单摆法则重力加速度的实验研究

班级：机电14班 学号： 姓名：余柏榆 指导教师：彭庶修 06121416

摘要：研究重力加速度的分布情况在地球物理学中具有重要的意义，所以测量重力加速度有多种方法。而最简单最古老的方法是使用单摆法，只需量出摆长L，并采用渐近法得出周期，就可以算出g。该实验装置简单，方法容易掌握，通过该实验熟悉掌握电子秒表、钢卷尺、游标卡尺的使用方法。单摆法是一次有关误差分析，数据处理和作图的一次基本能力训练，是考察学生的细心、毅力与及动手能力的过程。 关键词：单摆；g值；实验研究

重力加速度是物理学中的一个常见参数，地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度不同而稍有差异。位于赤道附近重力加速度g的数值最小，越靠近两极g的数值越大。单摆是有一摆线L连着重量为mg的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书都要讨论的一个力学模型。经过研究单摆振动周期和摆长的关系，从中学习一些实验方法和实验思想，培养 个人的误差分析、数据处理等思维能力和创新意识。 一、方案设计

（一）物理模型与数学公式推导

测量重力加速度的物理模型：单摆（如图1所示）

L数学模型为： T2g 小球处平衡位置时，设摆线与竖直方向成θ角，重物受到重

力和线的拉力Ft（忽略空气摩擦力）的作用，小球只能沿圆 图1

弧运动（如右图），重力在运动方向即圆弧切线方向上的分力为Ftmgsin， 当θ很小（5°以下）时，sin，考虑到力的方向，有 Ftmgsinmg

负号表示力的方向始终指向平衡位置O处，大小和角位移成正比。该力在数学形 式上和弹性力类似，称为准弹性力。

设摆线长为l，小球的切向加速度和角加速度关系为

d2all2 dt

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d2Ftal2g mdtd2g dt2l

令gω2，则 ld22ω0 dt2

上式的解为（与振动方程同理） 0cos(t)

单摆在摆角θ很小时，其运动过程中的动力学特征和运动学特征均满足简谐运动的要求，所以说单摆的这种运动也是简谐运动。震动周期为

2LT2g

（二）实验仪器

单摆装置，电子秒表（0.01s），游标卡尺(0.02mm)，钢卷尺(1mm)。 （三）误差分析与仪器的选择及测量方法设计

1、对系统误差的估算：单摆是由一根无质量的细线系一个质点构成的，是一个理想模型。任何实际的单摆都不是理想的，都是一个复摆。因此，利用单摆法求g必须对公式修正。设摆线长度为L，质量为m0；摆球半径为r，质量为m，密度为ρ ；空气密度为ρ0 ；据此，应将公式修正为

4 2L 202r2m0g(2)(1-)

T85L26m式中2是对公式取一级近似时的修正项，0是考虑空气对摆球的浮力和粘滞阻力引起的8修正，是理论推导和半经验测定得到的；最后两项是把实际装置视为刚体绕定轴的运动而从理论上推得的（详细推导从略）。若令L≈100cm，m0≈0.2g，r≈1.5cm，m≈100g，ρ≈7.8g/cm3，ρ0≈1.3×10-3g/cm3，θ=3°，可估算得：

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28

3.4104

01.6104  2r2m04-2.410 25L6m本实验要求准确度0.1%=10-3。故上述各项系统误差可暂不考虑，待测出结果再讨论。

2、对量具的选择（测长度与时间）：

为了保证g有4位有效数字，要求测量L和T至少应有4位有效数字。因L

T 2  L≈100cm，故选用毫米分隔米尺即可。由 g ,估算T≈2秒，若用机械

秒表计时，可读至0.1秒，一次至少应测50T；若用电子秒表，其最小显示为0.01秒，一次测30T即可。 3、测量方法的设计：

对摆长L，不同的单摆装置有不同的测量方法。本实验中摆长应是悬挂点与球心之间距离，即 L=l+d/2。

测量摆动周期的具体做法是：在单摆经过平衡位置瞬间开始按秒表计时，经过N个整周期的时间单摆又同方向地经过平衡位置时，再按秒表钮终止计时。在测50~100个T0时，因为需要一个周期、一个周期地累计振动次数，就容易使人疲劳，而且常会数错。用另一种测周期的方法——“渐进法”。(1)先测30个周期（这一步骤仍需一个一个周期地数），由此得到的周期值,当然不够精确，将其作为第一次近似值，用T0表示，设30T0=58.45s，则T0=1.948S.(2)再预期大约100个整周期的时间，约需3min以上。让单摆重新平稳地摆动，设某次当它由左向右经过平衡位置时按下秒表按钮，秒表开始计时，经过3min后再观察单摆。当某次它又由左向右经过平衡位置时，再按动秒表按钮，秒表停止走动。记下初、终时刻，即可得到n个全振动的时间tn。设tn=202.85s 则 n=tn/T0=202.85/1.948=104.1

可以认为次数n应是整数，取104，于是算得T0为

T0=tn /104=1.950s

显然，T0值比T0值精确，而且避免了计读摆动次数过多带来的眼睛疲劳和容

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易失误的缺点，只须初、终两次按动表钮时力求准确即可。

实验时先不忙着揿秒表计数，而应该熟悉它经过平衡位置的情况，眼看而口念：“0”、“0” ……，使自己合着单摆振动的节凑而读音，等到有把握了然后在念到某个“0”时，再按下表钮，开始计算摆动次数，在终止计数时，也依上法按表钮，如此可减小测量误差。在正式测量前，应先测单摆振动5个整周期的时间，共进行5~10次，从中判断出自己测量结果的重复程度如何，以决定是否能立即正式进行测量。 4、注意事项：

(1).摆线尽量选择细一点，伸缩性小的。并且尽可能长一点。摆球要选择质量大而体积小的。

(2).单摆在摆动过程中，摆角应小于50，而且小球不能撞到任何东西，一但出现，本次实验测到的时间要重新测量。

(3).使用电子秒表前，先把摆线上紧，但不要过紧，以免损坏摆线。 (4).按表时不要用力过猛，以防损坏机件。

(5).为了减小测量周期的误差，记时应在摆球通过最低位置时记时。为了避免视差，在摆过平面反射镜时，摆线、镜面刻度线和摆线在镜中的像三者重合时记时。

二、实验验证设计方案

1、固定摆长下测量单摆振动周期（渐近法），然后计算求重力加速度g。

表1. 数据记录与处理

t30

1 55.84 2 55.82 3 55.85 4 55.86 5 55.84 6 55.82 T0 1.861 表2. 数据记录与处理 表2

l/mm 853.0 d /mm 21.92 L/mm 863.96 tn/s 186.79 n（tn/T0） T(tn/n) 100 1.868 g 9.776 Er 0.12% 综合表1与表2 的数据作处理得：

∴ g=9.776(m/s2)

若与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2相比较，则相对误差0.12% 。

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2、研究单摆周期T2与摆长L的关系，进而用线性拟合求出重力加速度g。

表3. 数据记录与处理 1 2 3 4 5 6 l/mm 533.0 682.0 771.0 853.0 930.0 1030.0 d/mm 21.92 21.92 21.92 21.92 21.92 L/m 544.0 693.0 782.0 8.0 941.0 1041.0 44.22 50.06 53.15 55.85 58.47 t30 (s) 44.21 50.01 53.14 55.86 58.50 tn (s) 44.23 50.03 53.16 55.84 58.50 Ti (s) 1.484 1.670 1.774 1.868 1.950 2.050 184.03 187 193.35 186.79 196.92 204.98 21.92 61.34 61.35 61.33

表4. 数据处理：由表3整理得

Li(m) Ti (s) 1 0.693 1.670 2 0.782 1.774 3 0.8 1.868 4 0.941 1.950 5 0.544 1.484 6 1.041 2.050 2 对表4 作线性拟合，得出斜率，相关系数，求出g值为9.780m/s,所作直线见下图2。与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2 相比较，相对误差为0.07% 。

8.000 6.000 4.000 T2/S2y = 4.0366x -0.0014R² = 0.99992.000 0.000 0.000 L/m0.500 1.000 1.500 图2不同摆长下T2-L曲线2.000

三、结语

通过本实验测量、数据分析、计算出珠海市本地的g值为9.780m/s2，有四位有效数字，与珠海市当地重力加速度理论值 g=9.787m/s2 相比较，相对误差为0.07%，小于0.5%，所以该实验方案是一个可行的实验方法。

参考文献：

[1] 钟江帆 大学物理[M] 长春 吉林大学出版社 2010、8

[2] 天津工业大学物理实验室编 大学物理实验[M] 天津科学技术出版社 2005、1 [3] 陈守川 大学物理实验教程 [M] 杭州 淅江大学出版社 1995、1

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实验体会

物理实验是一个训练学生动手能力和考察学生耐心能力的过程，这次设计性实验就是一个很好的例子。我们通过指导老师的指点和提示，在网上和书籍查找各种误差分析的方法，自己收集材料，自己亲手测量各种数据，设计了一个属于自己的实验。过程虽然繁琐重复，时刻考验着我的忍耐度，不过我坚持了下来，现在拿着手中的这份实验论文，由心底开始感到无比的自豪！

对于理工科大学生，在大学里我们应在生活学习中参加科学研究实践，学会进行科学研究的方法，为今后参加科学研究工作打下基础尤为重要。就我个人而言，通过对大学物理实验的学习，在老师的循循善诱，谆谆教导下，通过循序渐进的系统学习和重复操作训练，使我对物理实验的知识和思想有了冰山之一角的认识，从中受益匪浅。

物理学是研究物质的基本结构及物质运动的普遍规律的科学。它是一门严格的、精密的基础课。使我们通过努力能够顺利地解决物理实验呈现的问题,考验了我们的实际动手能力和分析解决问题的综合能力,加深了我们对有关物理知识的理解，增强了我的动手能力和思维能力，培养了思考问题的能力和理论联系实际的科学作风。研究工作要一丝不苟，实事求是，科学实验常常要做大量的重复工作。特别是通过这次设计性实验，这一过程中我学到了很多东西，也知道了对于物理实验的要求是多么的严格，无论是什么样的测量或是其他别的，都需要细心与毅力去面对。 在这个实验课过程中，老师对我们都严格要求，每个实验都亲自给我们讲解并要求我们注意实验过程的一些细节，我觉得这样更好的培养了我的细心和认真程度，这对于我以后整个人生的发展都有很大帮助。在今后，我将不断培养自己细心和坚持不懈的好习惯。还有在实验教材和老师的提示下，地对实验进行操作，正确观察实验现象，进行实验数据测量，每次都会列出实验表格，记录和处理数据，绘制数据曲线，运用物理学理论对实验进行分析判断，并撰写实验报告，明显感觉到自己的分析判断能力和表达能力得到充分的锻炼。 通过这次设计性实验，我深知自己的实践能力仍十分欠缺，需要不断的提高。而物理实验正是一个很好的机会能够锻炼我的动手能力和思维创新能力，在学习及实验的同时我也学到了很多其他课程上没有学到的知识。这样的学习方法使得我们可以更深入的理解实验的原理，也同时拓宽了我们的思维创新能力。随着实验的水平的提高，对我们的要求也会越来越高，这更能够促使我们进步。希望以后我们会有比较开放的实验，这样可以充分调动我们的动手能力，提高我们的实践水平。我想，大学的物理实验并不重在对实验结果测量的准确性上，而是在与在实验过程中的思考问题的能力，以及将其付诸实验的动手能力，所以我期待着新的实验，期待着自己不断的进步。

在实验中一定要培养自己的创新意识和毅力。特别是在自主设计性实验的阶段，更要充分培养自己的创新意识和毅力，为以后的科研工作做好铺垫。 最后十分感谢给我帮助的老师和同组实验同学。

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