二元一次不等式(组)平面地区教课方案
二元一次不等式（组）的平面地区教课方案
教课方案
． 5.1 二元一次不等式所表示的平面地区整
体设计 教课剖析
前面已经学习了一元一次不等式、一元二次不等式及其
解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在 生产、生活中有着宽泛的应用．但是，在不等式模型中，除了它们以外，还有二元一次不等式模型．教材经过举例考证和概括猜想的门路，得出二元一次不等式所表示的平面地区．
本节的主要内容有：二元一次不等式的观点、表示的平面地区及相应的画法．此中，要点是二元一次不等式所表示的平面地区，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面地区确实定．在教课中，可启迪学生察看图象，顺序渐进地理解掌握有关观点，以学生研究为主，老师点拨为辅，学生之间分组议论，沟通心得，分享成就，进行思想碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动向演示．
本节内容在教课中应表现以下几点：①侧重研究过
程．能正确地画出给定的二元一次不等式表示的平面地区， 是学习下节简单线性规划问题的重要基础．因为二元一次不
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等式组表示的平面地区是各个不等式表示的平面地区的交
集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区
域下手．②侧重研究方法．充足理解二元一次不等式解集的
几何意义，以不等式解为坐标的全部点构成的会合，叫做不
等式表示的地区或不等式的图象．③侧重研究手段．信息技
术可作为研究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直
线 Ax＋By＋ c＝ 0 一侧的点 P 的坐标进行追踪显示， 并将点 P
的坐标代入 Ax＋ By＋c 中，察看所得值的符号，由学生发现
处于直线 Ax＋By＋ c＝ 0 同侧的点的坐标代入 Ax＋ By＋c 中符号都同样，直线 Ax＋By＋ c＝0 异侧的点的坐标代入 Ax＋By＋ c 中符号不一样， 由此获取判断 Ax＋By＋ c＞ 0 表示的是直
线 Ax＋By＋ c＝ 0 哪一侧的平面地
区．三维目标
．经过本节研究，使学生认识并会用二元一次不等式表 示平面地区以及用二元一次不等式组表示平面地区；能画出
二元一次不等式所表示的平面地区．
．经过学生的亲自体验，培育学生察看、联想以及作图
的能力，浸透会合、化归、数形联合的数学思想，提升学生
“建模”和解决实质问题的能力．
．经过本节学习，侧重培育学生深刻理解“数形联合”
的数学思想．只管重视于用“数”研究“形”，但同时也用
“形”去研究“数”，培育学生察看、联想、猜想、概括等
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数学能力；培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，
激励学生勇敢研究，勇于创新的科学精神．
要点难点
教课要点：会画出二元一次不等式所表示的平面地区．
教课难点：二元一次不等式表示的平面地区确实定及怎
样确立不等式 Ax＋ By＋ c＞ 0 表示 Ax＋ By＋ c＝ 0 的哪一侧区
域．
课时安排
课时
教课过程
导入新
思路 1. 让学生阅读教材， 自己得出二元一次不等式的观点，教师联合多媒体点出本节所要解决的问题，由此睁开新课的进一步研究．
思路 2. 可采纳与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，经过与熟习的一元一次不等式或一元二次不等式比较，引出二元一次不等式的观点．由此睁开新课．
推动新
新知研究
提出问题
1
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2
3
Ax＋ By＋c＝ 0
Ax＋ By＋ c>0
4
表示的是直线
线 Ax＋By＋ c＝ 0 将平面内的点分红了哪几类？
活动：教师指引学生得出二元一次不等式的观点后，借
助多媒体进一步研究二元一次不等式解集的几何意义，以及
如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的地区，以直
线 l ： x＋ y－1＝ 0 为例．如图．
由直线方程的意义可知，直线l 上的点的坐标都知足 l 的方程，并且直线
l 外的点的坐标都不知足
l 的方程．
x ＋ y
事实上，在平面直角坐标系中，全部的点被直线
－1＝0 分为三类：在直线
x＋y－ 1＝ 0 上；在直线 x＋ y－ 1
＝ 0 右上方的平面地区内； 在直线 x＋ y－ 1＝ 0 左下方的平面地区内．如、、、点的坐标代入 x＋y－ 1 中，有 x ＋ y－ 1＞ 0，、、、
点在直线 x＋y － 1＝ 0 的右上方．点的坐标代入 x ＋ y－ 1 中，有 x＋ y－ 1＝0，点在直线 x＋y－ 1＝ 0 上．、、、点的坐标代入 x＋ y－1 中，有 x＋ y－ 1＜0，、、、点在直线 x＋ y－ 1 ＝0 的左下方．如图．
所以，我们猜想，对直线 x＋ y－ 1＝0 右上方的点， x＋y－ 1＞ 0 建立；对直线 x＋ y－ 1＝0 左下方的点， x＋ y－ 1＜ 0 建立．这个结论不单对这个详细的例子建立，并且对坐标平
面内的任一条直线都建立．
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一般地，直线 l ：Ax＋ By＋ c ＝0 把坐标平面内不在直线
l 上的点分为两部分．直线
l 的同一侧的点的坐标使式子
Ax
＋By＋ c 的值拥有同样的符号，并且双侧的点的坐标使
Ax＋
0.
By＋ c 的值的符号相反，一侧都大于
0，另一侧都小于
因为对在直线
Ax＋By＋ c＝0 同一侧的全部点，实数 Ax
＋By＋ c 的符号同样，所以只要在此直线的某一侧取一个特 殊点，由 Ax0＋By0＋ c 的正、负便可判断
Ax＋By＋ c＞0 表
示直线哪一侧的平面地区．当
c≠0 时，我们常把原点作为
x＋ y－ 1 中， x ＋y －1＜
这个特别点去进行判断．如把代入
0. 这说明 x＋y－ 1＜ 0 表示直线 x＋ y－ 1＝ 0 左下方原点所在
的地区，就是说不等式所表示的地区与原点在直线
x＋ y－ 1
＝0 的同一侧．
假如 c＝0，直线过原点，原点坐标代入没法进行判断，
则可另选一个易计算的点去进行判断．
议论结果：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是
1 的不等式
称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式 组．
二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的地区或不等式的图象．
取点考证．
将平面内的点分红了三类： 在直线上， 在直线左右双侧．
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应用示例
例 1
活动：经过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的地区．要严格要修业生按规定绘图，并且绘图时要仔细、正确．注意开地区和闭地区界限的画法．教师要给出示
范．直线画成虚线表示不包含界限， 画成实线表示包含界限．
评论：本例的要点是正确画出直线
2x－y－ 3＝ 0 和 3x
.
＋2y － 6＝ 0. 暗影部分用短线表示，且短线要画得平均雅观
变式训练
画出以下不等式表示的平面地区．
x－y＋ 1＜ 0；
x＋3y －6＞ 0；
x＋－ 10≥ 0;4x － 3y≤12.
解：例 2 画出不等式组 x＋3y ＋6≥0，x －y ＋20 或 x＋
2y＋ 1>0， x－ y＋40， x－ y＋ 40 表示的地区，以下列图．
评论：不等式组表示的平面地区是各个不等式所表示的
平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面地区的公
共部分 .
变式训练
．在平面直角坐标系中， 由知足不等式组
3x － y－8≤ 0，
x≥ y， x＋ y≥ 0 的点构成的图形为
F，则 A、 B、 c 三点中，
在 F 内的全部点是 ________．
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答案： A、 c
分析：由题意，如图，
A、 c 在地区内， B 不在地区内．
．已知点 A、 B、 c、 D，此中不在不等式 2x＋ y＜ 4 所表示的平面地区内的点是 ________．
答案： c
分析：不等式可变形为
2x＋ y－ 4＜0，对应的直线为 2x
＋y －4＝0.A 点是坐标原点， 代入 2x＋ y－4 得－ 4＜ 0，即原 点 A 在不等式所表示的地区内．把
B、 c、D 点坐标挨次代入
2x＋ y－4，由所得值的正负来判断点能否与
＋y －4＝0 的同侧或异侧．
A 点位于直线 2x
可判断出 c 切合条件．
评论：此种类的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式建立，则可得点在二元一次不等式所表
示的地区内，不然就不在二元一次不等式所表示的地区内
.
例 4
活动：教材安排本例的目的是分别难点．第一让学生认识适合地运用字母表示实质问题中的变量，就能够将复杂的实质问题中的变量关系转变为二元一次不等式组，而后利用下一节知识解决．教课时教师指引学生将题中的数目关系用
不等式组表示出来．因为变量 x、y 题已经给出，学生仅是将文字语言变换为数学语言， 难度不大， 可由学生自己达成 .
变式训练
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甲、乙、丙三种药品中毒素
A、 B 的含量及成本以下表：
甲乙丙
毒素 A600700400
毒素 B800400500
成本 4911
某药品研究所想用 x 千克甲种药品， y 千克乙种药品， z 千克丙种药品配成 100 千克新药，并使新药含有毒素 A 不超
过 56000 单位，毒素 B 不超出 63000 单位 .
用 x、 y 表示新药的成本，并画出相应的平面地区． 解：由已知，得 x＋ y＋ z＝100，
∴＝ 4x＋ 9y ＋11z
＝ 4x＋ 9y ＋ 11 ＝ 1100－ 7x－2y.
又 600x ＋700y＋≤ 56000，
00x＋ 400y＋500≤ 63000，
∴2x＋ 3y ≤ 160， 3x－y≤ 130，x ＋y ≤100， x≥ 0
y
≥ 0.
表示的地区以下列图所示：
知能训练
．画出不等式 2x＋y －6＜0 表示的平面地区．
．某人上午 7： 00 乘汽车以匀速 v1 千米 / 时从 A 地出发到距 300 的 B 地，在 B 地不作逗留， 而后骑摩托车以匀速 v2
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千米 / 时从 B 地出发到距
50 的 c 地，计划在当日 16： 00 至
21： 00 抵达 c 地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是
x 、
y 小时，则在 xoy 坐标系中，知足上述条件的
x、y 的范围阴
影部分表示正确的选项是
．在平面直角坐标系中，不等式组
x ＋ y － 2≥ 0， x － y
＋2≥0，x ≤2 表示的平面地区的面积是
A．42B． 4c．22D． 2
．若 a≥0， b≥ 0，当且仅当 x≥0， y≥ 0， x＋ y≤1 时，
恒有 ax＋ by ≤1，则以 a，b 为坐标点 P 所形成的平面地区的
面积等于
A.12B. π 4c．1D. π 2
．本节研究与研究
本节后的研究与研究宜针对较好的学生进行，让其理解
其结论的原理．在向量知识的基础上理解道理不是太困难的
事．实质绘图时，也其实不需要画出直线的法向量，只要取点
考证即可．所以本内容不宜对一般学生进行，免得冲淡了本
节的主题．
答案：
．解：先画直线 2x＋ y－ 6＝ 0．取原点代入 2x ＋ y－ 6，
因为 2×0＋ 0－ 6＝－ 6＜ 0，
所以原点在 2x＋y－ 6＜ 0 表示的平面地区内， 不等式 2x
＋y －6＜0 表示的地区如左下列图所示．
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． B 分析：由题意得 xv1 ＝ 300， yv2 ＝50， 9≤x ＋y ≤
14，而 30≤v1≤ 100,4 ≤ v2≤ 20，则不等式组变化为
3≤x ≤
10， 2.5 ≤ y≤ 12.5 ， 9≤ x＋y≤ 14.
． B 分析：画出不等式组表示的平面地区如图．可知面积＝ 12× 4× 2＝4.
．c
分析：由 ax＋ by≤ 1 恒建立知，当 x＝0 时， by≤
1 恒建立，∴ 0≤ b≤1；同理 0≤a≤ 1，∴以 a，b 为坐标点 P 所形成的平面地区是一个边长为
1 的正方形，其面积为 1.
讲堂小结
．由学生自己回首本节课的研究过程，整合二元一次不等式组与平面地区的关系，注意如何表示界限的虚与实，明
确不等式 Ax＋ By＋ c＞0 表示直线 Ax＋ By＋ c＝ 0 的某一侧的平面地区．
．教师点睛之笔．比较是最好的学习方法，经过两个不等式的比较，找寻出共同的规律，从而发现二元一次不等式表示平面地区的主要性质及结论．绘图是我们的短处，而正确绘图是学好这部分内容的要点，要存心识地增强这方面的训练．
作业
习题 3—5A 组 1、2；习题 3—5B 组 1.
设计感想
．本小节设计侧重了学生的着手操作能力，因为技术的
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学习一定亲自体验获取．增强格式的规范也相当重要，在学
生的着手操作过程中这些都能够获取充足表现．
．本小节设计侧重了方法的启迪指引：从特别到一般，
化陌生为熟习，先研究特别的二元一次不等式所表示的平面
地区．让学生经历“察看、概括、猜想及证明”的全过程，
这是本节的主要环节．
备课资料
一、备用习题
．已知点 P1、 P2、P3，则在 3x＋2y－ 1≥0 表示的平面
地区内的点是
A．P1、P2
B．P1、P3
c．P2、P3
D．P2
．不等式 x－2y ＋ 6＞0 表示的平面地区在直线
x－2y＋ 6
＝ 0 的
A．右上方 B．右下方 c．左上方 D．左下方
x －y ＋5
x ＋y 0，0≤x ≤3 表示
的平面地区是一个
A．三角形 B．矩形 c．梯形 D．直角梯形
．不等式 |x －2| ＋ |y －2| ≤2 表示的平面地区的面积为
________．
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．直线 3x＋ y－ 3＝ 0 上位于 x 轴下方的一点 P 到直线 x
－ y －1＝0 的距离为 32，则 P 点坐标为 ________．
．用三条直线 x＋ 2y＝ 2,2x ＋y＝ 2， x－y＝ 3 围成一个
三角形，则三角形内部地区可用不等式组 ________表示．．画出不等式 x2＋xy － 2y2＋ 3y－ 1＜0 表示的平面地区．．某用户计划购置单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资本不超出 500 元，依据需要，软件起码
买 3 片，磁盘起码买 2 盒．问：软件数与磁盘数应知足什么
条件？
参照答案：
． c 分析：将点代入考证． ． B 分析：取特别点考证． ．c
x－ y＋ 5
x＋ y
0， 0≤
x≤ 3，可转变为 x－y＋ 5≥ 0，x＋ y≥0，0≤x ≤3 或 x－ y＋ 5
≤ 0，x ＋y ≤0， 0≤ x≤ 3，绘图即可．
． 8 分析：去掉绝对值符号后，可得该不等式表示的
地区面积为 12× 2× 2× 4＝ 8.
． 分析：设 P，P 在 x 轴下方，则 3－ 3t ＜0.
∴t ＞ 1， d＝ |t
3－ 3t 1|2 ＝ 32，|t － 1| ＝32.
由 t ＞ 1，得 t ＝ 52. 于是 P．
x ＋ 2y2x － y0，x ＋ 2y － 10. 其表示的平面地区如图暗影
部分所示．
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．解：设软件数为
x，磁盘数为 y，依据题意可得 60x
＋ 70y ≤500， x≥3 且 x ∈N，y ≥2 且 y∈ N.
二、二元一次方程组的图象解法
看一个二元一次方程 y＝ 2x＋3，我们能够列表把这个方 程的解表示出来：
在座标平面内描点、绘图．这样得出来的图形就是二元一次方程 y＝ 2x＋ 3 的图象．图象上每一个点的坐标，如就表示方程 y＝2x ＋ 3 的一个解 x＝－ 3， y＝－ 3.
对照一次函数的图象，不难知道，二元一次方程
y＝ 2x
＋ 3 的图象就是一次函数 y＝ 2x＋3 的图象，它是一条直线． 引
申：
如何利用图象解二元一次方程组呢？看下边的例子：
x＋y＝ 3，① 3x－ y＝ 5. ②
先在同向来角坐标系内分别画出这两个二元一次方程
的图象．
由方程①，有
过点与画出直线 x＋ y＝ 3. 由方程②，有
过点与画出直线 3x－ y＝ 5.
两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公 共解，交点坐标是，所以原方程组的解是x＝ 2， y＝ 1. 这
与用代入法或加减法解得的结果同样．发问
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二元一次不等式(组)平面地区教课方案
在解二元一次方程 ，会碰到此中一个方程是
x ＝ 3
或 y＝ 2 种形式．
x＝3 或 y＝ 2 的 象是怎 的呢？
方程 x＝3 能够当作 x＋ 0?y ＝ 3，它的解列表
X⋯3333⋯ y⋯－ 1012⋯ 能够看到，无
y 取什么数 ， x 的 都是
3，全部表
示方程 x＝ 3 的解的点 成一条直 ， 条直 点，且平
行于 y ． 条直 就是方程
x＝ 3 的 象，即直
x＝ 3．同
，方程
y＝ 2 的 象是 点，且平行于
x 的一条直 ，
即直
y＝ 2．
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