2016年高考真题——理数(新课标卷)word版 (含答案)

试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试课标Ⅰ卷

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合A{x|x4x30}，B{x|2x30}，则A2B

（D）(,3)

333（B）(3,) （C）(1,)

222（2）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|

（A）(3,)

（C）3

（3）已知等差数列{an}前9项和为27，a108，则a100

（A）1

（B）2

32

（D）2

（A）98 （B）99 （C）100 （D）97

（4）某公司班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达 发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A）

1 3 （B）

1 2 （C）

2 3 （D）

3 4x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点之间距离为4，则n的取值范围是 （5）已知方程2mn3m2n （A）(0,3) （B）(1,3) （C）(1,3) （D）(0,3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径．若该几何体的体积是

（A）20

（C）17

28，则它的表面积是 3

（B）18 （D）28

2|x|（7）函数y2xe在[2,2]的图像大致为

y1（A）2O2x（B）2y1O2xy1（C）2O2x（D）2y1O2x

（8）若ab1，0c1，则

（A）alogbcblogac （C）ab

cc

（B）abba （D）logaclogbc

开始输入x，y，nn 12x2+y236是输出x，y结束cc

（9）执行右面的程序框图，如果输入的x0，y1，n1， 则输出的x，y的值满足

（A）y4x （B）y3x （C）y2x

（D）y5x （10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，交C的准线于D，B两点，

n=n+1否x=x+，y=nyE两点．已知|AB|42，

|DE|25，则C的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCDm， 平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为 （A）

3 3 （B）

2 2 （C）

3 2 （D）

1 3（12）已知函数f(x)sin(x)（0，||像的对称轴，且f(x)在( （A）11

2），x4为f(x)的零点，x4为yf(x)图

5,1836)单调，则的最大值为

（C）7

（D）5

（B）9

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题——第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第

（22）题——（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m__________． （14）(2xx)5的展开式中，x的系数是_________．（用数字填写答案）

3（15）设等比数列{an}满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_______．

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg， 乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一 件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cosC(acosBbcosA)c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c7，ABC的面积为

C（18）（本小题满分12分） D如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，

E面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，

F且二面角DAFE与二面角CBEF都是60． B （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；

A（Ⅱ）求二面角EBCA的余弦值． （19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数4033，求ABC的周长． 22001011更换的易损零件数以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值．

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？ （20）（本小题满分12分） 设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA||EB|为定值；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、

22Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)(x2)ea(x1)有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1、x2是函数的两个零点，证明：x1x22．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，

x2则按所做的第一题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，AOB120．以O为圆心， 1OA为半径作圆． 2 （Ⅰ）证明：直线AB与圆O相切； （Ⅱ）点C、D在圆O上，且A、B、C、D四点共圆， 证明：AB//CD． （23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

DOACBxacost,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）．在以坐标原点为极

y1asint,点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos．

（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)|x1||2x3|． （Ⅰ）画出yf(x)的图像；

（Ⅱ）求不等式|f(x)|1的解集．

y1O1x2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案（A卷）

选择题答案 一．选择题

（1）D （2）B （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A （9）A （10）B （11）C （12）B 非选择题答案 二．填空题

（13）2 （14）10 （15） （16）216000 三．解答题 （17）解：

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

2coCs(sinAcosBsinBcosA)sinC，

即 2coCssinA(B)sinC． 故2sinCcosCsinC．

1，所以C．.............................................................................................................6分

32133（Ⅱ）由已知，absinC．

22 可得cosC又C，所以ab6． 3222由已知及余弦定理得，ab2abcosC7．

22故ab13，从而(ab)25．

所以ABC的周长为57．................................................................................................................12分 （18）解：

（Ⅰ）由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC．

又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC．........................................................................4分 （Ⅱ）过D作DGEF，垂足为G，由（Ⅰ）知DG平面ABEF．

以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz．

由（Ⅰ）知DEF为二面角DAFE的平面角， 故DFE60，则|DF|2，|DG|zDGxFAyCEB3，

可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，(3,0,0)，D(0,0,3)．.................6分 由已知，AB//EF，所以AB//平面EFDC．

又平面ABCD平面EFDCCD，故AB//CD，CD//EF． 由BE//AF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，

CEF60．从而可得C(2,0,3)．

所以EC(1,03)，EB(0,4,0)，AC(3,4,3)，AB(4,0,0)． 设n(x,y,z)是平面BCE的法向量，则

x3z0,nEC0,  即

4y0.nEB0, 所以可取n(3,0,3)． 设m是平面ABCD的法向量，则mAC0,

mAB0. 同理可取m(0,3,4)．则cosn,m 故二面角EBCA的余弦值为nm|n||m|43219． 192319219．.................................................................................12分 19（19）解：

（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2．从而

P(X16)0.20.20.04；

17)20.20.40.16；

18)20.20.20.40.40.24； 19)20.20.220.40.20.24； 20)20.20.40.20.20.2； 21)20.20.20.08； 22)0.20.20.04． 所以X的分布列为

P(XP(XP(XP(XP(XP(XX P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 .........................................................................................................................................................................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19．...............................8分 （III）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．

当n19时，

E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08 (192003500)0.04 404．0 当n20时，

E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.04 408．0

可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19．.................12分 由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题知X~B(100,0.6826)，所以E(X)1000.682668.26．

（20）解：

（Ⅰ）因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC．

所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA|ED||AD|．

又圆A的标准方程为(x1)y16，从而|AD|4，所以|EA||EB|4．..........................3分 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

22x2y21（y0） ．.............................................................................6分 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)，（k0），M(x1,y1)，N(x2,y2)．

yk(x1),2222由x2y2 得(4k3)x8kx4k120．

1,348k24k212则x1x2，x1x2． 224k34k312(k21)2所以|MN|1k|x1x2|．

4k23过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y212， (x1)，A到m的距离为2kk14k23)4所以|PQ|24(． 22k1k1故四边形MPNQ的面积

22 S11|MN||PQ|1212． 24k3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值范围为(12,83)．

可得当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12． 综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为[12,83)．.......................................................................12分

（21）解：

（Ⅰ）f(x)(x1)e2a(x1)(x1)(e2a)．

（i）设a0，则f(x)(x2)e，f(x)只有一个零点．

（ii）设a0，则当x(,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0． 所以f(x)在(,1)单调递减，在(1,)单调递增．

xxxa，则 2a322 f(b)(b2)a(b1)a(bb)0，

22故f(x)存在两个零点．

（iii）设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)．

e若a，则ln(2a)1，故当x(1,)时，f(x)0，因此f(x)在(1,)单调递增．

2 又当x1时f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．

e2a)1，故当x(1,ln(2a))时，f(x)0；当x(ln(2a),)时，若a，则ln(2f(x)0．因此f(x)在(1,ln(2a))单调递减，在(ln(2a),)单调递增．又当x1时f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．

综上，a的取值范围为(0,)．...............................................................................................................6分 （Ⅱ）不妨设x1x2．由（Ⅰ）知，x1(,1)，x2(1,)，2x2(,1)，

f(x)在(,1)单调递减，所以x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0．

2xx22由于f(2x2)x2e2a(x21)，f(x2)(x22)e2a(x21)0，

又f(1)e，f(2)a，取b0且bln(x22)ex2．

2xx2xx设g(x)xe(x2)e，则g(x)(x1)(ee)．

所以当x1时，g(x)0，而g(1)0，故当x1时g(x)0．

从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22．.......................................................................................12分

所以f(2x2)x2e（22）解：

（Ⅰ）设E是AB的中点，连接OE．

因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60．

在RtAOE中，OE2x21AO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径， 2DOCO'所以直线AB与圆O相切．....................................................................5分

AE（Ⅱ）因为OA2OD，所以O不是A、B、C、D四点所在圆的圆心．

设O是A、B、C、D四点所在圆的圆心，作直线OO．

由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB．

B同理可证，OOCD．所以AB//CD．............................................................................................10分 （23）解：

（Ⅰ）消去参数t得到C1的普通方程 x(y1)a．C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为

2221a0． 2sin............................................................................................................5分

（Ⅱ）曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

2222sin1a20, 

4cos.22若0，由方程组得16cos8sincos1a0，

由已知tan2，可得16cos8sincos0，从而1a0，解得a1（舍去），a1． a1时，极点也为C1，C2的公共点，也在C3上．

所以a1．..................................................................................................................................................10分 （24）解：

22yx4,x1,3（Ⅰ）f(x)3x2,1x,

2x4,x3,21 yf(x)的图像如图所示．..............................5分

O1x（Ⅱ）由f(x)的表达式及图像，

当f(x)1时，可得x1或x3；

1当f(x)1时，可得x或x5．

3 故f(x)1的解集为{x|1x3}；f(x)1的解集为

1{x|x或x5}．

31所以|f(x)|1的解集为{x|x或1x3或x5}．..................................................................10分

3 附：

A，B卷共6（3，5，6，8，9，11）道题选项有调整，同时答案也做了调整，都是A，C选项互换． 文，理卷共7道题（其中有三道选做题，三道选择题，一道填空题）相同，其余多为姊妹题，旨在降低文科试题的绝对难度．