无限域上一维热传导方程的Gauss-Laguerre数值解

第３４卷第１期

COLLEGEMATHEMATICS

大　学　数　学

Vol．３４,№．１Feb．２０１８

无限域上一维热传导方程的GaussＧLauerre数值解g

()西安理工大学理学院,西安７１００５４

摘　要]针对无限域上一维热传导方程的解析解为反常积分形式,直接计算往往比较困难．首先采用　　[

限域上的一维热传导方程问题利用G对无限域上的一维热传导方程的aussＧLauerre数值积分计算数值解,g解析解转化为半无限域上的形式后用G实验结果表明,本文给出的数值解方法aussＧLauerre数值积分计算．g具有很高的精度．

[关键词]热传导方程;GaussＧLauerre法;数值解g

闵　涛,　臧顺全

其次结合解析解的形式和无限域上G将半无Fourier变换给出问题解析解,auss型数值积分法精度高的优点,

[()中图分类号]O文献标识码]A　　[文章编号]１２４１．８２　　[６７２Ｇ１４５４２０１８０１Ｇ００２５Ｇ０６

１　引　　言

[]１

,),),和反热传导问题(由heatconductionproblemsDHCPsInverseheatconductionproblemsIHCPs

于传热介质几何形状的不同,使得求解DHC随着计算机技术的发展,有限差分Ps的精确解比较困难．

在许多工程问题中,热传导问题具有重要的应用．通常热传导问题分为直接热传导问题(Direct

,但是这些方法在离散时比较花费时间并且不能自动完成,离散后得到的线性方程组可能是不DHCPs

,适定的,使得这些方法的使用受到了一定的．对于无限域上一维DHC该问题的解析解通常为级Ps数或反常积分形式,直接计算比较困难．当一维DHC可以利用数值积分法Ps的解为反常积分形式时,求得一维DHC在所有的n个节点数值积分公式中,Ps的数值解．Gauss型数值积分法具有最高的代数

３]

,精度[本文将研究无限域上一维DHC结合G给出一种求解无限域上一．Psauss型数值积分法的优点,

[２]

、、法(有限元法(边界元法(和有限体积法(等数值方法广泛的应用在求解FDM)FEM)BEM)FVM)

维DHCPs的GaussＧLauerre数值解方法．g

２　问题的提出

本文主要研究下述两类问题的求解．

ìï

ïïíïïïî

问题一　在区域Q１＝(０,０,＋∞)×(＋∞)上求解一维热传导方程的初边值问题

２

∂u∂u＝k２,∂t∂x)＝０,u(０,t)＝f(,０＜x＜＋∞．u(x,０x)

t＞０,

()∈Q１,x,t()１()２

()３

收稿日期]２修改日期]２　[０１７Ｇ０９Ｇ０１;　[０１７Ｇ１０Ｇ２８

)基金项目]国家自然科学基金(　[５１６７９１８６、１１６０１４１８

,:作者简介]闵涛(男,博士,教授,从事数学物理方程反问题研究．　[１９６３－)Emailmintao２００３＠１６３．com

２６大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第３４卷

２ìu∂uï∂()∈Q２,x,tï＝k２,

t∂xí∂ïï(,),－∞＜x＜＋∞．îux０＝f(x)

　　问题二　在区域Q２＝(０,－∞,＋∞)×(＋∞)上求解一维热传导方程的初值问题

()５

))))构成了一维DHC在问题(和(中,当k和f(求解u(以上两类一维１－(３４－(５)x)已知时,x,tPs．

下面给出具体的求解过程．DHCPs的解析解可以采用Fourier变换法得到,[]

)),对问题(采用F作变换１－(３ourier正弦变换求解６．

()４

􀭿U􀭿,􀭿()＝２于是∂其中Uω２Uω,０＝－k∂tπ２其中C(ω)＝

π()

且Cω＝１

２i２π

􀭿()＝２Uω,tπ＋∞０

∫

０＋∞－∞

从而x)sinωxdx．

∫f(

２

)x,tsinωxdx．

∫u(

＋∞０

＋∞

)＝那么u(x)sinωxdx,x,tf(

)＝１u(x,t２iωx－

kωt－􀭿()＝C(,Uω,tω)e

x)e

∫f(

故dx,

∫

＋∞－∞

kωt－

C(ω)esinωxdω＝

２

∫

０

＋∞

kωt－

由C(则C(ω)esinωxdx．ω)为奇函数,

２

∫

２(x－y)

２C(ω)－kiωxeωtedω,

－∞２i

＋∞

)＝１u(x,t４πkt１＝

４πkt－４kt２(x＋y)

ey)

∫f(

＋∞－∞＋∞０

－４ktdy　　　－e

－４kt２(x＋y)

－

)＝１[其中G(x,tey,

４πkt２(x－y)

４kt－e

))类似采用F可得问题(的解析解为ourier变换法,４－(５

)＝u(x,t＋∞－∞

２(x－y)

)＝u(x,t)G(x,tdy)y,y．

∫f(

＋∞０

]为G))则(的解析解可写为reen函数,１－(３

()７()８

[ey)∫f(

－４kt２(x－y)

]dy,()６

－kt)＝１e４其中Green函数为G(x,t．y,

４πkt)通过积分变量代换不难将(转化为半无限域上[得８０,＋∞)的形式,

)G(x,tdy)y,y,

∫f(

)＝u(x,t－

)＝１[其中Green函数为G(x,tey,

４πkt２(x－y)

４kt)G(x,tdy)y,y,∫f(

＋∞０

＋e

－４kt２(x＋y)

()９

]．

３　基于GaussＧLauerre积分的数值解g

５]

,常积分往往是困难的．考虑到G收敛速度快等优点[因此本文利用auss型求积公式具有代数精度高、

通过上面的分析可以看出,上述两类问题的解析解都可用无穷限反常积分表示,而直接积分求解反

Gauss型求积法求问题一和问题二的数值解．

[]

具有２n－１代数精度的带权的Gauss数值积分公式为７

bnal＝１

l其中权函数ρ(分别称为Gauss节点和权重系数．l和wl是与f(y)＞０,yy)无关的节点和权重系数,

,􀆺,定理　对数值积分公式(其节点y１０)l＝１,２,n)是Gauss节点的充要条件是n次多项式l(

dy)f(y)y≈∑wf(y),ρ(∫

l()１０

第１期　　　　　　　闵　涛,等:无限域上一维热传导方程的GaussＧLauerre数值解g２７

．

ω(y)＝

n－yd(－yn)y(),对L多项式它是[上关于权函数e的正交多项式,且三auerreLe０,＋∞)gny＝neydy项递推公式为

０(y)＝１,ìïLïíL１(y)＝１－y,ïï２îL,􀆺)１＋２n－y)L　(n＝１,２,．－nLn１(n(n１(y)＝(y)y)＋－

l＝１

y－y)与所有次数不超过n－１的多项式P(y)关于权函数ρ(y)都正交∏(

ln[４,７]

因此GaussＧLauerre数值积分公式为g

０

积分计算问题一和问题二的数值解步骤如下．

８]

,程[求得G其中auss节点yl和权重系数wl,

))对问题一的解析解(和问题二的解析解(均为半无限域上反常积分,利用G７９aussＧLauerre数值g

dy)y≈∑wf(y)．

∫ef(

＋∞

－ynl＝１

ll()１１

()采用Fiourier变换导出积分形式的解析解;

()由L利用伴随矩阵特征值方法解高次Liiauerre多项式的三项递推公式,auerre多项式方gg

２

(n!),l＝１,􀆺,w２,n．l＝２　]L′l[n(l)yy如n＝１０时GaussＧLauerre数值积分的节点y－１．gl和权重系数wl见表３

()利用G得iiiaussＧLauerre数值积分计算(０,＋∞)上的反常积分,g

表３Ｇ１　n＝１aussＧLauerre数值积分的节点和权重系数０时Gg

序号l１２３４５６７８１０９

节点yl０．１３７７９３４７０５４０４９３０．７２９４５４５４９５０３１７２１．８０８３４２９０１７４０３１０３．４０１４３３６９７８５４９００５．５５２４９６１４００６３８００１１．８４３７８５８３７９０００００１６．２７９２５７８３１３７８１００２１．９９６５８５８１１９８０７００２９．９２０６９７０１２２７３８００８．３３０１５２７４６７６４４９０

权重系数wl０．３０８４４１１１５７６５０２１０．４０１１１９９２９１５５２７３０．２１８０６８２８７６１１８０９０．０６２０８７４５６０９８６７８０．００９５０１５１６９７５１８１０．０００７５３００８３８８５８８０．００００２８２５９２３３４９６０．００００００４２４９３１３９８０．００００００００１８３９５６５０．００００００００００００９９１

)≈u(x,tl＝１

)G(x,tew,y)y,∑f(

llylln()１２

()在区间(􀆺,上任取M个节点记为x在区间(上任取N个节iv０,i＝１,２,M),０,＋∞)＋∞)i(

􀆺,点,记为t则２,N),j＝１,j()这样就可以利用(计算在任意点x和任意时刻t的数值解．１３

u(xt≈i,j)

l＝１

􀆺,􀆺,G(x,t)eω,　i＝１,２,M;２,N．y)y,j＝１,∑f(

liljylln()１３

４　数值模拟

数值模拟时,利用绝对误差和相对误差度量t＝１时数值解与精确解的偏差,定义相对误差为

２８

N~

大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第３４卷

)))u(x,１x,１－u(∑(

ii２

􀭹()是在离散点()处的精确解,)是在相应离散点()处的数其中N为节点数,u(x１x１ux１x１i,i,i,i,值解．

))模拟一　在问题一(中,设k＝１．考虑如下方程１－(３

２ìu∂uï∂)∈(,　(x,t０,０,＝２,＋∞)×(＋∞)ï∂t∂xïí

)＝０,u(０,tï

ïï(,)îux０＝f(x)．

i＝１i＝１

)),u(x,１∑(

i２

Nt－

)＝e数值模拟时,假设f(则上述方程的精确解为u(首先利用本文方法进行模x)＝sinx,x,tsinx．

)在t＝１,拟,采用１我们得到u(００个节点的GaussＧLauerre数值积分公式,x,tx＝００．１１０的数∶∶g９－

,,值计算结果(部分)见表４计算时间５精确解与Ｇ１,此时相对误差为５．１５４０７９８６９８３７９５×１０９．４２０２s

数值解的比较见图４Ｇ１．

xi１２３４５６７８１０９

表４Ｇ１　模拟一本文方法的计算结果

精确解

数值解

　０．３０９５５９８７５６５３１１２　０．３３４５１１８２９２３９２６２　０．０５１９１５１４９７０３１７５－０．２７８４１２０７９０５１０３１－０．３４０５８８１８７９６３０４０－０．１０２７９１２１７３３２０５８　０．２４１６９１８６２７９３７９７　０．３６３９６４５５８８８６１６９　０．１５１６０９９１８０４７１６０－０．２００１３４１８２２５９４４８

绝对误差

－０．０２２２４４６０４９２５０３e－１４　０．１２７６７５６４８３１８９３e－１４

　０．３０９５５９８７５６５３１１２　０．３３４５１１８２９２３９２６２　０．０５１９１５１４９７０３１７３－０．２７８４１２０７９０５１０３４－０．３４０５８８１８７９６３０４３－０．１０２７９１２１７３３２０６１　０．２４１６９１８６２７９３７９５　０．３６３９６４５５８８８６１６８　０．１５１６０９９１８０４７１５９－０．２００１３４１８２２５９４４９

　０．００５５５１１１５１２３１２６e－１４　０．２４９８００１８０５４０６６０e－１４　０．３１０８６２４４６８９５０４４e－１４　０．２８０３３１３１３７１７８５２e－１４　０．２２４８２０１６２４８６５９４e－１４　０．１７２０８４５６８８１６８９９e－１４　０．１３８７７７８７８０７８１４５e－１４　０．０８０４９１１６９２８５３２４e－１４

)在t＝１,份,得到u(部分)见表４此时相对误差为x,tx＝０∶０．１∶１０的数值计算结果(Ｇ２,

计算时间０．０．００５９６０１０３９７１２４４,２９７６s．

表４Ｇ２　模拟一有限差分法的计算结果

数值解

　０．３１１３５７９６３５０３８４８　０．３３６４５４８５１２７２６６９　０．０５２２１６７００７６０４９３－０．２８００２９２３４９７８１３０－０．３５４８１７４２６７４３６６２－０．１０３３８６１４１５２７４１３　０．２４３１１４６９２３５８６０２　０．３６６１９２０３８６６９１８４　０．１５２９４１６４６８１７４３０－０．２００１３４１８２２５９４４９

]]若采用常规的有限差分法进行求解,将x∈[区间１区间分为１０,１０００分为等份,t∈[０,１００等

xi１２３４５６７８１０９

精确解

　０．３０９５５９８７５６５３１１２　０．３３４５１１８２９２３９２６２　０．０５１９１５１４９７０３１７３－０．２７８４１２０７９０５１０３４－０．３４０５８８１８７９６３０４３－０．１０２７９１２１７３３２０６１　０．２４１６９１８６２７９３７９５　０．３６３９６４５５８８８６１６８　０．１５１６０９９１８０４７１５９－０．２００１３４１８２２５９４４９

绝对误差

－０．００１７９８０８７８５０７３６－０．００１９４３０２２０３３４０７－０．０００３０１５５１０５７３２０　０．００１６１７１５５９２７０９６　０．０１４２２９２３８７８０６１９　０．０００５９４９２４１９５３５２－０．００１４２２８２９５６４８０７－０．００２２２７４７９７８３０１６－０．００１３３１７２８７７０２７１　０

１４９－－

由表４本文给出的数值解法的绝对误差达到１以上,相对误差达到１Ｇ１和表４Ｇ２可以看出,００

第１期　　　　　　　闵　涛,等:无限域上一维热传导方程的GaussＧLauerre数值解g出,本文方法得到的数值解和精确解的图像高度吻合．

２

２９

以上．相比计算效率,本文方法略低于有限差分法,但求解精度远远超过有限差分法．由图４Ｇ１可以看

)—()模拟二　在问题二(中,设k＝１．考虑如下方程４５

∂u∂u,(,)(ìï,０,＝２　xt∈－∞,＋∞)×(＋∞)ï

∂t∂xíïî)＝f(,u(x,０x)

２

１６－

,部分)见表４此时相对误差为３．计算时x＝－５∶０．１∶５的数值模拟结果(Ｇ３,５６５５６２０４０９６０９２５×１０

,间５精确解与数值解的比较见图４７．３７５４sＧ２．

－１４t＋１x－

,)＝数值模拟时,不妨设f(此时不难验证上述方程的精确解为u(利用x)＝ex,te．

１＋４t)在t＝１,本文方法进行数值模拟,采用１得到u(００个节点的GaussＧLauerre求积公式,x,tg

２

x表４Ｇ３　模拟二本文方法的计算结果

数值解

　０．００３０１３３０１５０３７４９　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．３６６１４７５２３８３０３９２　０．４４７２１３５９５４９９９５８　０．３６６１４７５２３８３０３９２　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．００３０１３３０１５０３７４９

xi－５－４－３－２－１０１２３４５

精确解

　０．００３０１３３０１５０３７４９　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．３６６１４７５２３８３０３９３　０．４４７２１３５９５４９９９５８　０．３６６１４７５２３８３０３９３　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．００３０１３３０１５０３７４９

绝对误差

－３．０１２９７２１１１０３３e－１７－１．５４８３２６６４０９６７e－１７－６．４７０９８４２６９６１５２e－１７－３．０２８２１１７９５６８７２e－１７

－１．７５３８１０７３１５７３７８e－１７－３．５８８２５２４７８５１６３９e－１６－３．２１３７５８９０６１２２２７e－１６－２．０２７０９６７１６７９７０９e－１６－８．１８６３６２０９４０９６e－１７－３．０３５７６６０８２９５９e－１８－２．１３０５６５７３９４６０９e－１７

]区间１]区间１)在将x∈[同样利用有限差分法可得u(５００等份,t∈[０,１００等份,x,t－５,

部分)见表４计算时间t＝１,x＝－５０．１５的数值计算结果(Ｇ４,此时相对误差为０．００２７４３２４７８９９３５３,∶∶０．３１０７s．

１６－

由表４表４本文给出的数值解法的绝对误差和相对误差都达到１以Ｇ３、Ｇ４和图４Ｇ２可以看出,０上,精度远远高于有限差分法的精度,数值解和精确解的图像高度吻合．

图４Ｇ１　模拟一精确解与数值解比较　　　　　　　　　图４Ｇ２　模拟二精确解与数值解比较

３０

xi－５－４－３－２－１０１２３４５

大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第３４卷

表４Ｇ４　模拟二有限差分法的计算结果

精确解

　０．００３０１３３０１５０３７４９　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．３６６１４７５２３８３０３９３　０．４４７２１３５９５４９９９５８　０．３６６１４７５２３８３０３９３　０．２００９４６０２１６０５１３４　０．０７３９２３９１０１３３７２１　０．０１８２２９４１１８０１６６８　０．００３０１３３０１５０３７４９

数值解

　０．００３０１３３０１５０３７４９　０．０１５５７１７４８８８７００７　０．０６５０３５６７５３３１２６１　０．１８４０１４７７２６８８７４２　０．３５０２８８５３４９０９０７８　０．４４６２９３７９０７２８８７１　０．３５０２８８５３４９０９０７８　０．１８４０１４７７２６８８７４２　０．０６５０３５６７５３３１２６１　０．０１５５７１７４８８８７００７　０．００３０１３３０１５０３７４９

　０

绝对误差

　０．００２６５７６６２９１４６６１　０．００８８８８２３４８０２４６０　０．０１６９３１２４８９１６３９２　０．０１５８５８９８８９２１３１５　０．０００９１９８０４７７１０８７　０．０１５８５８９８８９２１３１５　０．０１６９３１２４８９１６３９２　０．００８８８８２３４８０２４６０　０．００２６５７６６２９１４６６１　０

５　结　　论

度高的优点,将无限域上的问题转化为半无限域求解,给出了基于GaussＧLauerre数值积分的无限域g上一维DHC实验结果表明该数值解方法具有很高的精度．Ps数值求解方法,

[参　考　文　献]

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本文通过F结合积分形式解和Gourier变换对无限域上一维DHCPs进行求解,auss数值积分法精

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,andMassTransfer２０１６,１０３:２８５－２９０．():４１２２５４－２５６．

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TheGaussＧLauerreNumericalSolutionof１DDCHPsontheInfiniteDomaing

(,’,’)SchoolofScienceXianUniversitfTechnoloXian７１００５４,Chinayogy

:,AbstractTheanalticalsolutionisusuallbnormalinteralfor１DDCHPsontheinfinitedomainbutitisdifficultyyag

,tocalculatetheoftencalculationabnormalinteraldirectl．Atfirsttheanalticalsolutionisgivenbouriertransform,gyyyF

thenwecombinedtheformofanalticalsolutionandthevirtuesofGaussquadraturemethod,thenumericalsolutionofy,１DDCHPsonthesemiＧinfinitedomainiscalculatedbaussＧLauerrequadrature．MoreoverweconverttheanalticyGgy

,solutionsoninfinitedomainstosemiＧinfinitedomainsandthenumericalsolutionisobtainedbaussＧLauerreyGguadrature．Numericalresultsshowthattheproosedmethodhasverihprecision．qpyhg

:;;KeordsheatconductioneuationGaussＧLauerremethodnumericalsolutionqgyw

MINTao,　ZANGShunＧuanq