an. 解1:(迭代法)
an＝2an-1-1＝2(2an-2-1)-1＝22an-2-2-1 ＝22(2an-3-1)-2-1 ＝23an-3-22-2-1 ＝…
＝2n-1a1-2n-2-2n-3-…-22-2-1 ＝2n-(2n-2+2n-3+…+22+2+1)
n-1
-1)n1·(2＝2- 2-1
＝2n-2n-1+1＝2n-1+1. 解2:(代换法)：
∵an＝2an-1-1，∴an-1＝2(an-1-1)，
∴数列{an-1}是首项为a1-1＝1，公比为2的等比数列， ∴an-1＝2n-1， ∴an＝2n-1+1. 4．叠加法
对于由形如an+1-an＝f(n)型的递推公式求通项公式，
(1)当f(n)＝d为常数时，为等差数列，则an＝a1+(n-1)d； (2)当f(n)为n的函数时，用叠加法． 方法：由an+1-an＝f(n)得
当n≥2时，an-an-1＝f(n-1)， an-1-an-2＝f(n-2)， …
a3-a2＝f(2)， a2-a1＝f(1)．
以上(n-1)个等式叠加得
an-a1＝f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)，
n-1
∴an＝a1+∑f(k)，
k＝1
为了书写方便，也可以用横式来写： ∵当n≥2时，an-an-1＝f(n-1)，
∴an＝(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 ＝f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.
(3)已知a1＝a，an+1-an＝f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.
①若f(n)是关于n的一次函数，叠加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的二次函数，叠加后可分组求和；
③若f(n)是关于n的指数函数，叠加后可转化为等比数列求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，叠加后可裂项求和．
例4:已知数列{an}中，a1＝1，且an+1-an＝3n-n，求数列{an}的通项公式． 解:由于本例给出了数列{an}中连续两项的差，故可考虑用叠加法求解．
2
由an+1-an＝3n-n，
得an-an-1＝3n-1-(n-1)， an-1-an-2＝3n-2-(n-2)， …
a3-a2＝32-2 a2-a1＝3-1.
当n≥2时，以上n-1个等式两端分别相加，得 (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) ＝3n-1+3n-2+…3-[(n-1)+(n-2)+…+1]，
3(1-3n-1)n(n-1)
即an-a1＝-.
1-32
1n(n-1)1
又∵a1＝1，∴an＝×3n--. 222
显然a1＝1也适合上式，
1n(n-1)1
∴{an}的通项公式为an＝×3n--. 222
5．累乘法
an+1
对于由形如＝f(n)型的递推公式求通项公式：
an
an+1
(1)当f(n)为常数时，即＝q(其中q是不为0的常数)，此时数列为等比数列，an＝a1·qn-1.
an
(2)当f(n)为n的函数时，用累乘法．
an+1an由＝f(n)得n≥2时，＝f(n-1)， anan-1
anan-1a2
∴an＝·…·a1
an-1an-2a1
＝f(n-1)…f(1)·a1.
2
例5:设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)·a2n+1-nan+an+1·an＝0(n＝1,2,3，…)，求通项公式an.
解:已知等式可化为：
(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]＝0
∵an＞0(n∈N+)，∴(n+1)an+1-nan＝0， an+1n即＝， ann+1
ann-1
∴n≥2时，＝，
an-1nanan-1a2
∴an＝·…·a1
an-1an-2a1n-1n-211＝·…·1＝
nn-12n
二、数列的前n项和的常用求法
求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点．对于等差、等比数
列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和． 1．公式法
如果一个数列的每一项是由几个的项组合而成，并且各项也可组成等差或等比数列，则该
3
数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
111
例1:(x+)+(x2+2)+…+(xn+n)(x≠0，x≠1，y≠1)．
yyy
111
解:当x≠0，x≠1，y≠1时，(x+)+(x2+2)+…+(xn+n)
yyy
111
＝(x+x2+…+xn)+(+2+…+n)
yyy11(1-)yynx(1-xn)x(1-xn)yn-1
＝ + ＝+n+1n. 1-x11-xy-y
1-y
2．例序相加法
如果求和的结构中“每两项”的和为同一常数，可以用倒序相加法求解．
2
例2:设f(x)＝，类比推导等差数列前n项和公式的方法，求x
2+2
f(-2008)+f(-2007)+…+f(0)+f(1)+…+f(2008)+f(2009)．
22-x) 解:∵f(x)+f(1-x)＝ +1-x (右式分子分母同乘2x2+22+2
22·2x＝ + (右式分母提取2，与分子约分)
2+2x2·2x+2
22x
＝ + ＝1. xx
2+22+2
设S＝f(-2008)+f(-2007)+…+f(0)+f(1)+…+f(2008)+f(2009) 则S＝f(2009)+f(2008)+…+f(1)+f(0)+…+f(-2007)+f(-2008)
S＝[f(2009)+f(-2008)]+[f(2008)+f(-2007)]+…[f(2)+f(-1)]+[f(1)+f(0)]
∴S＝2009. 3．裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：
1111①＝·(-)； n(n+k)knn+k
②若{an}为等差数列，公差为d，
1111则＝(-)； an·an+1danan+1
1③＝n+1-n等．
n+1+n
22+132+142+1(n+1)2+1
例3:求数列2，2，2，…，的前n项的和Sn.
2-13-14-1(n+1)2-1
解：数列的通项
(n+1)2+1n2+2n+2an＝＝2 (n+1)2-1n+2n211
＝1+2＝1+(-)，
n+2nnn+2
1111111111
所以Sn＝(1+-)+(1+-)+(1+-)+…+(1+-)+(1+-)
132435n-1n+1nn+2
4
111
＝n+1+--(见下表)
2n+1n+2113＝n--+.
n+1n+22
4．错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，并项后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法． 例4:数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn(n∈N+)．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解:(1)∵an+1＝2Sn，
Sn+1
∴Sn+1-Sn＝an+1＝2Sn，∴＝3.
Sn
又∵S1＝a1＝1，
∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列． ∴Sn＝3n-1(n∈N+)．
当n≥2时，an＝2Sn-1＝2·3n-2，且a1＝1.
1(n＝1)∴an＝ n-2
2·3(n≥2)(2)Tn＝a1+2a2+3a3+…+nan，
当n＝1时，T1＝1；
当n≥2时，Tn＝1+4·30+6·31+8·32+…+2(n-1)·3n-3+2n·3n-2①
3Tn＝3+4·31+6·32+8·33+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1②
①-②得
-2Tn＝-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1
5
3(1-3n-2)
＝2+2·-2n·3n-1
1-3
＝-1+(1-2n)·3n-1，
11
∴Tn＝+(n-)3n-1(n≥2)，
22
一、转化与化归思想
例1:一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1＞0，若Sn是{an}的前n项和，则S1，S2，S3，…，Sn中有没有最大值？请说明理由．
解1：设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1+7d)＝5(a1+12d)，
2
∴d＝-a1，
39
n(n-1)
∴Sn＝na1+d 2140＝-n2a1+na1
393912400＝-a1(n-20)+a1. 3939
故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大． 转化为二次函数问题
解2：设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1+7d)＝5(a1+12d)，
2
∴d＝-a1.
39
a1
a＝a+(n-1)d＝(41-2n)≥0，n139设
a1
an+1＝a1+nd＝39(39-2n)＜0，3941
解得＜n≤.又n为正整数，∴n＝20，即前20项之和最大．
22
转化为不等式问题 二、函数与方程的思想
例1：设Sn是等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10-S7＝30，求S9.
4×3
解：∵S4＝4a1+＝14，∴2a1+3d＝7 ①
2
7×610×9
d＝30， 又∵S10-S7＝30，∴10a1+d-7a1+
22
即a1+8d＝10 ②
①与②联立，解得d＝1，a1＝2，
9×8
∴S9＝9a1+d＝9×2+36＝54.
2
例2：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和． 解：由等差数列的前n项和公式知Sn是关于n的二次函数，
即Sn＝An2+Bn(A，B为常数)，
2Am+Bm＝30，
将Sm＝30，S2m＝100代入，得 2
A(2m)+B(2m)＝100，
2010
解得A＝2，B＝.
mm
∴S3m＝A(3m)2+B(3m)＝210.
6
三、分类讨论思想
例1:已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
解:(1)由题设2a3＝a1+a2，即2a1q2＝a1+a1q，
1
∵a≠0，∴2q2-q-1＝0.∴q＝1或-.
2
n(n-1)n2+3n
(2)若q＝1，则Sn＝2n+·1＝.
22(n-1)(n+2)
当n≥2时，Sn-bn＝Sn-1＝＞0，故Sn＞bn.
2
1n(n-1)1-n2+9n
-＝若q＝-，则Sn＝2n+. 2224
(n-1)(n-10)
当n≥2时，Sn-bn＝Sn-1＝-，
4
故对于n∈N+，当n＝1时，Sn＝bn； 当2≤n≤9时，Sn＞bn； 当n＝10时，Sn＝bn； 当n≥11时，Sn＜bn.
123n
例2:求Sn＝+2+3+…+n
aaaa
解:(1)分a＝1和a≠1两种情况，
n(n+1)
当a＝1时，Sn＝1+2+3+…+n＝；
2
123n
当a≠1时，Sn＝+2+3+…+n，①
aaaa1
将①式两边同乘，得
a
1123n
Sn＝2+3+4+…+n+1，② aaaaa
111n1
由①-②，得1-Sn＝+2+…+n-n+1，
aaaaa
a(an-1)-n(a-1)
即Sn＝. an(a-1)2n(n+1)2(a＝1)，
综上所述，Sn＝a(an-1)-n(a-1)
an(a-1)2(a≠1).
四、数学建模思想
某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万
1
元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为5001+n2
万元(n为正整数)．
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累
7
计纯利润为Bn万元(扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解:(1)An＝(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)＝490n-10n2；
Bn＝5001+12+1+1122+…+1+2n-600 ＝500n-500
2
n-100.
(2)Bn-An＝500
500n-2n-100
-(490n-10n2)
＝10n2
+10n-500502n-100＝10n(n+1)-2n-10
.
∵函数y＝x(x+1)-50
2
x-10在(0，+∞)上为增函数，
∴当1≤n≤3时，n(n+1)-5050
2n-10≤12-8-10＜0；
当n≥4时，n(n+1)-5050
2n-10≥20-16
-10＞0.
∴当且仅当n≥4时，Bn＞An.
∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
8
