２０１ １年第５期 福建中学数学 ３３ 数学知识交汇考查已在２０１０年高考数学试卷中初露 端倪． 例９（江苏卷・理２１）在平面直角坐标系ｘＯｙ中， 在ｎ行ｎ列矩阵 ２ ３ …ｎ一２ ３ ４ ．．． 一１ ４ ５ … １ ２…１ １ ２ １ Ａ（０，０），Ｂ（一２，０），Ｃ（一２，１），设ｋ≠０，ｋ∈Ｒ， ／，／一３ ｎ一２＂一１ ）．当即：９时， ａｌ１＋ａ２２＋ ３＋…＋ａ９９＝——． 对应的变换下得到点４、 、ｃｌ， ４ Ｃ’Ｉ的面积是 评析上海卷中，上述两道属于行列式与矩阵的 ｚ￣ＡＢＣ面积的２倍，求实数ｋ的值． 运算的试题都属于必做题．例ｌ０考查了行列式的运 Ｓ Ｏ Ｃ 一３ ． ｌ Ｓ 一３ 评析本题考查的是选修系列４－２ 矩阵与变换 算，但行列式中的元素却是由三角函数值来表示 中的相关知识，但从题设中可知，本题在矩阵与变 的．只有知道这四个三角函数值才能运用行列式的运 换的考查之上又与三角形的面积求值有关联．通过 算方法来计算＂：ｑｃ４Ｋ；而例１１中则将矩阵与数列的通 矩阵的相关变换得到新的三角形三点的坐标，从变 万一６咖 项、数列的求和问题联系起来，利用矩阵中元素的内 万一６ 换后的面积关系得到所要求的值．题目的难度并没 在规律，结合数列的特殊性，使试题的整体得到统一． 有太大增加，但知识之间的联系加深了． 综上，知识交汇命题方式已经成为高考命题的 主要方式之一．这种方式使得知识在知识网中纵横 交错，让高考在课标“宽而浅”的特点下的考查功能得 例１０（上海卷・理４）行列式 的值 到更全面的发挥．我们相信，随着课标课程的日趋 成熟，知识网络中的交汇试题将会遍布于整个高中 是—— 数学体系之中，以能力立意的高考命题原则也会表 例１１（上海卷・理ｌ０） 现得更加淋漓尽致． Ｍ＝Ｊ ｏ Ｉ，Ⅳ＝ Ｉ，点Ａ、Ｂ、ｃ在矩阵 中，记位于第ｉ行、第，列的数为ａｉｉ（ｆ，Ｊ＝１，２，…， 基于适度形式化的数学“双基＂考查探究 阮金锋 ， 陈清华 柯跃海 １福建师范大学数学与计算机科学学院（３５０００７） ２福建省福安市第八中学（３５５０１２） 在传统意义上，“双基”是指“基础知识和基本技 能”；而事实上， 课标 在“课程的基本理念”中早 已赋予“双基”新的范畴：与时俱进地认识“双基”．这 就表明，在课标课程的背景下，“双基”已经成为“基 础”的代名词，“双基”就是学生为“进一步提高作为未 来公民所必要的数学素养”而必备的“数学基础”．不 仅包括对基础知识、基本技能的掌握程度，还强调 对数学思想方法和数学本质的理解水平． 适度形式化也是 课标 的基本理念之一，已 成为数学教育中的一条重要教学原则，也是高考所 追求的考查目标之一．传统数学考试过分强调和依 赖形式化的考查，过度追求形式化，造成学生过分 地着眼于形式和机械化的操作，很大程度上弱化了 学生对数学本质的理解．本文将探讨在考查数学“双 基”的过程中怎样凸显适度形式化的考查目标． １．基于适度形式化的数学“双基”考查分析 １．１在基础知识的考查中体现适度形式化 例１（２０１０年高考福建卷・文）将函数 得图象与原图象重合，则 的值不可能等于 Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ 评析本题考查三角函数图象平移与周期的关系 等基础知识，但又不仅仅考查这些基础知识的简单的 背记，形式上是函数的平移，但实质上却要抓住“平 移所得图象与原图象重合”这一反映函数周期基础知 识的本质特征，判断出函数的周期为 ２ｋ，ｋ∈Ｚ， ，）一 所以得到＝ ＝・ ，即 ＝４ｋ．故选Ｂ．本题情景新 ｒ上， 颖，关注数学本质考查，体现形式与本质的统一． 例２（２００９年高考浙江卷・理）已知ａ是实数， 则函数ｆ（ｘ）＝１＋ａｓｉｎａｘ的图象不可能是 评析本题主要考查函数与图象的关系，及三角 函数的周期，振幅对图象的影响等基础知识，在考查 基础知识的同时体现了适度形式化考查：既要充分挖 掘解析式＿厂（ ）＝１＋ａｓｉｎａｘ这个形式化式子的内涵，抓 住形式中ａ的地位作用，ａ的变化决定了图象的变化； 又要认识到ａ的双重身份，ａ可以同时决定振幅与周 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｃｏｘ＋ ）的图象向左平移：ｒ／２个单位．若所 ３４ 福建中学数学 ２０１１年第５期 期．不仅考查了学生能熟练、准确地用形式化语言来 短”“时间最少”等抽象问题转化为直观形象的图形语 解决数学问题，又做到学生对数学本质的理解． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １，２在基础技能的考查中凸显适度形式化 例３（２０１０年高考福建卷・文）对于平面上的 点集Ｑ，如果连结Ｑ中任意两点的线段必定包含于 Ｑ，则称Ｑ为平面上的凸集，给出平面上４个点集 的图形如下（阴影区域及其边界）： ／／／／ ｏ０ ① ② ③ ④ 其中为凸集的是—— （写出所有 凸集相应图形的序号）． 评析本题利用“凸集”的概念理解，来考查学生的 识图技能．看似很抽象的、形式化的概念，但只要真 正理解概念的本质，并且通过把抽象的概念转化为直 观的图象操作，在每个图中任意画一线段便可轻易判 断，这样抽象的问题便可通过直观操作迎刃而解． 例４（２０１０年高考福建卷・理）某港口０要将 一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上， 在小艇出发时，轮船位于港口Ｄ北偏西３０。且与该港 口相距２Ｏ海里的 处，并正以３０海里／，Ｊ、时的航行 速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向 以ｖ海里／，Ｊ、时的航行速度，经过ｆ小时与轮船相遇． （１）若希望相遇时小艇的的航行距离最小，则 小艇的航行速度的大小为多少； （２）假设小艇的最高航行速度只能达到３０海 里／ｄ，时，试设计航行方案（即确定航行的方向和航 行速度的大小），使得小艇能以最短的时间与轮船相 遇，并说明理由． 评析本题从三角函数出发，考查了学生运用知 识解决实际问题的基本能力，注重学生“数学阅读” 技能的考查，考查学生如何处理抽象与直观的思维 过程．本题的亮点为要求考生能够将“相遇”“距离最 言，再利用图形的直观观察、分析，进而抽象出体 现“速度”“时间”和“距离”之间数量关系，实现了直观 与抽象的完美结合，较好地渗透适度形式化考查． １．３在数学思想方法考查中渗透适度形式化 例５（２００８年高考北京 卷・理）如图，动点Ｐ在正方体 ＡＢＣＤ—Ａ１ＢｌＣ，Ｄｌ的对角线ＢＤＩ 上．过点尸作垂直于平面ＢＢｔＤｔＤ 的直线，与正方体表面相交于 ，Ⅳ．设ＢＰ＝Ｘ， ＝Ｙ，则 函数Ｙ＝ｆ（ｘ）的图象大致是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 评析本题将立体几何和函数两大支撑学科体 系的主干知识巧妙地交汇到一起，题干简练，内涵 丰富．有效地考查了函数的概念、图象、性质的深 层次理解；空间线面关系和空问想象能力；很好地 考查数形结合、特殊与一般等思想．并在考查这些 数学思想方法的过程中渗透适度形式化考查目 标．解答此题无需形式化的技能技巧和繁杂的计算， 容易证明，当 、Ⅳ分别是ＡＡ、ＣＣ的中点时，满 足条件，此时ＭＮ最大，且最大值点是唯一的，由此 可排除Ａ、Ｃ；设Ｅ是ＣＣ的中点，由图形的对称性 知，Ⅳ点在平面ＢＣＣＢ内的轨迹为ＢＥ，故ＺＰＢＮ为 定值，所以图象是直线型的，故选Ｂ． ２．基于适度形式化的数学“双基”考查反思 适度形式化、与时俱进的“双基”都是 课标＞＞的 基本理念的核心内容，也都是高考考查的重要目 标．将适度形式化的考查与数学双基的考查有机的 结合起来，有重要的现实意义．在考查数学双基的 基础上，反映出学生对适度形式化的掌握程度，真 正关注数学的本质，规避命题的“模式化”．使学生既 能熟练、准确地用形式化语言来表述数学内容并解 决数学问题，又能做到对数学过程与本质的理解．在 “冰冷的美丽”与“火热的思考”之间寻找到平衡点，做 到既有形式的表达更有火热的思考．
