2021年河南省中考数学模拟试卷(三)

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ） A．2021

B．

12021

C．−

1

2021D．﹣2021

2．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）2021年1月4日，国家邮政局马军胜在2021年全国邮政管理工作会议上指出，2020年邮政业业务总量和业务收入分别完成2.1万亿元和1.1万亿元，同比分别增长29.4%和14.1%，业务收入与GDP比值超过1%；快递业务量和业务收入分别完成830亿件和8750亿元．同比分别增长30.%和16.7%，8750亿用科学记数法表示为（ ） A．8750×108

B．8.75×109

C．8.75×1010

D．8.75×1011

4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）

A．50°

B．45°

C．40°

D．30°

5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3a＝6a C．（x﹣y）2＝x2﹣y2

B．（﹣3a）2＝6a2 D．3√2−√2=2√2

6．（3分）2020年9月28日上午，2020中国企业500强榜单在郑州发布，本次河南共有10

家企业上榜2020中国企业500强，18家企业上榜制造业企业500强，7家企业上榜服务业企业500强，上榜企业数较上年均有所增加．郑州某企业1～5月份利润的变化情况如图所示，则以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）

A．1～2月份利润的增长快于2～3月份利润的增长 B．1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同 C．1～5月份利润的众数是130万元 D．1～5月份利润的中位数为120万元

7．（3分）某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（ ） A．C．

400𝑥𝑥

−−

400(1+30%)𝑥400(1−30%)𝑥

=4 =4

B．

400400

(1+30%)𝑥(1−30%)𝑥

−−

400𝑥400𝑥

=4 =4

400

D．

8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法： ①2a+b＝0；

②当x≤﹣1或x≥3时，y＞0； ③3a+c＝0；

④若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2． 其中正确的是（ ）

A．①②④

B．①③

C．①②③

D．①③④

9．（3分）如图，在▱ABCD中，BD⊥DC，E是BC的中点，以点E为圆心，大于点E到BD的距离为半径画弧，交BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为

21

半径画弧，两弧相交于点F，射线EF分别与BD，AD交于点G，H，若DG＝3，AB＝4，则BC的长为（ ）

A．√13 B．5

C．2√13 D．10

10．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10）

C．（2，10）或（﹣2，0） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）计算 √25−（﹣1）2＝ ．

12．（3分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．甲，

B．（﹣2，0）

D．（10，2）或（﹣2，0）

乙二人玩一个游戏，游戏规则是：从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．则甲获胜的概率是 ．

13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．

𝑥

+𝑎≥2214．（3分）如果不等式组{的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ．

2𝑥−𝑏＜3

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若

𝐴𝐷𝐴𝐵

𝐷𝐺𝐺𝐴

=

17

，则

= ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）小明解答：“化简（

2𝑥𝑥2−4

−

1

𝑥−2

）÷

𝑥

”的过程如下，试指出解答过程𝑥2+3𝑥+2

中错误步骤的序号，写出正确的解答过程，并求出当x=√2−1时代数式的值． 解：（＝[

2𝑥𝑥2−4

2𝑥

−

1

𝑥−2

）÷

1

𝑥

𝑥2+3𝑥+2

𝑥

(𝑥−2)(𝑥+2)2𝑥−𝑥+2

−

𝑥−2

]÷(𝑥+2)(𝑥+1)⋯①

=(𝑥−2)(𝑥+2)÷(𝑥+2)(𝑥+1)⋯② ==

𝑥+2(𝑥+2)(𝑥+1)

×⋯③

(𝑥−2)(𝑥+2)𝑥(𝑥+2)(𝑥+1)

⋯④

𝑥(𝑥−2)𝑥

17．（9分）某学校开展防疫知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从七、八年级现有各400名的学生中随机抽取学生进行调查，过程如下： （一）选择样本，收集数据

从七、八年级各随机抽取20名学生，进行防疫知识测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：85 79 83 98 68 79 59 99 87 85 97 86 90 77 八年级：71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 （二）分组整理，描述数据

（1）按如下频数分布表整理描述这两组样本数据．请补全七年级20名学生测试成绩的频数分布表；

年级 七年级 八年级

49.5～59.5

1 2

59.5～69.5

1 1

69.5～79.5

2

79.5～.5

11 4

.5～100

11

（说明：成绩为90分及以上为优秀，80～分为良好，80分以下为不合格） （三）分析数据，计算填空

（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数优秀率如表所示，请补充完整；

年级 七年级 八年级

平均数 85.3 85.4

中位数 88

众数 94

优秀率

55%

（四）得出结论，说明理由

（3）若八年级学生全部参加这次考试，试估计八年级成绩优秀的学生人数；

（4）整体成绩较好的年级为哪个？理由是什么？（至少从两个不同的角度说明合理性） 18．（9分）郑州二七罢工纪念塔，简称“二七纪念塔”，是全国重点文物保护单位，位于郑州市二七广场．2020年郑州市工作报告中，明确提出将二七广场片区列为2020年郑州市建设发展重点任务之一，将其打造成为“郑州人精神家园、河南省消费中心．全国城市复兴典范”．某中学数学研究小组在综合实践活动中，组织测量二七纪念塔AB的高度，下列示意图中B、C、D在同一条直线上，四边形BCEF为矩形，测量方案和数据如表． 课题 测量工具 测量小组

第一小组

第二小组

第三小组

测量二七纪念塔的高度 测量角度的仪器、皮尺等

测量方案示意图

测量CD＝67.1米，∠ACB＝70°，BF＝EC＝1.6米，∠CD＝113米，∠C＝70°， 数据 ∠D＝35°

AEF＝70°

∠D＝35°

（1）哪些小组的测量方案可以测量塔高？

（2）请选择其中一个方案及其数据计算塔高．（结果保留整数）（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）

19．（9分）某市为鼓励各家庭或企业合理安排用电时间，避免尖峰、高峰时段，以便降低费用，现有两种用电收费方法：

分时电表

峰时 电价0.55元/kW•h

谷时 电价0.35元/kW•h

普通电表 电价0.53元/kW•h

若某家庭某月用电量为akW•h（a为常数），其中谷时用电为xkW•h． （1）请表示出分时计价时，总价y与x之间的函数关系式； （2）请判断使用分时电表是不是一定比普通电表合算？

（注：高峰时段（简称“峰时”）：8：00﹣21：00；低谷时段（简称“谷时”）：21：00到次日8：00）．

20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，作OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明； （2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

21．（10分）已知抛物线y＝x2﹣4x+1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．

（1）求平移后的抛物线解析式；

（2）若直线y＝m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围； （3）若将已知的抛物线解析式改为y＝ax2+bx+c（a＞0，b＜0），并将此抛物线沿x轴方向向左平移−个单位长度，试探索问题（2）．

𝑏

𝑎

22．（10分）郑州市已从2019年12月1日开始实施《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》，不仅可以减少环境污染，还可以实现资源优化利用可持续发展．已知2021年第一季度某小区按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共需支付垃圾处理费520元．从2021年4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该小区2021年第二季度需要处理的A类、B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．

（1）该小区2021年第一季度处理的两类垃圾各多少吨？

（2）该小区计划2021年第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，则该小区2021年第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？

23．（11分）数学活动课上，小明画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形ABD与等腰直角三角形ACE，其中AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BC，M，N，G分别为边BD，CE，BC的中点，连接MG，NG． （1）操作发现：

小明发现了：GM，GN有一定的关系，数量关系为 ；位置关系为 ． （2）类比思考：

如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形ABD绕点A旋转一定的角度，其他条件都不变，小明发现的结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入探究：

在上述类比思考的基础上，小明做了进一步的探究．如图3，作任意一个三角形ABC，其中AB＞AC，在三角形外侧以AB为腰作等腰直角三角形ABD，以AC为腰作等腰直角三角形ACE，分别取斜边BD，CE与边BC的中点M，N，G．连接GM，GN，MN，已知AD＝6，AC＝4，请直接写出MN的最大值．

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ） A．2021

B．

12021

C．−

1

2021D．﹣2021

【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021． 故选：A．

2．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当． 故选：A．

3．（3分）2021年1月4日，国家邮政局马军胜在2021年全国邮政管理工作会议上指出，2020年邮政业业务总量和业务收入分别完成2.1万亿元和1.1万亿元，同比分别增长29.4%和14.1%，业务收入与GDP比值超过1%；快递业务量和业务收入分别完成830亿件和8750亿元．同比分别增长30.%和16.7%，8750亿用科学记数法表示为（ ） A．8750×108

B．8.75×109

C．8.75×1010

D．8.75×1011

【解答】解：8750＝875000000000＝8.75×1011， 故选：D．

4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）

A．50°

B．45°

C．40°

D．30°

【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°， ∴∠1＝∠3＝50°， ∵直线AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∴∠2＝40°． 故选：C．

5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3a＝6a C．（x﹣y）2＝x2﹣y2

【解答】解：2a+3a＝5a，A错误； （﹣3a）2＝9a2，B错误； （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误； 3√2−√2=2√2，D正确； 故选：D．

6．（3分）2020年9月28日上午，2020中国企业500强榜单在郑州发布，本次河南共有10家企业上榜2020中国企业500强，18家企业上榜制造业企业500强，7家企业上榜服务业企业500强，上榜企业数较上年均有所增加．郑州某企业1～5月份利润的变化情况如图所示，则以下说法与图中反映的信息相符的是（ ）

B．（﹣3a）2＝6a2 D．3√2−√2=2√2

A．1～2月份利润的增长快于2～3月份利润的增长 B．1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同 C．1～5月份利润的众数是130万元 D．1～5月份利润的中位数为120万元

【解答】解：根据折线图1～2月以及2～3月的倾斜程度可以得出：

2～3月份利润的增长快于1～2月份利润的增长；故①选项错误，不符合题意； 1～4月份利润的极差为：130﹣100＝30，1～5月份利润的极差为：130﹣100＝30， 则1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差相同，故本选项错误，不符合题意； ∵130万元出现了2次，出现的次数最多， ∴众数是130万元，故本选项正确，符合题意；

1～5月份利润的中位数是：从小到大排列后115万元位于最中间，故本选项错误，不符合题意． 故选：C．

7．（3分）某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（ ） A．C．

400𝑥𝑥

−−

400(1+30%)𝑥400(1−30%)𝑥

=4 =4

B．

400400

(1+30%)𝑥(1−30%)𝑥

−−

400𝑥400𝑥

=4 =4

400

D．

【解答】解：设每月原计划生产的医疗器械有x件， 根据题意，得：故选：A．

8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法： ①2a+b＝0；

②当x≤﹣1或x≥3时，y＞0；

400𝑥

−

400(1+30%)𝑥

=4，

③3a+c＝0；

④若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2． 其中正确的是（ ）

A．①②④

B．①③

C．①②③

𝑏

−1+3

=1， 2D．①③④

【解答】解：∵函数图象的对称轴为：x=−2𝑎=∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确；

由图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y≥0；②错误； 由图象可知，当x＝1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＝0，③正确；

∵抛物线的对称轴为x＝1，开口方向向上，

∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2； 故④错误； 故选：B．

9．（3分）如图，在▱ABCD中，BD⊥DC，E是BC的中点，以点E为圆心，大于点E到BD的距离为半径画弧，交BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为

21

半径画弧，两弧相交于点F，射线EF分别与BD，AD交于点G，H，若DG＝3，AB＝4，则BC的长为（ ）

A．√13 B．5

C．2√13 D．10

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4， ∴DC＝AB＝4，

连接FN，FM，EM，EN，

∵以点E为圆心，大于点E到BD的距离为半径画弧，两弧相交于点F， ∴FM＝FN，EM＝EN， ∴EF⊥NM， ∵BD⊥DC， ∴EF∥CD， ∵E为BC中点， ∴G为BD的中点， ∵DG＝3，AB＝4， ∴BD＝2DG＝6，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=√𝐵𝐷2+𝐶𝐷2=√62+42=2√13， 故选：C．

10．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10）

C．（2，10）或（﹣2，0）

【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上， ∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2， 所以，D′（﹣2，0），

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， 所以，D′（2，10），

综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）计算 √25−（﹣1）2＝ 4 ． 【解答】解：原式＝5﹣1＝4． 故答案为：4．

12．（3分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．甲，乙二人玩一个游戏，游戏规则是：从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．则甲获胜的概率是 【解答】解：画树状图得：

13B．（﹣2，0）

D．（10，2）或（﹣2，0）

．

所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432． ∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8

个，

∴甲胜的概率为故答案是：．

31

824

=．

3

1

13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＜2 ．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2k＞0， 解得k＜2． 故答案为：k＜2．

𝑥

+𝑎≥2

14．（3分）如果不等式组{2的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 1 ．

99

9

2𝑥−𝑏＜3

【解答】解：由+𝑎≥2得：x≥4﹣2a

2

𝑥

由2x﹣b＜3得：𝑥＜2

故原不等式组的解集为：4﹣2a≤𝑥＜又因为0≤x＜1 所以有：4﹣2a＝0，

3+𝑏2

3+𝑏

23+𝑏

=1

解得：a＝2，b＝﹣1 于是a+b＝1． 故答案为：1．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若

𝐷𝐺𝐺𝐴

=，则7

1𝐴𝐷𝐴𝐵

= √2 ．

【解答】解：连接GE， ∵点E是CD的中点， ∴EC＝DE，

∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部， ∴EF＝DE，∠BFE＝90°， 在Rt△EDG和Rt△EFG中 𝐺𝐸=𝐺𝐸{， 𝐷𝐸=𝐸𝐹

∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL）， ∴FG＝DG， ∵

𝐷𝐺𝐺𝐴

=，

7

1

∴设DG＝FG＝a，则AG＝7a， 故AD＝BC＝8a， 则BG＝BF+FG＝9a，

∴AB=√(9𝑎)2−(7𝑎)2=4√2a， 故

𝐴𝐷𝐴𝐵

=

8𝑎4√2𝑎=

√2．

故答案为：√2．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）小明解答：“化简（

2𝑥𝑥2−4

−

1

𝑥−2

）÷

”的过程如下，试指出解答过程𝑥2+3𝑥+2𝑥

中错误步骤的序号，写出正确的解答过程，并求出当x=√2−1时代数式的值． 解：（＝[

2𝑥𝑥2−4

2𝑥

−

1

𝑥−2

）÷

1

𝑥

𝑥2+3𝑥+2𝑥

(𝑥−2)(𝑥+2)2𝑥−𝑥+2

−

𝑥−2

]÷(𝑥+2)(𝑥+1)⋯①

=(𝑥−2)(𝑥+2)÷(𝑥+2)(𝑥+1)⋯②

𝑥

==

𝑥+2(𝑥+2)(𝑥+1)

×⋯③

(𝑥−2)(𝑥+2)𝑥(𝑥+2)(𝑥+1)

⋯④ 𝑥(𝑥−2)【解答】答：错误的是②， 解：原式＝[

𝑥−2

2𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)

𝑥

−

1

𝑥−2

]•

(𝑥+1)(𝑥+2)

𝑥

=(𝑥+2)(𝑥−2)•=𝑥．

𝑥+1

(𝑥+1)(𝑥+2)

当x=√2−1时，原式=

√2−1+1√2−1=2+√2．

17．（9分）某学校开展防疫知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从七、八年级现有各400名的学生中随机抽取学生进行调查，过程如下： （一）选择样本，收集数据

从七、八年级各随机抽取20名学生，进行防疫知识测试，测试成绩（百分制）如下： 七年级：85 79 83 98 68 79 59 99 87 85 97 86 90 77 八年级：71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 （二）分组整理，描述数据

（1）按如下频数分布表整理描述这两组样本数据．请补全七年级20名学生测试成绩的频数分布表；

年级 七年级 八年级

49.5～59.5

1 2

59.5～69.5

1 1

69.5～79.5 3 2

79.5～.5

11 4

.5～100 4 11

（说明：成绩为90分及以上为优秀，80～分为良好，80分以下为不合格） （三）分析数据，计算填空

（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数优秀率如表所示，请补充完整；

年级 七年级 八年级

平均数 85.3 85.4

中位数 88 91.5

众数 94

优秀率 20% 55%

（四）得出结论，说明理由

（3）若八年级学生全部参加这次考试，试估计八年级成绩优秀的学生人数；

（4）整体成绩较好的年级为哪个？理由是什么？（至少从两个不同的角度说明合理性） 【解答】解：（1）由题意可得，频数分布表如下：

年级 七年级 八年级 故答案为：3，4；

（2）由题意可得，

七年级20名学生测试成绩的优秀率为：

420

49.5～59.5

1 2

59.5～69.5

1 1

69.5～79.5

3 2

79.5～.5

11 4

.5～100

4 11

×100%＝20%，

将八年级20名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为：

51，55，62，71，78，85，86，87，88，91，92，94，94，94，94，94，97，98，98，99，

位于中间位置的两个数是 91，92，所以中位数是（91+92）÷2＝91.5． 故答案为：20%，91.5；

（3）400×

11

=220（人）， 20答：估计八年级成绩优秀的学生人数有220人；

（4）八年级的整体成绩较好，理由如下：

该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩，八年级的平均数，中位数，众数以及优秀率均比七年级的大， 所以八年级的整体成绩较好．

18．（9分）郑州二七罢工纪念塔，简称“二七纪念塔”，是全国重点文物保护单位，位于郑州市二七广场．2020年郑州市工作报告中，明确提出将二七广场片区列为2020年郑州市建设发展重点任务之一，将其打造成为“郑州人精神家园、河南省消费中心．全国城市复兴典范”．某中学数学研究小组在综合实践活动中，组织测量二七纪念塔AB的高度，下列示意图中B、C、D在同一条直线上，四边形BCEF为矩形，测量方案和数据如表．

课题 测量工具 测量小组 测量方案示意图

第一小组

测量二七纪念塔的高度 测量角度的仪器、皮尺等

第二小组 第三小组

测量CD＝67.1米，∠ACB＝70°，BF＝EC＝1.6米，∠CD＝113米，∠C＝70°， 数据 ∠D＝35°

AEF＝70°

∠D＝35°

（1）哪些小组的测量方案可以测量塔高？

（2）请选择其中一个方案及其数据计算塔高．（结果保留整数）（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70） 【解答】解：（1）第一、三小组可以测量， ①第一组，∠ACB＝70°，∠D＝35°， ∴AC＝CD＝67.1， ∴

𝐴𝐵𝐴𝐶

=𝑠𝑖𝑛70°，

∴AB＝67.1×sin70°；

②第二组，∵BF＝EC＝1.6，无法确定EF的长， ∴无法测量；

③第三组，CD＝113，设BC＝x，DB＝113﹣x，AB＝DB×tan35°＝BC×tan70°， 故选第一、三组，

（2）选第一组，由①知AB＝67.1×0.94≈63（米）．

19．（9分）某市为鼓励各家庭或企业合理安排用电时间，避免尖峰、高峰时段，以便降低费用，现有两种用电收费方法：

分时电表

峰时

谷时

普通电表 电价0.53元/kW•h

电价0.55元/kW•h 电价0.35元/kW•h

若某家庭某月用电量为akW•h（a为常数），其中谷时用电为xkW•h． （1）请表示出分时计价时，总价y与x之间的函数关系式； （2）请判断使用分时电表是不是一定比普通电表合算？

（注：高峰时段（简称“峰时”）：8：00﹣21：00；低谷时段（简称“谷时”）：21：00到次日8：00）．

【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.35x+0.55（a﹣x）， ＝﹣0.2x+0.55a，

（2）①当两种方式费用相同时：0.35x+0.55（a﹣x）＝0.53a， 解得，x=

1

a， 10②分时计价电费用高于普通电费时， 0.35x+0.55（a﹣x）＞0.53a， x＜10a，

③分时计价电费用低于普通电费时， 0.35x+0.55（a﹣x）＜0.53a， x＞10a， 综上所述，当x=

1

11

a时，两种方式费用相同；当x＜a时，分时计价电费用高于普通101011

电费时；x＞10a时，分时计价电费用低于普通电费时．

20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，作OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明； （2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∠ADC＝∠AOF，

证明：连接OD， ∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO＝90°， ∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴∠ADC+∠ADO＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠AOF＝∠ADC； （2）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∵AO＝OB， ∴AE＝DE，

∴OE=2BD＝4，OF＝OE+EF＝6， ∴设OD＝r， ∴AB＝2r，

在Rt△ODE中，DE2＝OD2﹣OE2＝r2﹣16， 在Rt△ODF中，DF2＝OF2﹣OD2＝36﹣r2， 在Rt△DEF中，DE2＝DF2﹣EF2＝36﹣r2﹣4， 即r2﹣16＝36﹣r2﹣4， 解得：r＝2√6， ∴⊙O的半径为2√6．

21．（10分）已知抛物线y＝x2﹣4x+1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得

1

到一条新的抛物线．

（1）求平移后的抛物线解析式；

（2）若直线y＝m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围； （3）若将已知的抛物线解析式改为y＝ax2+bx+c（a＞0，b＜0），并将此抛物线沿x轴方向向左平移−𝑎个单位长度，试探索问题（2）．

𝑏

【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+1 配方，得y＝（x﹣2）2﹣3，

向左平移4个单位，得y＝（x+2）2﹣3 ∴平移后得抛物线的解析式为y＝x2+4x+1；

（2）由（1）知，两抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），（﹣2，﹣3） 𝑦=𝑥2−4𝑥+1解{， 𝑦=𝑥2+4𝑥+1𝑥=0得{ 𝑦=1

∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时， m＞﹣3且m≠1；

𝑏4𝑎𝑐−𝑏

（3）由y＝ax+bx+c配方得y＝a（x+2𝑎）2+4𝑎；

2

2

𝑏𝑏4𝑎𝑐−𝑏

向左平移−𝑎个单位长度得到抛物线的解析式为y＝a（x−2𝑎）2+4𝑎；

2

𝑏4𝑎𝑐−𝑏𝑏4𝑎𝑐−𝑏

∴两抛物线的顶点坐标分别为(−，)，(，)

2𝑎4𝑎2𝑎4𝑎𝑏4𝑎𝑐−𝑏

𝑦=𝑎(𝑥+)2+

2𝑎4𝑎 解{2𝑏24𝑎𝑐−𝑏

𝑦=𝑎(𝑥−)+

2𝑎4𝑎2

22

𝑥=0

得，{

𝑦=𝑐

∴两抛物线的交点为（0，c）

由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：

4𝑎𝑐−𝑏m＞且m≠c．

4𝑎2

22．（10分）郑州市已从2019年12月1日开始实施《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》，不仅可以减少环境污染，还可以实现资源优化利用可持续发展．已知2021年第一季度某小区按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共需支付垃圾处理费520元．从2021年4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该小区2021年第二季度需要处理的A类、B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．

（1）该小区2021年第一季度处理的两类垃圾各多少吨？

（2）该小区计划2021年第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，则该小区2021年第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？

【解答】解：（1）设该小区2021年第一季度处理A类垃圾x吨，B类垃圾y吨， 25𝑥+16𝑦=520依题意得：{，

100𝑥+30𝑦=520+880𝑥=8

解得：{．

𝑦=20

答：该小区2021年第一季度处理A类垃圾8吨，B类垃圾20吨．

（2）设该小区计划2021年第二季度处理A类垃圾m吨，则处理B类垃圾（24﹣m）吨， 依题意得：24﹣m≤3m， 解得：m≥6．

设该小区2021年第二季度需要支付这两种垃圾处理费共w元，则w＝100m+30（24﹣m）＝70m+720． ∵k＝70＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝70×6+720＝1140．

答：该小区2021年第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共1140元．

23．（11分）数学活动课上，小明画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形ABD与等腰直角三角形ACE，其中AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BC，M，N，G分别为边BD，CE，BC的中点，连接MG，NG． （1）操作发现：

小明发现了：GM，GN有一定的关系，数量关系为 GM＝GN ；位置关系为 GM⊥GN ． （2）类比思考：

如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形ABD绕点A旋转一定的角度，其他条件都不变，小明发现的结论还成立吗？请说明理由． （3）深入探究：

在上述类比思考的基础上，小明做了进一步的探究．如图3，作任意一个三角形ABC，其中AB＞AC，在三角形外侧以AB为腰作等腰直角三角形ABD，以AC为腰作等腰直角三角形ACE，分别取斜边BD，CE与边BC的中点M，N，G．连接GM，GN，MN，已知AD＝6，AC＝4，请直接写出MN的最大值．

【解答】解：（1）如图1，连接CD，BE，设AC交BE于点O，CD交BE于点T，

∵AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE，

∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴CD＝CE，∠ACD＝∠AEB，

∵∠AEB+∠AOE＝90°，∠COT＝∠AOE， ∴∠COT+∠DCA＝90°， ∴∠CTO＝90°， ∴CD⊥BE，

∵M，N，G分别为边BD，CE，BC的中点， ∴GM=2𝐶𝐷，GM∥CD， 同理可证，GN=𝐵𝐸，GN∥BE， 故答案为：GM＝GN，GM⊥GN； （2）成立，理由如下：

如图2，连接DC，EB并延长交于点F，

1

21

∵∠DAB＝∠CAE，

∴∠DAB﹣∠CAB＝∠CAE﹣CAB， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴EB＝DC，∠AEB＝∠ACD， ∴∠AEB+∠ACF＝180°， ∴∠EAC+∠BFC＝180°， 又∵∠EAC＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BE⊥DF，

∵M，N，G分别为BD，CE，BC的中点，

∴NC∥EB，且NG=，MG∥CD，MG=𝐶𝐷， ∴GM＝GN，GM⊥GN；

（3）结论：△MNG是等腰直角三角形，如图3，连接DC，EB交于点F，AC与BE相交于点H，

1212

∵∠DAB＝∠CAE，

∴∠DAB+∠CAB＝∠CAE+∠CAB， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△ADC≌△ABC（SAS）， ∴EB＝DC，∠AEB＝∠ACD， ∵∠AHE＝∠FHC， ∴∠EFC＝∠EAC＝90°， ∴EB⊥CD，

∵M，N，G分别为BD，CE，BC的中点， ∴NC∥EB，且NG=2，MG∥CD，MG=2， ∴GM＝GN，GM⊥GN， ∴△MNG是等腰直角三角形． ∴MN=√2MG， ∵MG=2𝐶𝐷，

且CD的最大值为：AD+AC＝6+4＝10， ∴MN的最大值为：5√2．

1

1

1