浅析苏科版初中数学教材中面积法的渗透应用
江苏省常州市新北区教研室 万荣庆
地址：江苏省常州市新北区衡山路8号 337 邮编：213022 现行各版本的初中数学教材，图形全等和相似被看成是求解各个相关问题的一个重要工具，也是用来培养学生逻辑思维能力和识图能力的重要途径。全等图形有两个重要特征，即：“面积相等”和“形状相同”。如果我们削弱其中的“面积相等”特征，保留“形状相同”特征，则得到更为宽泛的概念——相似形，用其去解决相关问题的方法称之为相似法，这种方法在各版本初中数学教材中均作了较系统的介绍，它对培养学生的数学能力起到了很大作用。
但如果我们削弱“形状相同”特征而保留“面积相等”特征，则我们得到了另一个宽泛的概念——面积相等形（等积形），用其去解决相关问题的方法称之为面积法，这是从图形的另一个本质属性——面积来研究图形特征的一种方法，其作用与地位在初中数学学习中同样显得重要。中国科学院著名数学家张景中院士早就对面积的属性进行了系列研究，开辟了几何研究的新路径。
在初中数学的学习中，以往版本的教材在内容安排上往往较注重图形“形状”属性及相关应用，对图形的“面积”属性仅仅限于一般计算，没有进一步研究其应用价值，使得学生在解决问题时，常常不能用面积这一重要的本质属性去打开解题思路。事实上，用面积的属性去解决相关问题，处处体现在数学内容、数学学习的全过程，尤其
1
是在后续的高中、大学学习阶段，面积法的思想体现得更广泛。新版苏科版初中数学教材一方面注重“图形”属性的系统学习，另一方面在内容编排中较大程度地关注了图形面积属性的应用，在“数与代数式”、“空间与图形”、“统计与概率”三大学习领域中均渗透了用面积法来解决相关问题的这一重要数学思想方法，突出了面积法作为一种数形结合的数学思想方法在数学学习中的重要作用。
一、在“数与代数式”学习领域中渗透面积法的应用
1. 在乘法公式验证中的应用
苏科版八（上）“从面积到乘法公式”一章中，教材设置了大量的面积图形情境，意在让同学们感知数与图形的有机结合，体会面积在代数中的应用价值。
例一，在计算单项式乘以多项式a(b+c+d)时，教材一方面采用乘法分配律进行得出ab+ac+ad，另一方面又从图形面积的角度来验证该结果的形成：
如图1：若把图1看成一个大长方形，它的长为b+c+d，宽为a，其面积为a(b+c+d)；
a
图1 b
c
d
若把图1看成由3个小长方形组成，那么它的面积为ab+ac+ad；由此可得：a(b+c+d)=ab+ac+ad。从而，单项式乘以多项式从面积图形中很直观地得出结果。
例二，对于多项式乘以多项式（a+b）（c+d），一方面教材用逐项相乘得到(ac+ad+bc+bd)。另一方面同样从图形面积来让
c
2 a b
d
学生体会其结果的形成。
如图2的矩形中可用面积很直观地验证上述结果（a+b）（c+d）=ac+ad+bc +bd。
图2
教材中编排了大量通过图形面积让同学们体会代数式的情境，像（a+b）2（a+b+c）2„„如何用面积验证展开结果。同时教材又安排了让学生利用面积动手拼关于代数式a2+3ab+2b2，a2+5ab+4b2„„的几何图。
2. 在方程求解变换中的应用
教材九（上）在“求一元二次方程的解”的章节中，列出了如下问题：
例三，在用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0时，配方的过程（方程的同解变形）可以用图形面积直观地表达：
x x X2 1 x x+1 25 x 1 x+2 x 1 1 x+1 x(x+2)=24 → x2+2x=24 → x2+2x+12=24+12 → (x+1)2=25
图3
教材通过上述对比，能让同学们从图形面积的角度感悟方程的求解过程，体会数、形结合的本质。因配方法是解一元二次方程的通法，所以该图形面积变换同样具有通适性。
3. 在函数图像中的应用
M M’ O P P’ Q Q’ 教材八（下）反比例函数一节中，教材从内容到习题的编排均突图4 出了反比例函数图形中面积的重要特征及应用。
3
例四，如图4，直角坐标系中，P（x、y）为第一象限任一点，过P作PQ⊥x轴，PM⊥y轴，得矩形PQOH，若保持矩形PQOH面积为常数k，则这样的P点所构成的图形是怎样的？
事实上，由于x·y=k，∴y=，它是反比例函数，∴P的图像为双曲线y=的一支。
这是矩形的一个等积变形的典型应用，教材编选此题意在突出在矩形形状变化而面积保持不变过程中的重要特征，即我们熟知的反比例函数y=中k的几何特征。
同样在八（上）一次函数章节中配备了如下练习：
例五，在图5中，（1）画出直线l：y=x-1的图像
B 图5 A D M kxkxkx·P N’ （2）现有一点P（3、1）求P到X轴、Y轴距离 （3）你能求出P到直线l的距离吗？
对于（1）、（2）两题，是研究直角坐标系中点与直线的一般特征，而求点到直线的距离虽是高中阶段学习的重要内容，一般初中阶段不作要求，但我们完全可从面积的角度计算出点到直线的距离。编者的意图也就是让同学们通过图形的相关特征出发，拓展解题思路，进一步体会解决问题的多种策略。
我们容易用相似法解决（略），但我们也可从面积来解决。图中，易知：NA=2，MN=2，∴AM=22，S△ANM=2；
又S△ANP=×2×1=1，∴S△ANM=1；
4
12∴S△ANM=AM·PD=×22·1 ∴PD=
12122 2二、在“空间与图形”学习领域中渗透面积法的应用
苏科版教材在“空间与图形”学习领域中，一方面遵循传统教材编排中突出对形的研究，突出相似法的渗透，另一方面也关注面积法的渗透，让同学们进一步体会解决问题可从图形的不同本质属性去思考。
1. 在重要定理证明中的应用
例六，勾股定理是大家熟知的几何定理，其结果的验证方法很多，如，通过测量计算验证的。苏科版教材中通过安排大量的面积变换来验证的多种方法，突出了面积法的作用。如教材在练习和习题中安排了下列的验证方法：
b a a b a c c b a b a a c b a b c a
a b b c a b c a
图6.1 图6.2 图6.3
以图6.1为例验证如下：将四个全等的直角三角形拼成图6.1，已知内外两个均为正方形，则（a+b）2 = 4×a b + c 2，即a 2+ b 2= c 2。
例七，我们知道三角形的中位线平行于第三边且等于第三边一半，其证明方法很多，教材上采用了延长证全等的方式（图7.1），但在补充习题中安排了“你还能用其他方法证明三角形中位线定理吗？”，其中提供的方法中有一种即为面积法。
12A P B M Q N C A P B Q C M 图7.1
图7.2
5
如图7.2，PQ为△ABC两边中点，连PC、BQ，并过P、Q作PM⊥BC，QN⊥BC，利用面积易证PM=QN，则PQMN为平行四边形，即PQ∥BC。
同样，利用面积易证S△PBQ=S△ABQ=S△ABC=S△BQC， ∴PQ=BC。
这种通过面积的变换方式，可以培养学生对等积形图形的识别，提高识图及图形变换能力。
2. 在一般定理证明中的应用
面积法的应用不仅体现在一些重要定理证明中，在一般几何定理中应用更广泛。苏科版教材在配套的练习、补充练习中均提供了相关问题让同学们选择不同解决方式。
例八，在研究等腰三角质后，教材补充练习中安排了如下练习：
如图8.1，等腰△ABC
E B
P
D AA 12121412形的判定与性
A 图8.2
H E B C
MA P D C
图8.1
中，AB=AC，P为BC上任一点，PE⊥AB，PD⊥AC，试说明PE+PD为恒值。教材提供了两种方法：一是图8.1中，过C作CH⊥AB，过P作PM⊥CH，易证PE=MH，PD=CM，∴PE+PD=CH（AB边上高为定值）。
6
二是提供了从面积的角度说明结论的方法：如图8.2，连接AP，∵S△ABP+ S△APC= S△ABC，
∴AB·PE+AC·PD=AB·CH， ∴PE+PD=CH。
这种方法根据面积特征简洁明了地解决了相关问题。
例九，同样在九（上）研究等腰三角形与角平分线性质后，教材的补充练习又安排了下列问题：
BA
AA DA
CA
图9.1
BA
MA AA N图9.2 A CA
AB AC121212在△ABC中，AD为∠BAC的平分线交BC于D，试说明 =
DA
BD。答案除提供图9.1过C作AD的平行线与BA延长线交E，然DC后通过图形的形状特征——相似来得到结论外，还提供了一种用面积特征来处理的办法。具体过程如图9.2中，
过D作DM⊥AB，DN⊥AC,很显然，DM=PN， ∴
S△ABDS△ADC1AB·DMSABBDABBD2== 又∵△ABD= ∴=
1ACACDCS△ADCDCAC·DN23. 在图形变换中的应用
对图形作性质研究或有关计算时，常常用面积的分割作等积变形得出一些重要结论，这种变换在教材各章节中随处可见。如：求平行四边形面积时，对其作如下等积变换可得S平行四边形=ah
7
12
aA
hA
aA
hA
求梯形中位线长时，除课本介绍一般性方法外，还可以从等积变形成三角形来解决：
下面再列出教材中的几个例子加以说明。
例十，教材八（上）“勾股定理”章节的习题中安排了如下问题，突出利用图形分割来进行问题研究：
如图10.1，求△ABC面积，处理方式为将图形拓展为矩形
MANA A A BCPA A A 图10.1
AA CA 图10.2 S△ABC=S矩形MNCP－S△ABM－S△BPC－S△ACN 由它变形成教材中的一道补充习题：图10.2在直角坐标系中，A（3，5）、B（1，2）、C（5，1），求S△ABC
BA 同时由它拓展成图10.3课外的一道思考题：，求边长为2的正八边形ABCDEFGH的面积：S正八边形=S正方形－4SR t△
例十一，同样在该章中还安排了如下问题让同学们研究。 图10.3
①
A 图11.1 A
PA
AA ③A
④A BA
图11.2 A
8
②A
要把图11.1中边长为1的五个小正方形组成的地板剪开，只允许剪两次，使剪下若干块能够成一个大正方形。
这里首先要考虑的是所构成的大正方形的面积应与原五个小正方形面积相等，这实际上是一种等积变换，在这种等积变换过程中总面积为5，则大正方形边长为5。
图中线段为5的有很多，但其中PA、PB两条很特殊，它们相互垂直，很显然它们可作为大正方形的两边，因此这就是剪切痕。剪切后还要考虑如何拼，我们只要将①绕A逆时针转90°至③处，将②绕B顺时针绕90°至④处即可，这时原图11.1等积变形成图11.2中大正方形了。
本题学生初学时较难下手，往往不能抓住在图形变换中面积不变的本质。
三、在“统计与概率”学习领域中渗透面积法的应用
在统计内容中，苏科版教材与其他版本教材一样，设计了相关利用面积图形来描述一些统计量，如用直方图面积描述频率，用扇形面积统计图来表示相关数据。同样在概率内容部分，教材均通过设置有关转盘上的面积区域来刻画相关事件发生的可能性大小，相关事件发生的概率。
苏科版教材渗透了大量的“面积法”，在具体应用时采用了以下一般性策略。
9
1. 换位策略：就是将图形从不同角度出发，利用等积去解决相关问题。如对于△ABC既可把BC看作底，同样可把AC、AB看作底求面积，利用等积来研究问题。上述例八、例九，就是利用这种策略解决问题的。
2. 化简策略：就是将复杂图形转化为简单图形去解决问题。如将四边形分割成三角形，将正八边形分割成正方形与三角形。
3. 化殊策略：就是将一般图形转化成特殊图形，再对特殊图形面积法去解决相关问题。如求平行四边形面积可转换成求矩形面积；如求图中曲形面积可化为求直形面积。
4. 化整策略：就是把几块图形重组成一个新的整体图形后，然后通过面积来解决相关问题，图11问题就是采用化整策略解决了。
这里仅仅提出一般性的策略，其本质均为数学中转化思想方法的体现。
通过对苏科版初中数学教材中面积法的应用分析，初步感悟到面积法在初中数学应用中的广泛性和重要性。当然这里突出分析面积法的应用，并不是要削弱相似法的作用，只是想说明初中数学学习中面积法与相似法一样，也是从图形本质属性出发的一种解决问题的重要策略。
10
