word 1.2.1 排列
第三课时
教学目标 知识与技能
利用捆绑法、插空法解决排列问题． 过程与方法
经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想． 情感、态度与价值观
能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力． 重点难点
教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题． 教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．
教学过程
复习回顾
提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题． (1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演． 活动成果：
解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A7＝5 040.
(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040. (3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A6＝720.
(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A2种；第二步余下的5名同学进行全排列有A5种，所以，共有A2·A5＝240种排列方法．
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word (5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A5种方法，所以一共有A5A5＝2 400种排列方法．
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典型例题
类型一：捆绑法 例17位同学站成一排，
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？ 解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A6A2＝1 440种．
(2)方法同上，一共有A5A3＝720种．
(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A5种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5A4A2＝960种．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A5种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A6－2A5)·A2＝960种．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A4A5A2＝960种．
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A3A4A2＝288种．
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word 点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)． [巩固练习]
某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？
解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A2种排法，共有A5A3A2A2＝2 880种不同的排法．
[变练演编] 7位同学站成一排，
(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？ (2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？
解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A5种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A5A5A2＝1 200种不同的排法．
(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A5种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A5A4A2＝960种不同的排法．
类型二：插空法 例27位同学站成一排，
(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：(1)方法一：(排除法)A7－A6·A2＝3 600；
方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A6种方法，所以一共有A5A6＝3 600种方法．
(2)先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三
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word 个同学分别插入这五个“空〞有A5种方法，所以一共有A4A5＝1 440种方法．
点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)． [巩固练习]
5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．
解：(1)先将男生排好，有A5种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A5种排法，
故此题的排法有N＝2A5·A5＝28 800种． A105
(2)方法1：N＝5＝A10＝30 240；
A5
方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A10种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．
故此题的排法为N＝A10×1＝30 240种． [变练演编]
5男6女排成一列，问
(1)5男排在一起有多少种不同排法？ (2)5男不都排在一起有多少种排法？ (3)5男每两个不排在一起有多少种排法？ (4)男女相互间隔有多少种不同的排法？
解：(1)先把5男看成一个整体，得A7，5男之间排列有顺序问题，得A5，共A7A5种． (2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A11－A7A5.
(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A6A7. (4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A6A5. [达标检测]
1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
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word C．720种 D．480种
2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )
A．A8 B．A4A4
C．A4A4A2D．以上都不对
3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．96 C．48 D．124 答案：
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课堂小结
1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式． 2．方法收获：捆绑法、插空法． 3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．
补充练习
[基础练习]
1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )
A．12 B．24 C．48 D．144
2．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个
( ) A．9 B．12 C．24 D．21
3．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30
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word C．72 D．18
4．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540 B．300 C．180 D．150 答案： [拓展练习]
5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480
设计说明
本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．
备课资料
一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．
例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．
解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A4＝24种排法．
二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．
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word 例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．
解析：A7A3＋A7A3＋A7＝504种．
例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．
解析：不同排法的种数为A5A6＝3 600.
例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．
解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A5＝20种不同排法．
例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．
解析：A9A3＋A9A3＋A9＝990种．
例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？
解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A3，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A4种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A4A3＝24种．
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A4＝24种．
注：题中*表示元素，○表示空．
例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有A8种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A9种方法，所以共有A9A8种方法．
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