湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考 数学(理) 试题

湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题

理科数学

命题单位:宁乡一中

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|x2<0} ,N= {x|yx1}，则M∪N =

A. {x|x>-1} B. {x|1x<2} C. { x|1log3a1log3a2log3a3......log3a9

A. 12 B. 10 C.9 D.2+log35 4.函数f(x)Asin(x)(其中A>0,||<2的部分图像如图所示，为了得到函数

g(x)cosx的图像，只需将f(x)的图像

个单位长度 12B.向右平移个单位长度

12A.向左平移

个单位长度 6D.向右平移个单位长度

6C.向左平移

30.320.35.已知函数 f(x)x3x2sinx,设a2,b0.3,clog2 ,则

A. f(b)6.设n201(5sinxcosx)，则(x)n的展开式中的常数项为

xA，20 B. -20 C. 120 D. -120

7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当岡内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14, 这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°= 0.2588，sin7.5° = 0. 1305) A. 12 B. 24 C. 48 D.96

8.函数yxsinx在[,]的图像大致为

9.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S20196057,则

14的最小值为 a2a2018A.1 B.

213 C. D.4 3610.如图，正方体ABCD-A1B1C1D,的棱长为4,动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD,CD上。若EF=2,A1E=m,DQ=n.DP=p（m,n,p大于零）,则四面体PEFQ的体积 A.与m,n,p都有关 B.与m有关，与n,p无关 C.与p有关，与m,n无关

D.与n有关，与m,p无关

211.过抛物线y4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且|AF|=3,0为坐标原点，则

△AOF的面积与△BOF的面积之比为 A.

31 B. C. 3 D.2

3212.已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC,若PA =PB，则PA + PB + PC的最大值为 A. 23

B.4 C. 222 D.3

二、填空题：本题共4小题,每小题分，共20分。

13.已知非零向量a,b满足|a|4|b|，且b丄(a2b)，则a与b的夹角为 . 14.精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有

种.

2x15.已知函数f(x)e，则过原点且与曲线yf(x)相切的直线方程为

16.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分)。若直角三角形中较小的锐角为，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为

1，则cos 4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22〜23题为选考题，考生根据要求作答。 (―)必考题：共60分。 17.（12分）

已知△ABC内角A，B，C的对边，向量m(cosA,a2b),n(2c,1)，且m⊥n. (1)求角C；

(2)若c=2, △ABC的面积为3，求△ABC内切圆的半径. 18. (12 分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧面为正三角形，且平面 ABCD，E 为 PD 中点，AD=2.

(1)证明平面AEC丄平面PCD;

(2)若二面角A-PC-E的平面角满足cos19.(12 分）

为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。

(1)根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；

(2)现已知甲校A,B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为

2，求四棱锥P-ABCD 的体积. 41， 211，用随机变量X表示A ,B,C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期33，

望E(X). 参考公式：

n(adbc)2K,nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)2参考数据：

20.(12 分）

22 已知动圆P经过点N(1,0)且与圆M：(x1)y16

相切，设圆心P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；

(2)设G(m,0)为曲线C内的一个动点，过点G且斜率为k直线l交曲线C于A，B两点.若

|GA|2|GB|2是与m无关的定值，求此时k的值，并求出该定值.

21.(12 分)

已知函数f(x)sinxa2x. 2(1)若f(x)在[0，

]上有唯一极大值点，求实数a的取值范围； 2x(2)若a1,g(x)f(x)e且g(x1)g(x2)2(x1x2)，证明x1x2<0.

（二）选考题10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第—题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点A的极坐标为(2,4)，直线l的极坐标方程为cos(4)a.

(1)若点A在直线l上，求直线l的直角坐标方程； (2)若曲线C的参数方程为的值.

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)|ax1|，不等式f(x)3的解集是x|1x2. (1)求a的值； (2) 若关于x的不等式

x2cos(为参数)，直线l与曲线C的相交弦长为2，求aysinf(x)f(x)＜k的解集非空，求实数k的取值范围.

3高二理科数学参

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

D C C A D B B C D C D A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.

14. 150 15.

16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题 17. 解：（1）由分

由正弦定理，

…………………4分

在

中，

，

，

，

，，

得

，……………………………………………………2

.………………………6分

(2)由等积法：得

………………9分

由余弦定理，，，从而

…………………11分

………………………………………………………… 12分 18.（1）取由侧面又又

中点为

，

中点为F，

平面，所以是

中点，则， 平面

.……… 5分 ，

知，

……………

为正三角形，且平面，则，则

平面

，又

平面，故，

，

由线面垂直的判定定理知又

平面

，故平面

平面

（2）如图所示，建立空间直角坐标系

令，则.

由（1）知为平面的法向量，

令为平面的法向量，

由于均与垂直，故即

故，由 ，解得. 10分 故四棱锥

的体积

. ……… 12分

19. 解：（1）2×2列联表如下

通过 未通过 总计 甲校 40 20 60 乙校 20 30 50 总计 60 50 110 由

算得，

，

所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关 …5分 （2）设A，B，C自主招生通过分别记为事件M，N，R，则

∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3. …6分

，

解得

………

…10分

所以随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2 3 +3×

= …12分．

，所以点

的轨迹是以

为焦点的椭圆，

E（X）=0×+1×+2×20.解：（1）由题设得：

曲线C的方程为. ……… 4分

（2）设，直线，

由得，

……… 6分

.

.

……… 10分

的值与无关， ，解得.此时

. …… 12分

21.解：（1）易知.

当值点； 当

时，，在上单调递增，此时在上，不存在极大

时，，在上单调递减，又，

，故存在唯一使得，

.此时，

综上可得（2）依题

在

是函数的唯一极大值点.

…………………………………………5分

.

上单调递增，

……………………………………7分

欲证

，等价证

，等价证

，等价证

……………9分

令

，

故

时，

,

，

，得证……………………… 12分

，

，

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.解：（1）由点所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为

在直线

。 ------------------- 4分

上，可得=

（2）由已知得圆C的直角坐标方程为而直线的直角坐标方程为

，

，所以圆C的圆心为，半径，

因为直线与圆C相交的弦长为，则圆心到直线的距离为，所以

求得或 -------------------------- 10分 ，得

，即

，

23解：（）由

当时，，因为不等式的解集是，所以，

解得，

当时，，因为不等式的解集是，所以，

该式无解， 所以（）因为所以要使

存在实数解，只需

………………….5分

，

，即实数的取值范围是

． ……………10分