非参数统计十道题

非参数统计----十道题

09统计学 王若曦

114

一、 Wilcoxon 符号秩检验

下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒类相当于纯酒精数，数据已经按升序排列： 4.12 5.81 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12. 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精8升，试用上述数据检验这种看法。

数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

手算：

建立假设组：

H0:M=8H1:M>8 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 纯酒精数x 4.12 5.81 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12. 13.54 14.45 D=x-8 -3.88 -2.19 -0.37 1.74 2.39 3.92 4.32 4. 5.54 6.45 |D| 3.88 2.19 0.37 1.74 2.39 3.92 4.32 4. 5.54 6.45 |D|的秩 5 3 1 2 4 6 7 8 9 10 D的符号 - - - + + + + + + + T2467891046T5319n=10查表得P=0.032<=0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——2-Related Sample Test

Ranks

c - x

Negative Ranks Positive Ranks Ties Total

N

7a 3b 0c 10

Mean Rank

6.57 3.00 Sum of Ranks

46.00 9.00

1

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a. c < x b. c > x c. c = x

Test Statisticsb Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. (2-tailed) Exact Sig. (1-tailed) Point Probability a. Based on positive ranks. c - x -1.886a .059 .0 .032 .008 b. Wilcoxon Signed Ranks Test 由输出结果可知，单侧精确显著性概率P=0.032< =0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。与手算结果相同。

R语言：

> x=c(4.12,5.81,7.63,9.74,10.39,11.92,12.32,12.,13.54,14.45) > wilcox.test(x-8,alt=\"greater\")

Wilcoxon signed rank test

data: x - 8

V = 46, p-value = 0.03223

alternative hypothesis: true location is greater than 0

由输出结果可知，P=0.03223< =0.05，因此拒绝原假设，即认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数多于8升。与以上结果一致。

二、 Mann-Whitney-Wilcoxon检验

下表为8个亚洲国家和8个欧美国家2005年的人均国民收入数据。检验亚洲国家和欧美国家的人均国民收入是否有显著差异（=0.05）。 亚洲国家 中国 日本 印度尼西亚 马来西亚 泰国 新加坡 韩国 印度 人均国民收入（美元） 1740 380 1280 4960 2750 27490 15830 720 2

欧美国家 美国 加拿大 德国 英国 法国 意大利 墨西哥 巴西 人均国民收入（美元） 43740 32600 34580 37600 34810 30010 7310 3460 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

数据来源：《统计学（第三版）》 贾俊平

手算：

设亚洲国家为X，欧美国家为Y 建立假设组：

H0:Mx=MyH1:MxMy 数值 720 1280 1740 2750 3460 4960 7310 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 组别 X X X X Y X Y X 数值 27490 30010 32600 34580 34810 37600 380 43740 秩 9 10 11 12 13 14 15 16 组别 X Y Y Y Y Y X Y 15830 Tx12346891548Ty5710111213141688Nmn16，mn8，UTxm(m1)/212查表得，Tx=48的右尾概率的2倍为0.019*2=0.038< =0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。

SPSS：

操作：Data——Sort Cases

Analyze——Nonparametric Tests——2-Independent Samples

Ranks

收入

分组 亚洲国家 欧美国家 Total

N

8 8 16

Mean Rank

6.00 11.00 Sum of Ranks

48.00 88.00

Test Statisticsb

Mann-Whitney U Wilcoxon W Z

Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] Exact Sig. (2-tailed)

收入 12.000 48.000 -2.100 .036 .038a .038 3

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Exact Sig. (1-tailed) Point Probability a. Not corrected for ties. b. Grouping Variable: 分组 .019 .005 由输出结果可知，精确双尾概率P=0.038<=0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> x<-c(1740,380,1280,4960,2750,27490,15830,720) > y<-c(43740,32600,34580,37600,34810,30010,7310,3460) > wilcox.test(x,y,exact=F,cor=F)

Wilcoxon rank sum test

data: x and y

W = 12, p-value = 0.03569

alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

由输出结果可知，P=0.03569< =0.05，因此拒绝原假设，即认为亚洲国家和欧美国家的人均国民收入有显著差异。与以上结果一致。

三、 两样本的Kolmogorov-Smirnov检验

下面是13个非洲地区和13个欧洲地区的人均酒精年消费量，试分析这两个地区的酒精人均年消费量是否分布相同。

非洲 5.38 4.38 9.33 3.66 3.72 1.66 0.23 0.08 2.36 1.71 2.01 0.9 1.54 手算：

建立假设组：

欧洲 6.67 16.21 11.93 9.85 10.43 13.54 2.4 12. 9.3 11.92 5.74 14.45 1.99 数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

4

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H0:F1(x)=F2(x)H1:F1(x)F2(x)x

f1 f2 f1 f2 S1x 0.076923 0.153846 0.230769 0.307692 0.384615 0.461538 0.461538 0.538462 0.615385 0.615385 0.692308 0.769231 0.846154 0.923077 0.923077 0.923077 0.923077 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2x 0 0 0 0 0 0 0.076923 0.076923 0.076923 0.153846 0.153846 0.153846 0.153846 0.153846 0.230769 0.307692 0.384615 0.384615 0.461538 0.538462 0.615385 0.692308 0.769231 0.846154 0.923077 1 D 0.076923 0.153846 0.230769 0.307692 0.384615 0.461538 0.384615 0.461538 0.538462 0.461538 0.538462 0.615385 0.692308 0.769231 0.692308 0.615385 0.538462 0.615385 0.538462 0.461538 0.384615 0.307692 0.230769 0.153846 0.076923 0 0.08 0.23 0.9 1.54 1.66 1.71 1.99 2.01 2.36 2.4 3.66 3.72 4.38 5.38 5.74 6.67 9.3 9.33 9.85 10.43 11.92 11.93 12. 13.54 14.45 16.21 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 11 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D=max（D）=0.769231，mnD=130

查表得，当mnD=130时，双侧检验的概率P<0.01，所以P<=0.05，因此拒绝原假设，即认为这两个地区的酒精人均年消费量分布有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——2-Independent Samples Frequencies 消费量 分组 非洲地区 欧洲地区 N 13 13 5

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Frequencies 消费量 分组 非洲地区 欧洲地区 Total N 13 13 26

Test Statisticsa Most Extreme Differences Absolute Positive Negative 消费量 .769 .769 .000 1.961 .001 .000 .000 Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. (2-tailed) Point Probability a. Grouping Variable: 分组 由输出结果可知，双侧精确显著性概率P= =0.05，因此拒绝原假设，即认为这两个地区的酒精人均年消费量分布有显著差异。与手算结果一致。

四、 Cochran Q检验

下面是某村村民对四个候选人（A，B，C，D）的赞同与否的调查（“1”代表同意，“0”代表不同意）；最后一列为行总和，最后一行为列总和，全部“1”的总和为42。试分析4位候选人在村民眼中有没有区别（=0.05）。 A 0 B 1 C 0 D 0 L 1 1 1 1 0 3 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 20个村民对A、B、C、D四个候选人的评价 0 0 1 1 2 1 1 0 1 3 1 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 1 0 1 3 1 1 1 0 3 1 0 0 0 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 0 1 1 3 1 1 1 0 3 1 1 0 1 3 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 N 1 16 0 11 0 0 9 6 1 42 数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之 手算：

建立假设组：

H0：4位候选人在村民眼中没有差异H1：4位候选人在村民眼中有差异

6

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kk22（k-1）kx-（x）jj(41)[4(1621129262)422]j=1j=1Q=9.3529 nn2224(42)(518273)kyi-yi2i=1i=1df4132查表得0.057.82Q9.3529，因此在5%的显著性水平上拒绝原假设，即认为4

位候选人在村民眼中有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples Frequencies A B C D 0 Value 1 4 9 11 14 16 11 9 6

Test Statistics

N

Cochran's Q df

Asymp. Sig. Exact Sig. Point Probability

20 9.353a 3 .025 .025 .006 a. 0 is treated as a success.

由输出结果可知，Q=9.353，精确的显著性概率P=0.025< =0.05，因此拒绝原假设，即认为4位候选人在村民眼中有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> x=read.table(\"f:/CochranQ.txt\") > n=apply(x,2,sum) > N=sum(n)

> L=apply(x,1,sum) > k=dim(x)[2]

> Q=(k*(k-1)*sum((n-mean(n))^2))/(k*N-sum(L^2)) > Q

[1] 9.352941

7

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> pvalue=pchisq(Q,k-1,low=F) > pvalue

[1] 0.02494840

由输出结果可知，Q=9.352941， P=0.02494840< =0.05，因此拒绝原假设，即认为4位候选人在村民眼中有显著差异。与以上结果一致。

五、 Friedman检验

一项关于销售茶叶的研究报告说明销售方式可能和售出率有关。三种方式为：在商店内等待，在门口销售和当面表演炒制茶叶。对一组商店在一段时间的调查结果列再下表中（单位为购买者人数）。试问三种不同的销售方式是否有显著差异（=0.05）。 销售方式 商店内等待 门口销售 表演炒制 20 26 53 25 23 47 29 15 48 购买率（%） 18 30 43 17 26 52 22 32 57 18 28 49 20 27 56 数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之 手算：

建立假设组：

H0：三种销售方式无差异H1：三种销售方式有差异销售方式 商店内等待 门口销售 表演炒制 2r

三种方式购买率等级 购买率 合计 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 14 24 1 2 3 2 1 3 2 1 3 1 2 3 k12122R3n(k1)(102142242)38(31)13j nk(k1)j=183(31)df31222查表得0.055.99r13，因此在5%的显著性水平上拒绝原假设，即认为三种销

售方式有显著差异。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples

Ranks 商店内等待 门口销售 表演炒制 Mean Rank 1.25 1.75 3.00

8

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Test Statisticsa

N

Chi-Square df

Asymp. Sig. Exact Sig. Point Probability a. Friedman Test

22由输出结果可知，r130.055.99，精确的显著性概率P<0.001，因此在5%的

8 13.000 2 .002 .000 .000 显著性水平上拒绝原假设，即认为三种销售方式有显著差异。与手算结果一致。

R语言：

> d=read.table(\"f:/Friedman.txt\") > friedman.test(as.matrix(d))

Friedman rank sum test

data: as.matrix(d)

Friedman chi-squared = 13, df = 2, p-value = 0.001503

由输出结果可知，13， P=0.001503<=0.05，因此拒绝原假设，即认为三种销售方式有显著差异。与以上结果一致。

六、 K个样本的卡方检验

在一个有三个主要百货商场的商贸中心，调查者问479个不同年龄段的人首先去三个商场中的哪个，结果如下表，检验人们去这三个商场的概率是否一样。 年龄段 <30 30—50 >50 总和 手算：

建立假设组：

商场1 83 91 41 215 商场2 70 86 38 194 商场3 45 15 10 70 总和 198 192 479 2数据来源：《非参数统计》 王星

H0：人们去三个商场的概率相同H1：人们去三个商场的概率不同分组 <30 f1

f2 f3 fi e1 e2 e3 (f1-e1)2/e1 (f2-e2)2/e2 (f3-e3)2/e3 83 70 45 198 88.873 80.192 28.935 9

0.388 1.295 8.919 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

30—50 >50 合计 91 41 215 r86 38 194 k15 10 70 2192 86.180 77.762 28.058 39.948 36.046 13.006 479 215.000 194.000 70.000

0.270 0.028 0.685 0.873 0.106 2.274 6.077 0.695 15.691 Q=i=1j=1fij-eijeij2=0.685+2.274+15.691=18.651df=(k-1)(r-1)=4查表得0.05=9.49，因为Q=18.651>0.05=9.49，因此拒绝原假设，即认为人们去三个商场的概率不同。

SPSS：

操作：Data——Weight Cases

Analyze——Descriptive Statistics——Crosstabs Chi-Square Tests 2 Value Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases 18.651a 18.691 18.314 5.110c 479 1 df 4 4 Asymp. Sig. (2-sided) .001 .001 Exact Sig. (2-sided) .b .001 .001 Exact Sig. (1-sided) Point Probability .013 .003 .024 .026 a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 13.01. b. Cannot be computed because there is insufficient memory. c. The standardized statistic is -2.260. 由输出结果可知，卡方统计量为18.651，精确双尾检验概率P=0.01<=0.05，因此拒绝原假设，即认为人们去三个商场的概率不同。与手算结果一致。

七、 Kruskal-Wallis检验

某制造商雇用了来自三个本地大学的雇员作为管理人员。最近，公司的人事部门已经收集信息并考核了年度工作成绩。从三个大学来的雇员中随机地抽取了三个样本。制造商想知道是否来自这三个不同的大学的雇员在管理岗位上的表现有所不同。

雇员 1 2 3 4 5 6 7 大学A 25 70 60 85 95 90 80 大学B 60 20 30 15 40 35 大学C 50 70 60 80 90 70 75 数据来源： SAS讲义

10

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手算：

建立假设组：

H0：三个总体的考核成绩分布相同H1：三个总体的考核成绩分布不同雇员 1 2 3 4 5 6 7 秩和 2

各雇员的成绩等级 大学A 3 12 9 17 20 18.5 15.5 95 大学B 9 2 4 1 6 5 27 大学C 7 12 9 15.5 18.5 12 14 88 kR1212(95)2(27)2(88)2jKW统计量H3(N+1)=3(201)8.9163N(N+1)j=1nj20(21)767因为出现同分的情况，应对H进行校正，校正系数

uu=1(3C133N(N2+1)3333232232)0.9925220(20+1)

校正后的统计量H8.9163/0.99258.9839df=k122查表得，在0.05的显著性水平上，0.05=5.99，由于H=8.9839>0.05=5.99，因此拒绝原假设，即三个总体的考核成绩分布不同。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Independent Samples

Ranks

2

成绩

分组 大学A 大学B 大学C Total

N

7 6 7 20

Mean Rank

13.57 4.50 12.57

Test Statisticsa,b

Chi-Square df

成绩 8.984 2 11

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Asymp. Sig. Exact Sig. Point Probability a. Kruskal Wallis Test b. Grouping Variable: 分组 .011 .006 .000 由输出结果可知，KW统计量为8.984，精确概率为0.006，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即三个总体的考核成绩分布不同。与手算结果一致。

八、 列联表卡方检验

一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，得样本数据如下表所示，要求检验地区与原料质量之间有无依赖关系。

地区1 地区2 地区3 合计 手算：

建立假设组：

一级 52 60 50 162 二级 59 65 188 三级 24 52 74 150 合计 140 171 1 500 数据来源： 统计学教程PPT

H0：地区与原料质量无关H1：地区与原料质量相关地区 1 1 1 2 2 2 3 3 3 合计 Q=i=1j=1rc

等级 1 2 3 1 2 3 1 2 3

fij eij (fij-eij)2/eij 0.97 2.45 7.71 0.38 0.44 0.01 2.06 0.52 5.28 19.82 52 24 60 59 52 50 65 74 45.36 52. 42 55.4 .3 51.3 61.24 71.06 56.7 (fij-eij)2eij=19.82df=(r-1)(c-1)=4查表得，0.05=9.49，由于Q=19.82>0.05=9.49，因此拒绝原假设，即认为地区与原料质量相关。

12

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SPSS：

操作：Data——Weight Cases

Analyze——Descriptive Statistics——Crosstabs

地区 * 等级 Crosstabulation

地区

地区1

Count

Expected Count

一级

52 45.4 60 55.4 50 61.2 162 162.0 等级 二级

52.6 59 .3 65 71.1 188 188.0 三级

24 42.0 52 51.3 74 56.7 150 150.0 Total

140 140.0 171 171.0 1 1.0 500 500.0 地区2 Count

Expected Count

地区3 Count

Expected Count

Total Count

Expected Count

Chi-Square Tests Value Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases 19.822a 20.732 20.510 13.963c 500 1 df 4 4 Asymp. Sig. (2-sided) .001 .000 Exact Sig. (2-sided) .b .000 .000 Exact Sig. (1-sided) Point Probability .000 .000 .000 .000 a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 42.00. b. Cannot be computed because there is insufficient memory. c. The standardized statistic is 3.737. 由输出结果可知，检验统计量为19.822，精确双尾显著性概率P远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为地区与原料质量相关。与手算结果一致。

九、 Kendall秩相关

某研究所对10对双胞胎儿童的智力进行调查，结果如下表：

儿童智力测试得分

双胞胎编号 先出生儿童（X） 后出生儿童（Y) 1 9 7.8 2 16.6 19.3 3 16.2 20.1 4 11.3 7.1 5 16.2 13 13

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6 7 8 9 10 手算：

7.1 7.8 4 11.2 1.3 4.8 8.9 7.4 10 1.5 数据来源：《非参数统计：方法与应用》 易丹辉 董寒青 儿童智力测试得分评秩 X Y X的秩 1.3 1.5 1 4 7.4 2 7.1 4.8 3 7.8 8.9 5 9 7.8 5 11.2 10 6 11.3 7.1 7 16.2 20.1 8.5 16.2 13 8.5 16.6 19.3 10 U96744330137Y的秩 1 4 2 6 5 7 3 10 8 9 D 0 -2 1 -1 0 -1 4 -1.5 0.5 1 0 4 1 1 0 1 16 2.25 0.25 1 V020211010072(U-V)2(37-7)Kendall秩相关系数T===0.6667

n(n-1)10（10-1）(37-7)由于同分，所以T==0.6742(1/2)10(10-1)-(1/2)2(2-1)(1/2)10(10-1)对T的显著性进行检验，建立假设组：

H0：不相关H+：正相关

查表得，n=10，T=0.6667或T=0.6742相应的概率在0.0002至0.0005之间，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。

SPSS：

操作：Analyze——Correlate——Bivariate

Correlations

Kendall's tau_b

先出生儿童

Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N

先出生儿童

1.000 . 10 .674** 后出生儿童

.674** .007 10 1.000 后出生儿童 Correlation Coefficient

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Sig. (2-tailed) N **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). .007 10 . 10 由输出结果可知，T=0.674，双侧检验的显著性概率为0.007，则单侧的显著性概率为0.0035，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。与手算结果一致。

R语言：

> x=c(9.0,16.6,16.2,11.3,16.2,7.1,7.8,4.0,11.2,1.3) > y=c(7.8,19.3,20.1,7.1,13.0,4.8,8.9,7.4,10.0,1.5) > cor.test(x,y,method=\"kendall\")

Kendall's rank correlation tau

data: x and y

z = 2.6941, p-value = 0.007058

alternative hypothesis: true tau is not equal to 0 sample estimates: tau 0.6741999

警告信息：

In , y, method = \"kendall\") : 无法给连结计算精確p值

由输出结果可知，T=0.6741999，P=0.007058，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为双胞胎儿童的智力之间存在着正相关。与以上结果一致。

十、 完全秩评定的Kendall协和系数

下面是4个的环境研究单位对10个城市空气等级排序的结果，试分析这4个评估机构的结果是否是随机的。 评估机构(m=4) A B C D R

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被评估的10个城市（A-J）的排名 A 9 10 8 9 36 B 2 1 4 1 8 C 4 3 2 2 11 D 10 8 10 10 38 E 7 7 9 6 29 F 6 5 7 7 25 G 8 9 5 4 26 H 5 6 6 8 25 I 3 4 3 5 15 J 1 2 1 3 7 数据来源：《非参数统计（第二版）》 吴喜之

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手算：

S[Rjk(n1)/2]2112612S121126W20.8530kn(n21)4210(1021)

对W进行显著性检验，建立假设组：

H0：这些评估是不相关的H1：这些评估是相关的Q

12S12112630.7091 kn(n1)410(101)df10192查表得16.92Q30.7091，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关

的。

SPSS：

操作：Analyze——Nonparametric Tests——K Related Samples

Ranks

A B C D E F G H I J

Mean Rank

9.00 2.00 2.75 9.50 7.25 6.25 6.50 6.25 3.75 1.75

Test Statisticsb N

Kendall's Wa Chi-Square df

Asymp. Sig.

4 .853 30.709 9 .000 16

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a. Kendall's Coefficient of Concordance b. Some or all exact significances cannot be computed because there is insufficient memory.

由输出结果可知，W=0.853，Q=30.709，P远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关的。与手算结果一致。

R语言：

> d=read.table(\"f:/airp.txt\") > R=apply(d,2,sum) > m=nrow(d) > n=ncol(d)

> S=sum((R-m*(n+1)/2)^2) > W=12*S/m^2/(n^3-n) > W

[1] 0.8530303

> pchisq(m*(n-1)*W,n-1,low=F) [1] 0.0003320349

由输出结果可知，W=0.8530303，P= 0.0003320349，远远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即认为这些评估之间是显著相关的。与以上结果一致。

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