2019版一轮优化探究文数练习：第四章 第六节 正、余弦定理和应用举例 含解析

一、填空题

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为________．

a2＋c2－b2

解析：由余弦定理cos B＝2ac， 3又a＋c－b＝3ac，∴cos B＝2，

2

2

2

π

又02．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为________km. 解析：由余弦定理知，

AC2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700. ∴AC＝107 km. 答案：107

3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．

解析：依题意可得AD＝2010 (m)，AC＝305 (m)，又CD＝50 (m)，

所以在△ACD中，由余弦定理得 AC2＋AD2－CD2cos∠CAD＝

2AC·AD3052＋20102－502

＝

2×305×20106 0002＝＝2， 6 0002

又0°<∠CAD<180°，

所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案：45°

c－a－b24．锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件S＝，又角C既不

4k是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是________．

22

a2＋b2－c2c－a－b

解析：cos C＝2ab，∴c2－a2－b2＝－2abcos C，由S＝，得4kS

4k

2 1222

＝c2－(a－b)2，即4k··absin C＝c－a－b＋2ab，

2∴2kabsin C＝－2abcos C＋2ab，即ksin C＝1－cos C， 1－cos CCππ∴k＝sin C，∴k＝tan2，又4Ba＋c

5．在△ABC中，cos22＝2c(a， b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________．

cos B＋1a＋cBa＋c

解析：∵cos22＝2c，∴＝2c，

2a

∴cos B＝c， a2＋c2－b2a∴2ac＝c，

∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b＝a＋c，则角B的取值范围是________．

a＋c2

a＋c－

4a2＋c2－b2

解析：∵cos B＝2ac＝ 2ac

2

2

3a2＋c2－2ac3a2＋c21311＝＝8ac－4≥4－4＝2，

8ac1π

即cos B∈[2，1)，∴B∈(0，3]． π

答案：(0，3] 7．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是________．

1

解析：依题意及面积公式S＝2bcsin A， 1

得103＝2bcsin 60°，得bc＝40.

又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 答案：7

a＋b＋c8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，面积为3，则＝________.

sin A＋sin B＋sin C11

解析：S＝2bc·sin A＝2×1·c·sin 60°＝3， ∴c＝4，

∴a2＝b2＋c2－2bc·cos A ＝1＋42－2×1×4×cos 60° 1

＝1＋16－2×4×2＝13， ∴a＝13.

a＋b＋ca13239

∴＝sin A＝sin 60°＝3. sin A＋sin B＋sin C239答案：3 9．如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

解析：由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BM＝

BMm

＝，解得

sin90°－αsinα－β

mcos αmcos αcos β

，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝>n，所以

sinα－βsinα－β

α与β的关系满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 二、解答题

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知2sin A＝3cos A. (1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值； (2)若a＝3，求△ABC的面积的最大值．

解析：(1)∵2sin A＝3cos A，∴2sin2A＝3cos A，即2cos2A＋3cos A－2＝0，解1π

得cos A＝2或－2(舍去)，又0A．又a2－c2＝b2－mbc，可得cos A＝2，∴m＝1.

π

(2)由余弦定理及a＝3，A＝3，可得3＝b2＋c2－bc，再由基本不等式b2＋c2≥2bc，11π333

∴bc≤3，∴S△ABC＝2bcsin A＝2bcsin3＝4bc≤4，故△ABC的面积的最大值33为4. 11．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大小；

(2)求cos A＋sin C的取值范围．

ab

解析：(1)由a＝2bsin A及正弦定理sin A＝sin B＝2R，得 1

sin A·2R＝2sin B·2R·sin A，即sin B＝2， π∵△ABC是锐角三角形，∴B＝6. 5π

(2)由(1)，知C＝π－A－B＝6－A， ∴cos A＋sin C

5π33

＝cos A＋sin(6－A)＝2cos A＋2sin A 31

＝3 (2cos A＋2sin A) π

＝3sin(A＋3)． ∵△ABC是锐角三角形，

π00π00<－A<62，

2ππ5π

∴333

∴cos A＋sin C的取值范围为(2，2)．

12．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．

(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；

→

(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x(x∈R)的值域．

解析：(1)连结BC，在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700， BC＝107.

即处于C处和乙船和遇险渔船间的距离为107海里． sin θsin 120°(2)∵20＝，

107∴sin θ＝

37，

47，

∵θ是锐角，∴cos θ＝

34

∴f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x＝7sin x＋7cos x 5

＝7sin(x＋φ)，

55

∴f(x)的值域为[－7，7]．