2020年河南省中考数学模拟试卷(三)(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. (−1)+(−1)=( )

A. −1 B. 1 C. −2 D. 0

2. 下列计算正确的是( )

A. 2𝑥2⋅6𝑥4=12𝑥8 C. (𝑥+𝑦)2=𝑥2+𝑦2

B. (𝑦4)𝑚÷(𝑦3)𝑚=𝑦𝑚 D. 4𝑎2−𝑎2=3

𝑥−3>0

3. 已知不等式组{，其解集在数轴上表示正确的是( )

𝑥+1⩾0

A.

B.

C.

𝑘

D.

4. 如图所示，给出反比例函数𝑦=𝑥的图象，当𝑘=−4时，这个反比例函数的图象大致是( )

A. B. C. D.

5. 在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且𝐴𝐷=3𝐸𝐷，EC交对角线BD于点F，则𝐹𝐶等

于( )

𝐸𝐹

A. 3

1

B. 2

1

C. 3

2

D. 2

3

6. 已知关于x的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2+𝑥+𝑚2+2𝑚−3=0的一个根为0，则m的值为( )

A. 𝑚=−3 C. 𝑚=1或𝑚=−3

B. 𝑚=1 D. 𝑚≠1

=3，𝐷𝐸//𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸的面积是8，7. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，则四边形DBCE𝐵𝐶

的面积是( )

𝐷𝐸2

A. 10 B. 18 C. 8 D. 4

8. 下列说法正确的是( )

A. 为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式

B. 某彩票设“中奖概率为100”，购买100张彩票就一定会中奖一次 C. 某地会发生地震是必然事件

D. 若甲组数据的方差𝑆甲=0.1，乙组数据的方差𝑆乙=0.2，则甲组数据比乙组稳定

9. 如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶(0,1)旋转180°得到△𝐴′𝐵′𝐶，设点A的坐标

为(𝑎,𝑏)，则点𝐴′的坐标为( )

2

2

1

A. (−𝑎,−𝑏) B. (−𝑎,−𝑏−1) C. (−𝑎,−𝑏+1) D. (−𝑎,−𝑏+2)

10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位的半圆𝑂1，𝑂2，𝑂3，…组成一条平滑的曲

线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2018秒时，点P的坐标是点( )

𝜋

A. (2017,1) B. (2018,0) C. (2017,−1) D. (2019,0)

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 计算：(−1)2+|−2|=______．

12. 将一个含有30°角的直角三角板如图所示放置．其中，含30°角的顶点落在直线a上，含90°角的

顶点落在直线b上．若𝑎//𝑏，∠2=2∠1，则∠1=_______°．

13. 有大小、形状、颜色完全相同的4个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，将这4个球

放入不透明的袋中搅匀，从中随机连续抽取两个(不放回)，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．

14. 如图，边长为4的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正

方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．

15. 如图，在矩形ABCD中𝐵𝐶=8，𝐶𝐷=6，将△𝐴𝐵𝐸沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F

处，则DE的长是__________．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

16. 小芳去商店购买甲、乙两种商品．现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元；

信息2：甲商品零售单价比甲进货单价多1元，乙商品零售单价比乙进货单价的2倍少1元． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

(2)若小芳准备用不超过400元钱购买100件甲、乙两种商品，其中甲种商品至少购买多少件？

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

17. 先化简，再求值：(2−𝑥−1)÷𝑥−1，选一个你喜欢的数代入求值． 𝑥−2𝑥+1

18. 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校

九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图：

𝑥2−1

𝑥+1

(1)这次调查的家长总人数为______ 人，表示“无所谓”的家长人数为______ 人； (2)随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是______ ； (3)求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．

19. 如图，AB是⊙𝑂的直径，割线DA，DB分别交⊙𝑂于点E，C，且𝐴𝐷=𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵是锐角，连

接EC、OE、OC．

(1)求证：△𝑂𝐵𝐶≌△𝑂𝐸𝐶．

(2)填空：①若𝐴𝐵=2，则△𝐴𝑂𝐸的最大面积为_____；②当∠𝐴𝐵𝐷的度数为_____时，四边形OBCE是菱形．

在河20. 某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，

的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南偏东33°方向．求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65，√2≈1.41)

21. 已知关于x的一元二次方程：𝑥2−(𝑚−3)𝑥−𝑚=0

(1)证明原方程有两个不相等的实数根；

(2)若抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚−3)𝑥−𝑚与x轴交于𝐴(𝑥1,0)，𝐵(𝑥2,0)两点，则A，B两点间的距离(友情提示：𝐴𝐵=|𝑥1−是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．𝑥2|)

22. 探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠𝐸𝐴𝐹=45°，连结EF，求证：

𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹．

应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷=90°，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐷，若𝐸𝐹=3，𝐵𝐸=2，则𝐷𝐹= ______ ． 2

1

23. 如图，一抛物线过原点和点𝐴(1,√3)，△𝐴𝑂𝐵的面积为√3．

(1)求过点A、O、B的抛物线解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得△𝐴𝑂𝑀的周长最小，求△𝐴𝑂𝑀周长的最小值和点M的坐标；

(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段𝑃𝐸=

2√3

？若存在，直接写出点3

F的坐标；若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：原式=−2， 故选：C．

原式利用同号两数相加的法则计算即可求出值．

此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．

2.答案：B

解析：

本题主要考查了整式的除法和乘法，完全平方公式，合并同类项，关键是熟练掌握公式的特征.根据整式的乘除法则，完全平方公式，合并同类项计算得出结果进行判断即可得出结论． 解：𝐴.原式=12𝑥6，故计算错误； B.原式=𝑦4𝑚÷𝑦3𝑚=𝑦𝑚，故计算正确； C.原式=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2，故计算错误； D.原式=3𝑎2，故计算错误． 故选B．

3.答案：B

𝑥−3>0 ①

解析：解：{

𝑥+1≥0 ②∵解不等式①得：𝑥>3， 解不等式②得：𝑥≥−1， ∴不等式组的解集为：𝑥>3， 在数轴上表示不等式组的解集为：

故选：B．

求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．

本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式(组)的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．

4.答案：C

解析：

本题主要考查了反比例函数的图象，根据当𝑘>0时，反比例函数𝑦=𝑥的图象位于一、三象限，当𝑘<0时，反比例函数𝑦=𝑥的图象位于二、四象限，根据反比例函数的图象与性质即可得到答案． 解：∵反比例函数𝑦=𝑥中的𝑘=−4<0， ∴反比例函数𝑦=𝑥的图象位于二、四象限． 故选C．

𝑘

𝑘

𝑘

𝑘

5.答案：A

解析：

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

根据平行四边形的性质得到𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，根据题意得到𝐵𝐶=3，证明△𝐸𝐹𝐷∽△𝐶𝐹𝐵，根据相似三角形的性质解答．

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∵𝐴𝐷=3𝐸𝐷， ∴𝐵𝐶=3， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐸𝐹𝐷∽△𝐶𝐹𝐵， ∴𝐹𝐶=𝐵𝐶=3， 故选：A．

𝐸𝐹

𝐷𝐸

1

𝐷𝐸

1

𝐷𝐸

1

6.答案：A

解析：解：把𝑥=0代入(𝑚−1)𝑥2+𝑥+𝑚2+2𝑚−3=0得𝑚2+2𝑚−3=0， 解得𝑚1=−3，𝑚2=1， 而𝑚−1≠0， 所以𝑚=−3． 故选A．

先把𝑥=0代入原方程得到关于m的一元二次方程，然后解方程得到𝑚1=−3，𝑚2=1，再利用一元二次方程的定义确定m的值．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

7.答案：A

解析：

本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．根据𝐷𝐸//𝐵𝐶，于是得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似三角形的性质得到是8，得到△𝐴𝐵𝐶的面积是18，即可得到结论． 解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝑆

𝑆△𝐴𝐷𝐸

△𝐴𝐵𝐶

𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶

=()=，由△𝐴𝐷𝐸的面积

𝐵𝐶9

𝐷𝐸2

4

=(𝐵𝐶)=9，

𝐷𝐸2

4

∵△𝐴𝐷𝐸的面积是8， ∴△𝐴𝐵𝐶的面积是18， ∴四边形DBCE的面积是10． 故选A．

8.答案：D

解析：[分析]

根据用全面调查和抽样调查的条件，必然事件与随机事件的区别，方差的意义，对各项分析判断即可． [详解]

选项A，因为数量太大，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，选项A错误；

1

选项B，某彩票设“中奖概率为100”，购买100张彩票中奖为随机事件，选项B错误； 选项C，是随机事件，选项C错误；

22

选项D，因𝑆甲<𝑆乙，所以甲组数据比乙组稳定，选项D正确．

故选：D． [点睛]

解决本题用到的知识点为：不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；一组数据的方差越小，稳定性越好．

9.答案：D

解析：解：根据题意，点A、𝐴′关于点C对称， 设点𝐴′的坐标是(𝑥,𝑦)， 则

𝑎+𝑥2

=0，

𝑏+𝑦2

=1，

解得𝑥=−𝑎，𝑦=−𝑏+2， ∴点𝐴′的坐标是(−𝑎,−𝑏+2)． 故选：D．

设点𝐴′的坐标是(𝑥,𝑦)，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、𝐴′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．

10.答案：B

解析：解：∵圆的半径都为1， ∴半圆的周长=𝜋， 以时间为点P的下标．

观察发现规律：𝑃0(0,0)，𝑃1(1,1)，𝑃2(2,0)，𝑃3(3,−1)，𝑃4(4,0)，𝑃5(5,1)，…， ∴𝑃4𝑛(𝑛,0)，𝑃4𝑛+1(4𝑛+1,1)，𝑃4𝑛+2(4𝑛+2,0)，𝑃4𝑛+3(4𝑛+3,−1)． ∵2018=504×4+2，

∴第2018秒时，点P的坐标为(2018,0)， 故选：B．

𝑃4𝑛+1(4𝑛+1,1)，以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“𝑃4𝑛(𝑛,0)，𝑃4𝑛+2(4𝑛+2,0)，𝑃4𝑛+3(4𝑛+3,−1)”，依此规律即可得出第2018秒时，点P的坐标． 本题考查的是点的坐标规律，解题的关键是找出点P的变化规律“𝑃4𝑛(𝑛,0)，𝑃4𝑛+1(4𝑛+1,1)，𝑃4𝑛+2(4𝑛+2,0)，𝑃4𝑛+3(4𝑛+3,−1)”．

11.答案：3

解析：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 解：原式=1+2=3， 故答案为3．

12.答案：20

解析：

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

根据平行线的性质即可得到∠3=∠1+30°，又∠3+90°+∠2=180°，据此进行计算即可． 解：如图，

∵直线𝑎//𝑏， ∴∠3=∠1+30°，

又∵∠3+90°+∠2=180°， 即∠1+30°+90°+2∠1=180°， 3∠1=60°， ∴∠1=20°， 故答案为20．

13.答案：3

解析：解：根据题意画树状图如下：

1

∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之和为偶数的4种情况， ∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是12=3． 故答案为：3．

根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3 14.答案：4√3

1

4

1

解析：解：如图，连接CH，

∵边长为4的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG， ∴∠𝐹=∠𝐷=90°，∠𝐵𝐶𝐷=90°，∠𝐵𝐶𝐹=30°， ∴∠𝐹𝐶𝐷=60°， ∵𝐶𝐹=𝐶𝐷，𝐶𝐻=𝐶𝐻， ∴𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻≌𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐻(𝐻𝐿)， ∴∠𝐷𝐶𝐻=∠𝐹𝐶𝐻=30°， ∴𝐻𝐷=𝐶𝐷⋅𝑡𝑎𝑛30°=故答案为：

4√3

． 3

4√33

．

连接CH，证明𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻≌𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐻(𝐻𝐿)，可得∠𝐷𝐶𝐻=∠𝐹𝐶𝐻=30°，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻中，𝐶𝐷=4，根据𝐻𝐷=𝐶𝐷⋅𝑡𝑎𝑛30°即可得出DH的长．

本题考查正方形的旋转，三角形全等的判定和性质，解直角三角形的知识．解题的关键是掌握图形旋转的性质．

15.答案：5

解析：

本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时运用勾股定理建立方程是关键． 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=8，𝐴𝐵=𝐶𝐷=6，∠𝐴=∠𝐶=90°．

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理，得𝐵𝐷=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=10， ∵△𝐴𝐵𝐸与△𝐹𝐵𝐸关于BE成轴对称， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸，

∴𝐴𝐸=𝐹𝐸，𝐴𝐵=𝐵𝐹，∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸=90°， ∴∠𝐸𝐹𝐷=90°，𝐵𝐹=6， ∴𝐹𝐷=4，

设𝐷𝐸=𝑥，则𝐸𝐹=8−𝑥，在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹中，由勾股定理，𝐷𝐸2=𝐸𝐹2+𝐹𝐷2，得42+(8−𝑥)2=𝑥2， 解得𝑥=5． 故答案为5．

16.答案：解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别为x、y元．

𝑥+𝑦=5{， 3(𝑥+1)+2(2𝑦−1)=19𝑥=2

解得：{ 𝑦=3

答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元；

(2)由(1)得：甲商品零售价为𝑥+1=3(元)，乙商品零售价为2𝑦−1=35(元) 设甲种商品购买m件． 3𝑚+5(100−𝑚)≤400， 解得：𝑚≥50，

答；甲种商品至少购买50件．

解析：(1)根据题意，列出方程组求解，即可解决问题． (2)根据题意列出关于m的不等式，即可解决问题．

本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解题关键是根据题中所给的信息找出其中的等量关系进行求解，难度一般．

17.答案：解：原式=[

𝑥+1

𝑥−1

(𝑥+1)(𝑥−1)(𝑥−1)2−(𝑥+1)]⋅

𝑥−1𝑥+1

=[𝑥−1−(𝑥+1)]⋅𝑥+1 =

𝑥+1−(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥−1

𝑥−1

⋅𝑥+1

=1−(𝑥−1) =2−𝑥．

当𝑥=0时，原式=2．

解析：首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．

本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键．

18.答案：200；40；10

解析：解：(1)这次调查的家长总人数为：50÷25%=200(人) 表示“无所谓”的家长人数为：200×20%=40(人) 故答案为：200，40．

(2)“很赞同”的家长人数为：200−90−50−40=20(人) 抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=10， 故答案为：10．

(3)“不赞同”的扇形的圆心角度数为：200×360°=162°．

(1)用“赞同”的家长数除以对应的百分比就是调查的家长总人数，用调查的家长总人数乘“无所谓”的家长百分比就是“无所谓”的家长人数．

90

1

1

1

(2)用总人数减去“赞同”“不赞同”“无所谓”的家长人数就是)“很赞同”的家长人数，“很赞同”的家长人数除以总数就是概率．

(3))“不赞同”的扇形的圆心角度数=)“不赞同”的扇形的百分比乘360°．

本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解．

19.答案：解：(1)连接AC，

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ⏜=𝐸𝐶⏜， ∴𝐵𝐶

∴𝐵𝐶=𝐸𝐶， 在△𝑂𝐵𝐶和△𝑂𝐸𝐶中

∴△𝑂𝐵𝐶≌△𝑂𝐸𝐶(𝑆𝑆𝑆)，

(2)①∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，且𝐴𝐵=2， ∴𝑂𝐴=1，

设△𝐴𝑂𝐸的边OA上的高为h， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐸=2𝑂𝐴×ℎ=2×1×ℎ=2ℎ， ∴要使𝑆△𝐴𝑂𝐸最大，只有h最大， ∵点E在⊙𝑂上，

∴ℎ最大是半径，即ℎ最大=1∴𝑆△𝐴𝑂𝐸最大=2， 故答案为2，

②由(1)知，𝐵𝐶=𝐸𝐶，𝑂𝐶=𝑂𝐵，

1

1

1

1

1

∵四边形OBCE是菱形． ∴𝐵𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=60°， 故答案为60°．

解析：

此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，菱形的性 (1)利用垂直平分线，判断出∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，得出𝐸𝐶=𝐵𝐶，用SSS判断出结论； (2)先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可； (3)由菱形判断出△𝐴𝑂𝐶是等边三角形即可．质和判定，解本题的关键是确定面积最大时，点E到AB的距离最大是半径．

20.答案：解：如图，记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则𝐶𝐷⊥𝐵𝐸．

由题意知，∠𝐷𝐴𝐵=45°，∠𝐷𝐶𝐵=33°． 设𝐴𝐷=𝑥米，则𝐵𝐷=𝑥米，𝐶𝐷=(20+𝑥)米， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐵中，𝐶𝐷=tan∠𝐷𝐶𝐵， ∴20+𝑥≈0.65， 解得𝑥≈37．

答：这段河的宽约为37米．

𝑥

𝐷𝐵

解析：本题考查的解直角三角形的应用、一元一次方程的解法和方位角.根据方位角构造直角三角形，利用锐角三角函数建立一元一次方程，即可解答．

21.答案：解：(1)△=[−(𝑚−3)]2−4(−𝑚)=𝑚2−2𝑚+9=(𝑚−1)2+8，

∵(𝑚−1)2≥0， ∴△=(𝑚−1)2+8>0， ∴原方程有两个不等实数根；

(2)存在，

由题意知𝑥1，𝑥2是原方程的两根， ∴𝑥1+𝑥2=𝑚−3，𝑥1⋅𝑥2=−𝑚． ∵𝐴𝐵=|𝑥1−𝑥2|，

∴𝐴𝐵2=(𝑥1−𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2

=(𝑚−3)2−4(−𝑚)=(𝑚−1)2+8， ∴当𝑚=1时，𝐴𝐵2有最小值8， ∴𝐴𝐵有最小值，即𝐴𝐵=√8=2√2．

解析：(1)根据根的判别式，可得答案；

(2)根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．

本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．

22.答案：(1)证明：如图①中，在正方形ABCD中，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵=90°，

把△𝐴𝐵𝐸绕点A逆时针旋转90°得到△𝐴𝐷𝐸′， ∵∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐸′=90°， ∴点F、D、𝐸′共线，

∴∠𝐸′𝐴𝐹=90°−45°=45°=∠𝐸𝐴𝐹， 在△𝐴𝐹𝐸和△𝐴𝐹𝐸′中，

∴△𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝐸′，

∴𝐸𝐹=𝐹𝐸′=𝐷𝐸′+𝐷𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹；

(2)√5．

解析：(1)见答案；

(2)解：如图②中，因为𝐴𝐵=𝐴𝐷，所以可以将△𝐴𝐵𝐸绕点A旋转到△𝐴𝐷𝐸′位置，连接𝐸′𝐹．

∵∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐹=90°，∠𝐵=∠𝐸′𝐷𝐴， ∴∠𝐸′𝐷𝐹=∠𝐸′𝐷𝐴+′𝐴𝐷𝐹=90°，

∵∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹，∠𝐸′𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐸， ∴∠𝐸′𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹， 在△𝐹𝐴𝐸和△𝐹𝐴𝐸′中， 𝐹𝐴=𝐹𝐴

{∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐸′， 𝐴𝐸=𝐴𝐸′

∴△𝐹𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐸′， ∴𝐸𝐹=𝐹𝐸′=3，

在𝑅𝑡△𝐸′𝐷𝐹中，∵∠𝐸′𝐷𝐹=90°，𝐸′𝐹=3，𝐷𝐸′=𝐵𝐸=2， ∴𝐷𝐹=√𝐹𝐸′2−𝐷𝐸′2=√32−22=√5． 故答案为√5．

(1)如图①中，把△𝐴𝐵𝐸绕点A逆时针旋转90°得到△𝐴𝐷𝐸′，只要证明△𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝐸′即可解决问题． (2)如图②中，将△𝐴𝐵𝐸绕点A旋转到△𝐴𝐷𝐸′位置连接𝐸′𝐹.，只要证明△𝐹𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐸′得𝐸𝐹=𝐹𝐸′，在𝑅𝑡△𝐸′𝐷𝐹中利用勾股定理即可解决问题．

本题科学全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，这个全等三角形，属于中考常考题型．

23.答案：解：(1)∵△𝐴𝑂𝐵的面积为√3，

∴2⋅√3⋅𝑂𝐵=√3，解得𝑂𝐵=2， ∴𝐵(−2,0)，

设抛物线解析式为𝑦=𝑎𝑥(𝑥+2)，

把𝐴(1,√3)代入𝑦=𝑎𝑥(𝑥+2)得𝑎×1×3=√3，解得𝑎=√，

33

1

∴抛物线解析式为𝑦=√𝑥(𝑥+2)，即𝑦=√𝑥2+

33

33

2√3

𝑥； 3

(2)抛物线的对称轴为直线𝑥=−1， 连接AB交直线𝑥=−1于点M，如图1， ∵𝑀𝐵=𝐵𝑂，

∴𝑀𝑂+𝑀𝐴=𝑀𝐵+𝑀𝐴=𝐴𝐵，

∴此时𝑀𝑂+𝑀𝐴的值最小，△𝑀𝐴𝑂的周长最小， 设直线AB的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑚， 把𝐵(−2,0)，𝐴(1,√3)代入得 𝑘=−2𝑘+𝑚=03

{，解得{，

2√3𝑘+𝑚=√3𝑚=

3√3∴直线AB的解析式为𝑦=√𝑥+3当𝑥=−1时，𝑦=√𝑥+

332√33332√3， 3

=

√3， 3

此时M点的坐标为(−1,√)；

3

由勾股定理可求得𝐴𝐵=√[1−(−2)]2+(√3)2=2√3，𝐴𝑂=√12+(√3)2=2， ∴△𝐴𝑂𝑀周长的最小值为𝐴𝑀+𝑀𝑂+𝐴𝑂=𝐴𝐵+𝐴𝑂=2√3+2； (3)如图2，设𝐸(𝑥,√𝑥+

332√3√3)，则𝑃(𝑥,𝑥233√32√3)|3

+

2√33

𝑥)， −

2√33

∴𝑃𝐸=|而𝑃𝐸=∴|

√32

𝑥3

√32

𝑥3

+

2√3𝑥3

−(3𝑥+

=|

√32

𝑥3

+

√3𝑥3

|，

2√3， 3

+

3√3𝑥3

−

32√3|3

=

2√3， 3

解方程√𝑥2+√𝑥−

33此时E点坐标为(

332√33

=

2√3得𝑥13

=

−1+√172

，𝑥2=

−1−√172

，

−1+√173√3+√51−1−1733−51或(√,√√)， ,)2623

2√33

解方程√𝑥2+√𝑥−

33

=−

2√3得𝑥13

=0，𝑥2=−1，

此时E点坐标为(0,

2√33或(−1,√)， )33

−1+17−1−17综上所述，F点坐标为(√,0)或(√,0)或(0,0)或(−1,0)．

2

2

解析：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会解一元二次方程；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题；路径坐标与图形性质．

(1)利用三角形面积公式求出OB得到𝐵(−2,0)，然后利用待定系数法求抛物线解析式；

(2)抛物线的对称轴为直线𝑥=−1，连接AB交直线𝑥=−1于点M，如图1，利用两点之间线段最短判断此时𝑀𝑂+𝑀𝐴的值最小，△𝑀𝐴𝑂的周长最小，再利用待定系数法求出直线AB的解析式为𝑦=

√3𝑥3

+

2√3，然后计算自变量为−1时的一次函数值即可得到3

32√3√3)，则𝑃(𝑥,𝑥223

M点的坐标；

332√3√3|，从而得到|𝑥233

(3)如图2，设𝐸(𝑥,√𝑥+

3

√3𝑥3

+

2√33

√√

𝑥)，则𝑃𝐸=|𝑥2+𝑥−

3

3

2√33和方程√𝑥233

+

−

2√3|3

=

2√33，然后解方程√𝑥233

+

√3𝑥3

−

2√33

=+

√3𝑥3

−

2√33

=−

2√3即可得到对应3

F点坐标．