专题七 二次函数与系数的关系
一、 知识解读
1、 二次函数与系数的关系 二次函数
的图像特征与系数的符号之间的关系如下：
系数与判别式的符号 看点 看点看点 开口向下 对称轴为轴 对称轴在轴左侧（同左） 对称轴在轴右侧（异右） 图像过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 与x轴有唯一的交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 图像的特征 开口向上 及判别式
2、 函数图像的公共点问题
利用数形结合思想解决函数图像运动过程中公共点问题的一般步骤： （1） 在合适的位置画出函数的图像
（2） 让函数的图像按照要求运动，确定临界位置 （3） 代入点的坐标，利用方程思想求字幕系数的值。 （4） 确定满足条件的字母系数的取值范围 【培优学案】 【典型范例】 例1：已知二次函数轴交点的横坐标分别为①
②
，且③
④的图像经过
，与x。下列结论 ，其中正
确的结论是 。
【提示】
的大小看横坐标是2的点的函数值；
的
大小看对称轴的位置；的大小看顶点的纵坐标；的大
小要结合等式和不等式进行消元确定。 答案：①②④ 【跟踪训练】
二次函数称轴为直线x=2，下列结论：
的部分图象如图,图象过点(−1,0)，对①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当x>−1时，y的值随x值的增大而增大。其中正确的结论有___(填序号)
解答：
例2：对于题目“一段抛物线L：：与直线有唯一公共点.若c为整数，确定所有的值.”甲的结果是 c=1，乙的结果c=3或4，则A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 【提示】本题需要正确画出草图才能解决问题，对于
，我们先画出c=0时的图像，然后画出直
线
，把二次函数的图像上下平移，来分析它们的交点的情况，
=0，求得c=1；当抛物线与直线不相切，
当抛物线与直线相切时，由但在c=1,3,4,5 答案：D
上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3,4,5.故
【跟踪训练】在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(−1,2),(2,1),若抛物线交点,则a的取值范围是( ) A. a⩽−1或1/4⩽a<1/3 B. 1/4⩽a<1/3 C. a⩽1/4或a>1/3 D. a⩽−1或a⩾1/4
与线段MN有两个不同的
例3：已知二次函数 (h为常数),当自变量x的值满足2⩽x⩽5时,与其对应的函数值y的最大值为−1,则h的值为( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6 【跟踪训练】已知二次函数 (其中x是自变量)，当x⩾2时，y随x的增大而增大，且−2⩽x⩽1时，y的最大值为9，则a的值为（ ） 答案：A 例4：已知函数A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),其中y1、y2、y3的大小关系是( ) A. y13、解答：
4、是关于x的二次函数,当x的取值范围是1⩽x⩽3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( ) 解答： 5、如图，抛物线 (a,b,c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m,n).给出下列结论： ①2a+c<0； ②若(−3/2,y1)，(−1/2,y2)，(1/2,y3)在抛物线上，则y1>y2>y3； ③关于x的方程有实数解，则k>c−n； ④当n=−1/a时，△ABP为等腰直角三角形． 其中正确结论是 ______ (填写序号)． 6、二次函数的图象与一次函数y=x(1⩽x⩽2)的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是( ) 解答： 7、已知抛物线(1)确定a、b、c的符号； (2)求a+b+c的取值范围。 的一段图像如下： 解析： 8、在平面直角坐标系xOy中,抛物线点为D. 线段AB的两个端点分别为A(−3,m),B(1,m). (1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)； (2)若该抛物线经过点B(1,m)，求m的值； (3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围。 的顶解析： 9、在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标是（6，4），点A关于直线的对称点为B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ） 解答： 10、在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=长度，得到点C. (1)求点C的坐标； (2)求抛物线的对称轴； (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围。 解答： 经过点A，将点B向右平移5个单位
