梯形辅助线做法

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

作法 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 BCE图形 ADBEC DAE 延长两腰，转化为三角形。 BADC 作高，转化为直角三角形和矩形。 BADEFC ADEBCF中位线与腰中点连线。

（一）、平移

1、平移一腰：

例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝. 所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

AEBABDCDC解：过点B作BM//AD交CD于点M，在△BCM中，BM=AD=4， CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5， 所以BC的取值范围是： 5－4例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点 所以EF121212GH12(BCBGCH)

(BCAEDE)(BCAD)1212[BC(AEDE)](31)1

3、平移对角线：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点． ∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形 ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 ∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 ∴∠BDE=90°． 作DH⊥BC于

H，则DHBDEDBE125A D

B H C E

S梯形ABCD(ADBC)DH251256．

2例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5C⊥BD。

2，求证：A

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E， 易得四边形BCED是平行四边形， 则DE=BC，CE=BD=52，

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。 在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52， 所以在△ACE中，

AC2CE2(52)(52)100AE222，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E， 则四边形ACED是平行四边形， 即SABD所以

SACDSDCE。

S梯形ABCDSDBE

DE2由勾股定理得EH1512BD22DH2AC2DH2

9（cm） DH122BH22012122216（cm）

2所以

SDBEBEDH(916)12150(cm)，即梯形ABCD的面积是

150cm2。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。 在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。 所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC－ED=5－2=3

例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.

ABDC∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB＝∠CBA.

E∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°， ∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB. 又AD不平行于BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形.

ABDC（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE； 由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。 所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD， 所以Rt△BAD≌Rt△BED， 得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DG⊥AB于点G，

则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。 因为AB=2DC，所以AG=GB。 从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。 2、作两条高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，

求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm ∵AB=DC

BEFC12(BCEF)1cm

∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm ∴AB=2BE=2cm，AE3BE3cm ∴

S梯形ABCD(ADBC)AE243cm2A

D

B

E

F

C

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。 证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中， 因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。 在Rt△BDF和Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC

（五）、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE 所以OE12AD12 ②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

（1）EF//AD；（2）EF12(BCAD)。

证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG 则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线 从而

EF//BG，且EF12BG

因为AD//BG，BG所以EF//AD，EFBCCGBCAD12(BCAD)

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分别延长AE与BC ，并交于F点 ∵∠BAD=900且AD∥BC ∴∠FBA=180－∠BAD=90 又∵AD∥BC

∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等）

0

0

DE=EC （E点是CD的中点） ∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE

在△ABF中∠FBA=90 且AE=FE

∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE

例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

解：AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F． ∵DE=CE，∠AED=∠CEF， ∠DAE=∠F ∴△ADE≌△FCE ∴AE=EF

∵AB⊥BC， ∴BE=AE．

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．

解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点． ∵DE=EC，AD∥BC ∴△DEM≌△CNE

四边形ABNM是平行四边形 ∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．

F

E B

N

C

A

D

M B

E A

D

0

C

F