高考级 1、关于函数
f (x )
v1.0 可编辑可修改
4sin( 2x
)( x R ) 有下列命题:①由 f (x 1 ) f (x 2 ) 3 4 cos(2x
0 可得 x 1 x 2 是 π的整数倍；②
y f (x ) 的表达式可改写为 y
象关于直线
) ；③ y f (x ) 的图象关于点（－ 6
__
_
,0) 对称；④ y = f ( x ) 的图 6
x
对称。其中正确命题的序号是
6
答案：②③ 2. 已知函数 g (x)
1 cos πx 2
0
π
的图象过点
1
,2，若有4
个不同的正数 xi
2 2 x2
满足 g( xi )
M (0 M
1) ，且 xi
4(i 1, 2, 3, 4) ，则 x1
x3 x4 等于
答案 10 3 函数
y
1 的图像与函数 y 2sin x( 2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于
1 x
(B) 4
(C) 6
（A）2 (D)8
解析：图像法求解。
y
1 的对称中心是（ 1,0 ）也是 y 2sin x( 2 x 4) 的中心， 2 x 4
x 1
4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为
他们的图像在
x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有
x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 , x8 ，则
x1 x8 x2 x7 x3 x6 x4 x5 f (x)
2 ，所以选 D 3 sin
5 . 如果圆 x2+y2=n2 至少覆盖函数
x n
的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是
( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
提示：因为
f ( x)
3sin
x
n
为奇函数， 图象关于原点对称， 所以圆 x2 y 2 n2 只要覆盖 f ( x) 的一个最值点即可，
令
x n 2
，解得 f ( x) 距原点最近的一个最大点
P( , 3) ，由题意 n 2
2
给出下列四个命题：
n
( n ) 2
2
( 3) 2 得正整数 n 的最小值为 2 选 B
sin x， sin x≤cos x
6． ( 模拟 ) 对于函数 f ( x) ＝
cosx， sin x>cosx
①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数；②当且仅当
x＝π＋ kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－
1；
5π
③该函数的图象关于 ＝ ＋ 2 π( ∈Z)对称；④当且仅当
x 4 k k π 2
( ) ≤ 2 π< < ＋ 2 . π( ∈Z)时， 0<
k x 2 k k f x 2
)
其中正确命题的序号是 ________．( 请将所有正确命题的序号都填上 答案：③④
8 已知 f ( x)=s in (
x+ )(
>0, 0≤ ≤π ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点
M
3 ,0 对称，且在区间 0, 上是单 4 2
调函数，求 和 的值。
【解】 由 ( ) 是偶函数，所以
(- )= ( ) ，所以 s ( + )=s (- + ) ，所以 s s =0，对任意 ∈R成立。又 0
f x f x f x in
11
in x co inx x
v1.0 可编辑可修改
≤
≤π，解得
=
，因为
( M ) 图象关于
3
,0
f ( 3
x) f (
3
x) =0
x=0
f ( 3 ) =0
2
f x
所以 sin
3
4
0.所以 2
3
4
对称，所以
k
( k∈Z) ，即
= (2 k+1) ( k∈ Z) ，又 >0，取 k=0 时，此时
x
2
4
4
。取
，得
4 ，
≥
4
2
3
x
f ( x )= sin (2 x +
) 在[0 ， ] 上是减函数；取 k =1 时， =2，此时 f ( )= sin (2 + )在[0， ] 上是减函数；取 k =2 时， 10
，
2
(
+
2
x
此时 ( )= f x
)在[0 ， ] 上不是单调函数，综上，
=
2
2
2
3
或2。
sin
2
2
3
7． 如图，已知在等边△ ABC中， AB＝3，O为中心，过 O 的直线交 AB于 M，AC于 N，设∠ AOM＝ 为何值时，
(60 °≤ ≤120°) ，当
分别
1
1 ON
取得最大值和最小值．
OM
OA
OM
3
2 3 3
解：由题意可知： ∠ OAM＝ 30°，则∠ AMO＝ 180°－（θ＋ 30°）由正弦定理得： sin AMO ＝ sin 30 ，又 OA= 2
3
，
∴
OM 2sin(
3
30 )
3
3
同 理 ：
ON
2sin(
30 ) ， ∴
1 1
2sin(
30 )
2sin(30 )
2
(
3
sin
1
cos
3
2
sincos )
1 2
2 sin ，∵ 60°≤θ≤ 120°，
OM ON 3
3 2 2
∴ 3 ≤ 2sin θ≤ 2，故当θ＝ 60°或 120°时，
1
1 ON
的最小值为 3 ；当θ＝ 90°时，
OM
1
OM ON
1
的最大值为 2．
联赛
1. 在平面直角坐标系 xoy 中，函数
f ( x) a sin ax cos ax (a 0) 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数
_____________ 。
g (x)
解：
a2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是
a2 1sin( ax
f ( x)
), 其中
arctan
1
，它的最小正周期为
a
2 ，振幅为 a2 1 。由 f ( x) 的图像与
a
g( x) 的图像围成的封闭图形的对称性，
可将这图形割补成长为
2 、宽为 a
a2
1 的长方形， 故它的面积是 2
a2 1 。
a
2. 已知 x,2y ∈
[
, ] ， a∈ R,且
4 y3 4 4
x3 sin x
2a 0...........(1)
求 cos(x+2y) 的值。
sin y cos y a 0.......(2)
3
分析：（ 1），（2）可得变形： x 3 +sinx=2a,(2y) 由（ 2）得， f(2y)=-2a;
+sin2y=-2a, 由这式子使我们联想到函数 f(v)=v
f(x)=-f(2y)=f(-2y),
3
+sinv ，由（1）得，f(x)=2a;
由 f(v) 在
[
, ] 上，为单调的奇函数。故 2 2
又 x,2y ∈ [
, ] , ∴ x=-2y, 4 4
2
∴x+2y=o, 从而 cos(x+2y)=0 。
3．函数
f ( x) | sin x |
与直线
y
kx (k
0) 有且仅有三个交点， 交点的横坐标的最大值为
，求证： cos sin sin 3
1 4
．
[ 证 ]
f ( x) 的图象与直线 y kx (k
0) 的三个交点如答 13 图所示，且在 ( ,
3 2
) 内相切，其切点为
A( , sin ) ，
22
v1.0 可编辑可修改
3 ，由于 ( , )
2
cos cos 2sin 2 cos
．
f ( x)
cosx ， x ( ,
3 2
) ， 所 以cos
sin， 即
2
tan ． 因 此
1 4sin cos
cos2
sin2 1 tan2 4 tan
1 4
sin
sin3
4sin cos
答 13
33
