2015-2016学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

试数学试题

一、选择题

1．若集合M1,0,1,2,Nx|x(x1)0，则MN （ ） A．1,0,1,2 B．0,1,2 C．1,0,1 D．0,1 【答案】D

【解析】试题分析：因为N{x|x(x1)0}{0,1}，所以MN{0,1}；故选D． 【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．

x2．函数f(x) =3tan(),xR的最小正周期为

24A．

2 B． C．2 D．4

【答案】C

x【解析】试题分析：由正切函数的周期公式，得函数f(x) =3tan(),xR的

24最小正周期为T122；故选C．

【考点】正切函数的周期公式．

3．已知f(x)33，若f(a)3，则f(2a)等于（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C

aaaa22a2a【解析】试题分析：由题意，得333，所以(33)3329，

xx即f(2a)7；故选C． 【考点】指数式的运算．

04．已知角的终边过点P(8m,6sin30)且cos4，则m的值为（ ） 5A．－

3311 B． C．－ D． 2222【答案】B

0y6sin303，则rm29，【解析】试题分析：因为x8m，

cos14(m0)，解得36m29，即m；故选B．

25m298m【考点】三角函数的定义．

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的函数是（ ）

A．ylog2(x1) B．yx1 C．yx21 D．y2【答案】B

x

2yx1【解析】试题分析：因为ylog2(x1)是非奇非偶函数，故A错误；因为

是偶函数且在区间(0,)上单调递减，故C错误；因为y2|x|2x,x0是偶函12,x02数，且在区间(0,)上单调递减，故D错误；因为yx1且在区间(0,)上单调递增，故B正确；故选B． 【考点】1．函数的奇偶性；2．函数的单调性．

x1,x0是偶函数

x1,x06．如果偶函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值是2，那么f(x)在[7,3]上是 A．减函数且最小值是2

B．减函数且最大值是2 C．增函数且最小值是2 D．增函数且最大值是2 【答案】A

【解析】试题分析：因为函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值是2，所以f(3)2，又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)在[7,3]上是减函数，则

f(x)maxf(3)f(3)2；故选A．

【考点】1．函数的奇偶性；2．函数的单调性． 【方法点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题；解决此类问题，一要注意“奇函数在对称区间内单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反”的应用，二要注意数形结合思想的应用，三要注意基本函数的奇偶性与单调性（如：若函数f(x)是奇函数且在0,上为增函数，可设f(x)kx,k0等）的应用． 7．若角,1sin1sin = （ ） ，则

1sin1sin2A．-2tanα B．2tanα C．-tanα D．tanα

【答案】A 【解析】试题分

析：

1sin1sin(1sin)2(1sin)2|1sin||1sin| 1sin1sin1sin21sin2|cos|因为(,2(1sin)(1sin)2sin2tan；故选A．

coscos试卷第2页，总10页

)，所以cos0,1sin0，所以原式

【考点】1．同角三角函数基本关系式；2．三角函数的符号． 8．把函数ysin(5x)的图象向右平移标缩短为原来的

2个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐41，所得函数的解析式为（ ） 2537A．ysin(x) B．ysin(10x)

242537C．ysin(x) D．ysin(10x)

284【答案】D

【解析】试题分析：把函数ysin(5x)的图象向右平移个单位，得到247ysin[5(x)]sin(5x)的图象，再将所得函数图象上各点的橫坐标缩短

42471)的图象；故选D． 为原来的，得到ysin(10x42【考点】三角函数的图象变换．

9．P是ABC所在平面内一点，若CBPAPB，其中R，则点P一定在（ ）

A．ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 【答案】B

CAP【解析】试题分析：因为CBPAPB，所以PAPBBC0，即P所以P,A,C三点共线，即点P一定在AC边所在直线上；故选B． 【考点】平面向量的线性运算． 10．函数f(x)A．(0,，

21x2xR的值域是 （ ）

2) B．(0,2] C．[0,2) D．[0,2]

11，即0f(x)2，即函数21x【答案】B

2【解析】试题分析：因为1x1，所以0f(x)21x2xR的值域是(0,2]；故选B．

【考点】函数的值域．

x,y11．设R，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,b//c，则ab=（ ）

A．5 B．25 C．10 D．10 【答案】C

【解析】试题分析：因为a(x,1),b(1,y),c(2,，4且ac,b//c，所以

2x40x2，解得， 2y40y222则|ab|(21)(12)10；故选C．

【考点】1．平面向量平行或垂直的判定；2．平面向量的模． 【思路点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量平行或垂直的判定以及模的求解，属于基础题；平面向量的坐标运算，主要涉及平面向量的加法、减法、数乘、数量积、夹角、模的计算或判定两平面向量平行或垂直关系，一般比较简单，往往思维量较小，计算量稍大一些。 12．已知函数f(x)x1(x≤0)log2x(x0),则函数yf[f(x)]1的零点个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A

【解析】试题分析：由函数

x1(x≤0)f(x)log2x(x0)，得

x3,x1lo(xg1121)1,1x0yf[f(x)]1，令y0，则x3或或或2，

g2,0x1242xloo)g1,x12(gl2xlo即函数yf[f(x)]1的零点个数是4；故选A．

【考点】1．分段函数；2．函数的零点．

【方法点睛】本题考查分段函数、函数的零点与相应方程的根的关系，属于中档题；根据已知函数yf(x)的解析式，求出函数yf[f(x)]1的解析式是解决本题的关键；处理函数的零点问题，要注意函数f(x)的零点与相应方程f(x)0的根的关系，且要注意函数的零点是一个数，而部分学生往往认为“函数的零点是一个点”．

二、填空题

13．已知扇形的圆心角为60，所在圆的半径为10cm，则扇形的面积是________cm2． 【答案】

050 3【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为

115050SR2100；故填．

22333【考点】扇形的面积公式． 14．函数y1的定义域为________．

lg(x1)【答案】(1,2)(2,)

lg(x1)01【解析】试题分析：要使y有意义，则，解得x1且x2，

lg(x1)x10试卷第4页，总10页

即函数y1的定义域为(1,2)(2,)；故填(1,2)(2,)．

lg(x1)【考点】函数的定义域． 15．已知sin(【答案】

3x)，则cos(x)______． 3563 5【解析】试题分析：因为x填

62(3x)，所以cos(x3)sin(x)；故6353． 5【考点】诱导公式．

【技巧点睛】本题考查诱导公式的应用，属于中档题；三角恒等变换主要有三种变换：角的变换，名的变换，形的变换，角的变换是关键的一步，要注意从整体思想上以及所求角和已知角的关系，尽量利用已知角来表示所求角，如：x62(3x)，

2()()，2()()等，本题若先由sin(x)3求

35sinx,cosx的值，因为角x的范围未知，难以求解．

16．给出命题： ①函数ycos(x32)是奇函数； 2②若、是第一象限角且，则tantan；

3x在区间[,]上的最小值是－2，最大值是2； 2325④x是函数ysin(2x)的一条对称轴。

84③y2sin其中正确命题的序号是 ． 【答案】①④

【解析】试题分析：因为函数ycos(x323)sinx是奇函数，故正确；当224,133时，tan，即错误；当x,，则1tan63323333x,，则sinx1,1，即y2sinx在区间[,]上的最小值是

2232224532，最大值是2，故错误；因为f()sin()sin1，故④正确；

8442故填①④．

【考点】1．三角函数的性质；2．命题真假的判定．

【易错点睛】本题以命题真假的判定为载体考查三角函数的图象与性质，属于中档题；本题易在判定“y2sin3x在区间[,]上的最小值是－2，最大值是2”时出现232错误，部分学生往往“由x33,得到x,，得到错误答案

22432323sinx1,，因为忽视了函数y2sinx 222在x

三、解答题

17．已知A{x|a4x2a},B{x|x1或x5}． （1）若ABR,求a的取值范围； （2）若AB,求a的取值范围．

． ,的单调性（先增后减）

3251（2）a或a9． a3；

22【解析】试题分析：（1）根据ABR可得两集合端点的大小关系，解不等式即可；（2）先讨论A=的情况，再研究A时，利用两集合端点值的关系进行求解．

【答案】（1）

试题解析：（1）因为ABR，所以解得

a41

2a55a3 2（2）∵AB

∴当A=时 a42a∴a4；

当A时 a42a1或5a42a

1∴4a或a9

21综上a或a9．

2【考点】1．集合的运算；2．集合间的关系．

【易错点睛】本题考查两集合间的包含关系以及两集合的运算，属于基础题；在处理连续数集间的关系或运算时，可以利用数轴进行直观求解，体现数形结合思想的应用，若集合含有字母时，要注意讨论，不要忘记“集合为空集”的特殊情况（如：本题中，若忽视A=的情况，即忽视a42a的情况，导致出现“4a误答案）．

18．已知a(1,0)，b(2,1) ． （1）求a3b；

（2）当k为何值时，kab与a3b平行，并说明平行时它们是同向还是反向？ 【答案】（1）58；（2）k，反向．

1或a9”的错2a【解析】试题分析：（1）先利用平面向量的坐标运算得到3b(7,3)，再利用模长

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13公式进行求解；（2）先利用平面向量的坐标运算得到有关向量的坐标，再利用

(x1,y1)//(x2,y2)x1y2x2y10求k值，再利用系数的正负判定同向还是反向．

试题解析：（1） a3b(7,3)

a3b49958 kab(k2,1)a（2） 3b(7,3) 又(kab)‖(a3b) 3(k2)7

1171a3b(7,3)此时 ab(,1) a3b3(ab) k3 3331 当k时 反向共线．

3【考点】1．平面向量的坐标运算；2．平面向量共线的坐标判定．

19．已知曲线yAsin(x)(A0,0)上的一个最高点的坐标为(,2), 由

2此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(,0),(（1）求这条曲线的函数解析式； （2）求函数的单调增区间． 【答案】（1）y32,)． 22132sin(x)；（2）[4k,4k]kZ．

2422【解析】试题分析：（1）先根据函数的最高点坐标和相邻关键点的坐标，得到A,，再利用最高点的坐标求值，即可求出该曲线的解析式；（2）利用整体思想求其单调区间．

试题解析：（1）因为曲线yAsin(x)(A0,0)上的一个最高点的坐标为

(,2), 由此点 2到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(即33,0)，所以A2,T4()4，2221()，得(,2)代入y2sixn222k,kZ，即2k,kZ，因为(,)，所以，

4424221即这条曲线的函数解析式为y2sin(x)

241（2）令2kx2k ，kZ

2242，

将

1,，即 21y2sin(x)234kx4k ，kZ

223即函数的单增区间是[4k,4k]（kZ）

22【考点】1．三角函数的图象与解析式；2．三角函数的单调性．

【技巧点睛】本题考查三角函数的解析式、三角函数的图象与性质，属于中档题；求函数的解析式，要借助函数图象的关键点，记住常见结论（如：相邻零点相差半个周期，相邻最值点相差半个周期，零点与相邻最值点相差四分之一周期，最低点相当于关键点中的,1，最高点相当于关键点中的32,1）可起到事半功倍的效果． 220．已知函数f(x)log2(1x)log2(1x)，g(x)log2(1x)log2(1x) ． （1）判断函数f(x)奇偶性并证明；

（2）判断函数f(x)单调性并用单调性定义证明； （3）求函数g(x)的值域．

【答案】（1）奇函数；（2）单调递增；（3）(,0]．

【解析】试题分析：（1）先判定函数的定义域关于原点对称，再验证f(x)和f(x)进行证明；（2）利用函数单调性的定义进行证明；（3）先化简函数解析式，利用符合函数的单调性求其值域．

试题解析：（1）定义域为(1,1)，关于原点对称 且f(x)log2(1x)log2(1x)f(x)

f(x)为(1,1)上的奇函数

（2）设1x1x21 则f(x1)f(x2)log21x11x2(1x1)(1x2)log2log2 1x11x2(1x1)(1x2)又1x1x21(1x1)(1x2)(1x1)(1x2)2(x1x2)0 即0(1x1)(1x2)(1x1)(1x2)0(1x1)(1x2)1

(1x1)(1x2)log2(1x1)(1x2)0f(x1)f(x2)f(x)在(1,1)上单调递增„„„8分

(1x1)(1x2)22g(x)log2(1x)log2(1x)log(1x)，（3）且01x1，所以g(x)0，

即函数g(x)的值域为(,0]

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【考点】1．函数的奇偶性；2．函数的单调性；3．函数的值域． 21．已知函数f(log2x)x（1）求f(x)的表达式；

（2）不等式2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

xxf(x)22【答案】（1）；（2）m5．

1 x【解析】试题分析：（1）令tlog2x，利用换元法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．

2t试题解析：（1）令tlog2x，则x2t，则f(t)2t，

2xxf(x)22即；

11t)m(2)o 2tt22111即2t(2tt)(2tt)m(2tt)0

2221t[1,2],2tt0

2（2）2t(22tm(22t1)

所以m(21)对于t[1,2]上恒成立；

2t17(21)5， 因为52117，即

2t2t所以m5

【考点】1．函数的解析式；2．不等式恒成立问题．

22．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B,P在单位圆上，且B(525,),AOB. 55

4cos3sin（1）求

5cos3sin的值；

2（2）设AOP(),OQOAOP，四边形OAQP的面积为S，

63f()(OAOQ1)22S1，求f()的最值及此时的值．

【答案】（1）10；（2）当2时，f()min21．

【解析】试题分析：（1）先利用三角函数的定义求出tan，再利用“化弦为切”的思想进行求解；（2）先判定四边形为菱形，将求菱形的面积转化为求三角形的面积，利用三角形的面积公式和平面向量的数量积公式以及同角三角函数基本关系式进行求解． 试题解析：（1）由三角函数的定义，得

25tan52

554cos3sin43tan43210 5cos3sin53tan532（2）由已知点P的坐标为Pcos,sin

OQOAOP又，OAOP，∴四边形OAQP为菱形

∴S2SOAPsin

∵A1,0,Pcos,sin，∴OQ1cos,sin

∴OAOQ1cos

f1cos12sin1cos22sin1sin22sin

21sin12

21当sin，即时,f()max242当sin1，即2时,f()min21

【考点】1．三角函数的定义；2．平面向量的数量积运算．

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