2016详细中考数学总复习教案

实数的概念

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.实数的有关概念

(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类

①按定义分: ②按符号分:

(有理数(()0(()()()；有理数0)()()(()())

))（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，则 。 （4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为（6）绝对值：

（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。

)( 1.则 。 a

(2.实数的分类:实数



 (

()(()()零(()()())())))3.科学记数法、近似数和有效数字

n

（1）科学记数法：把一个数记成±a×10的形式（其中1≤a<10，n是整数）

（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字

的有效数字。

（二）：【课前练习】 1．|－22|的值是（ ）

A．－2 B.2 C．4 D．－4 2．下列说法不正确的是（ ）

A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数

C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数

1

3．在2022、sin450、0、9、0.2020020002、、这七个数中，无理数有（ ）

273 A．1个；B．2个；C．3个；D．4个 4．下列命题中正确的是（ ）

A．有限小数是有理数 B．数轴上的点与有理数一一对应

C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应

5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万

二：【经典考题剖析】

1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东

300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：

,21,cos45,-cos60, 2．下列各数中：-1，0，169，2，1.101001,0.62222,2,77.

有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}；

3. 已知(x-2)+|y-4|+z6=0，求xyz的值．．

2

4．已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求2(ab)32(cd)m 5. a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，化简aabba

12m 的值 m2a0b三：【课后训练】

2、一个数的倒数的相反数是1 ,则这个数是（）

6565 A． B． C．- D．－

5656

3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数

15

2

4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数

是2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A．代人法B．换元法C．数形结合D．分类讨论

5. 若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________． 6.已知xyyx，x4,y3，则xy 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)

8.当a为何值时有：①a23；②a20；③a23

9. 已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2的相反数的负倒数，y不能作除数，求

12(ab)20022(cd)2001y2000的值．

x3

10. （1）阅读下面材料：点 A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点 中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|； ②如图1－2－6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－b|

综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a－b| （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，

数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x为_________． ③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.

四：【课后小结】

实数的运算

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把__________

②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。互为相反数的两个数相加得____。

③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。 (3)有理数乘法法则：

①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，都得________。 ②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________，积为负，当_____________，积为正。

3

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________. (4)有理数除法法则：

①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。

②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个___________的数，都得0

(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数，负数的__________是正数

(6)有理数混合运算法则：

先算________，再算__________，最后算___________。如果有括号，就________。

2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律

（1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：

ab＞0a＞b，ab=0ab，ab＜0a＜ b （2）商值比较法：

若a、b为两正数，则ab＞1a＞b；ab1ab;ab＜1a＜b

（3）绝对值比较法：

若a、b为两负数，则a＞ba＜b；abab；a＜ba＞b （4）两数平方法：如155与137 5.三个重要的非负数：

（二）：【课前练习】

1. 下列说法中，正确的是（ ）

A．|m|与—m互为相反数 B．21与21互为倒数 C．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102

D．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50

2. 在函数y11x中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

3. 按鍵顺序－1·2÷4＝，结果是 。 4.16的平方根是______ 5.计算

(1) 32

÷(－3)2

+|－

16 |×(－ 6)+49； (2) (32-23)2-(32+23)

二：【经典考题剖析】

4

21.已知x、y是实数， 3x4y6y90,若axy3xy,求实数a的值.

2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:42,1,24,,27,(1)0

23

3.比较大小:(1)35与211,(2)155与137,(3)103与3-22

1234

4.探索规律:3=3，个位数字是3；3=9，个位数字是9；3=27，个位数字是7；3=81，个位数字是1；56720

3=243，个位数字是3；3=729，个位数字是9；…那么3的个位数字是 ；3的个位数字是 ； 5.计算：

1(2)3(1)4(12)2()22； （1）

20.25413(2)

（2）(2)1(2001tan300)0(2)211 31621

三：【课后训练】

1.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个住宅区在

同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小， A100mB200mC那么停靠站的位置应设在（ ）

A．A区； B．B区； C．C区； D．A、B两区之间

2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长25.7%，占2004年国内生产总值（GDP）的19%。根据以上信息，下列说法：①2003年全国税收收入约为25718×（1-25.7%）

25718亿元；③若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入

1+25.7%25718约为25718×（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP）约为亿元。其中正确的有（ ）

19%亿元；②2003年全国税收收入约为

A．①④；B．①③④；C．②③；D．②③④

1 3.当0＜x＜1时，x2,x,的大小顺序是（ ）

x11112222＜x＜x；B．＜x＜x；C．x＜x＜；D．x＜x＜ xxxxa22a1, 4.设是大于1的实数，若a,在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、C三点在数轴33A．

上自左至右的顺序是（ ）

A．C 、B 、A；B．B 、C 、A ；C．A、B、 C ；D．C、 A、 B 5.现规定一种新的运算“※”：a※b=a，如3※2=3=9，则

b

2

1※3（ ） 25

A．

113；B．8；C．；D． 862 6.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；101～198次为直

快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。二是单、双数表示不同的行驶方向，比如单

数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（ ）

A．20；B．119；C．120；D．319 7.计算： （1）(3－1227+3)； ⑵(3+2)(3－2)；⑶-1

331（4）12+1111（5）0.52+(-)2--22-4-(-1)3()3(-)4 -(2+3)0；

223223 8. 已知：

x35x31x2的值 ，求2x4x2x2321 9. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，……这些等式反映出自然数间的某种规律，

设n表示自然数，用关于n的等式表示出来

10.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日

收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 -0.5 三 +1.5 四 -1.8 五 +0.8 每股涨跌 +2 根据表格回答问题 （1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？

四：【课后小结】

数的开方和二次根式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.平方根与立方根

2

(1)如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。

3

（2）如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立

方根；零的立方根是 ；

2.二次根式

（1）

6

（2）

（3）

（4）二次根式的性质

①若a0,则(a)2 ；③ab (a0,b0)

②a2aa()aa()；④bab(a0,b0)

（5）二次根式的运算

①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式abab(a0,b0)；

③除法：应用公式abab(a0,b0)

④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】

1.填空题

2. 判断题

3. 如果(x-2)2=2-x那么x取值范围是（）

7

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A．x2+1 B.x2y5 C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②23③2；④27和3是同类二次根式的是（ ） 3 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④

二：【经典考题剖析】

1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a －6a+9+b4|c5|0，试判断△ABC的2

形状．

2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）2x3； （2）1xx21； （3）1x4

3.找出下列二次根式中的最简二次根式：

27x,x2y2,2ab2,0.1x,a11x2y2,21,x,ab,2

4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

3,75,18,127,2,125,150,238ab3(b0),3ba2b

5. 化简与计算

①675；②44xx2(x2)；③1161m24m425；④m2(m76m92) ⑤23622362；⑥2332623326

三：【课后训练】

1. 当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ） A、x22x2 B、x32x3

C、 x2x32x3x D、3x2x3x 2x 2. 如果(x-2)2=2-x那么x取值范围是（）

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2

3. 当a为实数时，a2=-a则实数a在数轴上的对应点在（ ） A．原点的右侧 B．原点的左侧

8

C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧

4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5. 计算a3+a21所得结果是______． a 6. 当a≥0时，化简3a2= 7.计算 （1）、2x、25x92x； （2）

59522003522004

2（3）、2332； （4）、54862712 3228. 已知：x、y为实数，y=x-4+4-x+1，求3x+4y的值。

x-29. 实数P在数轴上的位置如图所示：化简(p1)2(P2)2 10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+1-2a+a2其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：

原式= a+1-2a+a2= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；

⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________

四：【课后小结】

代数式的初步知识

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 代数式的分类: 有理式

代数式

无理式

2. 代数式的有关概念

(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子

叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．

（2）有理式： 和 统称有理式。 （3）无理式：

3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

（二）：【课前练习】

1. a，b两数的平方和用代数式表示为（ ）

9

A.ab B.(ab) C.ab D.ab 2. 当x=-2时，代数式-x+2x-1的值等于（ ）

A.9 B.6 C.1 D.-1

3. 当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8

4. 一种商品进价为每件a元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每

件还盈利（ ）

A.0.125a元 B.0.15a元 C.0.25a元 D.1.25a元

5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S＝______________；图④的面积P为_____________，则P_____s。 a+b④③ a①2ab②

aa+bbb 二：【经典考题剖析】

222222 1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

122

（1）a-ab+b；（2）S=（a+b）h；（3）2a+3b≥0；（4）y；（5）0；（6）c=2R。

2

2. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，市及时采取措施，使每桶的价格在涨价一下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。

3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行）这样一共剪n次时绳子的段数是（ ） a b a

A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 ⑵ D.4n+5 ⑶ ⑴

2333232

4. 有这样一道题，“当a= 0.35，b=-0.28时，求代数式 7a－6ab+3a＋6ab－3ab－10a+3 ab－2的

值”．小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．

5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？

x平方xxx答案

（1）填写表内空格：

输入x 输出答案 3 1 2 1 -2 13 ... ... （2）发现的规律是：____________________。 （3）用简要的过程证明你发现的规律。

三：【课后训练】

1. 下列各式不是代数式的是（ ）

10

A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、

2y

2. 两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一个数之积用代数式表示为（ ） A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）

xy2

3. 若ab与ab是同类项，下列结论正确的是（ ）

A．X＝2，y=1；B．X=0，y=0；C．X＝2，y=0；D．X=1，y=1 4. 小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），

然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第 2步），如图反映的是前3步的图案，当第１0步结 束后，组成图案的积木块数为 （ ）

第1步 第3步 第2步 A．306 B．361 C．380 D．420

5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列—

—著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .

22 6. 若x=-2,则3x-x+2x+3x= ；

7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一

部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．

8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n个图案中有白色地面砖 块． 9. 下面是一个有规律排列的数表：

上面数表中第9行，第7列的数是_________．

10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； ……

①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32； ④ ； ⑤ ； …… ⑵通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

四：【课后小结】

11

整式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.整式有关概念

（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________叫做这个单项

式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；

（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________的个数，就是

这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项

（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________

（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”

号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算

（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法： ①幂的运算：

amanamn;amanamn;(am)namn;(ab)nanbn 10pa1,ap(a0,p为整数)a②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。 单项式乘以多项式：m(ab) 。 单项式乘以多项式：(mn)(ab) 。 ③乘法公式：

平方差： 。 完全平方公式： 。

a、b型公式：(xa)(xb)x2(ab)xab

④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

（二）：【课前练习】

1. 代数式－4x2y2+xy3-1有___项，每项系数分别是 __________.

2. 若代数式－2xy与3xy是同类项，则代数式3a－b=_______

12

ab+2

52-b

12

3. 合并同类项：⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x2y5xy24x23xy2 4. 下列计算中，正确的是（ ）

33 623222

A．2a+3b=5ab；B．a·a=a；C．a÷a=a ；D．（－ab）=ab5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）． ①（2a－3b）（3b－2a）；②（－2a ＋3b）（2a+3b） ③（－2a +3b）（－2a －3b）；④（2a+3b）（－2a－3b）．

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

二：【经典考题剖析】

1.计算：－7ab+3ab－｛[4ab-(2ab-3ab)]-4ab-(11abb-31ab－6ab｝

2. 若x3m=4,y3n=5,求(x)+(y)3－x·y的值．

22

3. 已知：A=2x+3ax－2x－1, B=－x+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．

2

4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）（其中n为正整数）展

4

开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）展开式中的系数：

1

(a+b)=a +b；

222

(a+b)=a+2ab+b

33223

(a+b)=a +3a b+3ab+b 44322

则(a+b)=____a+____a b+___ a b+_____

6

(a+b)=

5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还

22

有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a＋3ab+ b就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表示．

（1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

22

（a+b）（a+3b）＝a＋4ab十3b．

（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒

等式，并画出与之对应的几何图形．

2m3

n

2m

n

2

2

2

2

2

2

三：【课后训练】

1. 下列计算错误的个数是（ ）

⑵mm=2m； ⑶aaa=a ⑴x+x=x；A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

333+366635035=a8; ⑷(-1)2(-1)4(-1)3=(-1)243=(-1)9

2. 计算：(3a2-2a+1)-(2a2+3a-5)的结果是（ ）

A．a－5a+6; B．a－5a－4; C．a+a－4; D. a +a+6 3. 若x2+ax=(x+)2+b，则a、b的值是（ ） A. a=3,b=; B.a=3,b=-; C.a=0, b=-; D.a=3, b=-

4. 下列各题计算正确的是（ ）

8438-810099105-24

A、x÷x÷x=1 B、a÷a=1 C. 3÷3=3 D.5÷5÷5=5

13

2

2

2

2

3294949432

5. 若3a3bn-5amb4所得的差是 单项式．则m=___．n=_____，这个单项式是____________． 6. －

ab2c32的系数是______，次数是______．

7. 求值：（1－

11111）（1－）（1－）…（1－）（1－）

329222421022

2

8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a毫升硫酸，第二次实验用去了b毫升硫酸，

第三次用去了2ab毫升硫酸，若a=3．6，b=l．4．则化学老师做三次实验共用去了多少毫升硫酸？ 9. ⑴观察下列各式：

⑵由此可以猜想：(

bn

) =____(n为正整数，且a≠0) a ⑶证明你的结论：

10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：

观察下面三个特殊的等式： 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=? 1 1×2= (1×2×3－0×1×2)

312×3= (2×3×4－1×2×3)

31 3×4= (3×4×5－2×3×4)

31将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3 3×4=×3×4×5=20

312 读完这段材料，请你思考后回答：

⑴1×2+2×3+3×4+…+100×101=_________. ⑵1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=___________. ⑶1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）

四：【课后小结】

因式分解

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多

项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

14

⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

（二）：【课前练习】

1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）

223

A．3x－2与 6x－4x B.3（a－b）与11（b－a） C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） A.x21(x1)(x1) ;B.14y2(12y)(12y)2222 C.81xy(9x8y)(9x8y);D.(2y)x(2yx)(2yx)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

A.9x249y2 B.9x249y2

22

4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____

25. 分解因式：（1）9n22C.9x249y2 D.(9x249y2)2；2a2222

（2）xy ；（3）25x9y ； （4）(ab)4(ab)；（5）以上三题用了 公式

22二：【经典考题剖析】

1. 分解因式：

32（1）xyxy；（2）3x18x27x；（3）x1x1；（4）4xy2yx

33223分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意ab2nba，ab2n2n1ba2n1

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 2. 分解因式：

222（1）x3xy10y；（2）2xy2xy12xy；（3）x43223216x2

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

15

3. 计算：（1）11221132119211102 （2）20022200122000219992199822212 分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

4. 分解因式：（1）4x24xyy2z2；（2）a3a2b2a2b

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式：x44；

（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2b2c2abbcac，

求证：△ABC为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证abc， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式ab2bc2ca20， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a2b2c2abbcac0

22222 2a2b2c2ab2bc2ac0 abbcca20

∴abc 即△ABC为等边三角形。

三：【课后训练】

1. 若9x2mxy16y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）

A．24 B．12 C．±12 D．±24 2. 把多项式ab1ab因式分解的结果是（ ）

A．a1b1 B．a1b1 C．a1b1 D．a1b1 3. 如果二次三项式x2ax1可分解为x2xb，则ab的值为（ ）

A．－1 B．1 C．－2 D．2 4. 已知2481可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65 5. 计算：1998×2002＝ ，2724627232＝ 。 6. 若a2a10，那么a2001a2000a1999＝ 。

7. m、n满足m2n40，分解因式x2y2mxyn＝ 。8. 因式分解： （1）x23x22x23x8；（2）a2b22ab2b2a1

16

（3）x1x2x3x41；（4）1a21b24ab 9. 观察下列等式： 11 123 1236

123410……

想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。 10. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足abcbac，试判断△ABC的形状。阅读下面解

题过程：

解：由abcbac得： abacbc ① a2b2244222242242242242232332333233332a22b2c2a2b2 ②

2 即abc ③

∴△ABC为Rt△。 ④

试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题 的结论应为 。

四：【课后小结】

分式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的

主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通

分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。 （5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

17

2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：

AAMAM(其中M0) BBMBM（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：

aaaa bbbb3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 abab同分母ccc的基本性质及分式的符号法 加减acadbc则： 异分母bdbd ①若分式的分子与分母的各项 acac系数是分数或小数时，一般要化为整数。 乘bdbd ②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数分式运算乘除acadad除时，一般要化为正数。 bdbcbc anan 乘方()n(n为整数)bb （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式 ，化为 的分式，然后再按 进行计算 相加减，先（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；

（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．

（二）：【课前练习】 1. 判断对错：

①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式

11＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式＝0无意义（ ） aaxy12x212x2,x13,,,,中，整式和分式的个数分别为（ ） 2. 在3x,0,323xxy A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式

ab (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则 ab11；C．不变；D．缩小为原来的 24分式的值为（ ）

A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的

9x24.分式2约分的结果是 。

x6x95. 分式

xy,,7(y2)的最简公分母是 。

4(xy)(y2)6(yx)(2y)x5x24x5二：【经典考题剖析】

1. 已知分式

,当x≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．

18

x2x22. 若分式的值为0，则x的值为（ ）

x1 A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1

3xxx21)3.（1） 先化简，再求值：(，其中x22. x1x1xx22x1(1)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。 （2）先将

x1x（3）已知4.计算

xyzxyz的值 0，求

xyz346a241x22x1x4a2x2；（1）；（2）（3）1 2a2a2x2xx2x2x（4）211242xyxy；（5） xy241x1x1x1xx3xxy3x分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把x2当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（4）题可以将xy看作一个整体xy，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算依次类推。

5. 阅读下面题目的计算过程：

112，用其结果再与相加，21x1x1x2x1x32x3＝ ① 2x11xx1x1x1x1 ＝x32x1 ②

＝x32x2 ③ ＝x1 ④

（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。

三：【课后训练】

1. 当x取何值时，分式（1）

23x23；（2）；（3）有意义。

x42x12x12. 当x取何时，分式（1）

x32x3；（2）的值为零。

x33x519

3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

（1）2nm2()3(m2)2；（2）abb2abab2b() 4. 若ab7;ab12，则a2b2ab＝ 。

5. 已知

112x3xy2xy3。则分式yx2xyy的值为 。 6. 先化简代数式(a2b2ab2aba2b2ab)(ab)(ab)2然后请你自取一组a、b的值代入求值． 7. 已知△ABC的三边为a，b，c，a2b2c2 =abbcac，试判定三角形的形状．

8. 计算：

（1）1(a122aa13x51a)a22a1；（2）x2x2x2

（3）1x1mnmnn2mnx24x4x242x4；（4）m22mnn2m2n2n1 9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：

已知：方程x1x112的解是x11211=2,x22； 方程xx23的解是x1=3,x23；

方程x1x334的解是x11411=4,x24； 方程xx45的解是x1=5,x25；

问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =101011的解，并写出检验． 10. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知

xyzabbcca(a、b、c互相不相等)，求x+y+z的值 解：设

xyzabbcca=k, 则xk(ab);yk(bc),zk(ca);于是x+y+z=k(abbcca)k•00 仿照上述方法解答下列问题：已知：

yzzxxyxyzxyz(xyz0),求xyz的值。 四：【课后小结】

一次方程

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

整式方程 1.方程的分类 方程有理方程分式方程 2.方程的有关概念

无理方程（1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

20

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________

②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 去分母 去括号 移项 合并 同 类项 系数 化 为1 合并同 类 项法则 具体做法 依据 等式性质 乘法分配 律、去括 号法则 移项法则 注意事项 等式性质 5. 二元一次方程组的解法．

（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其

中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法

叫做加减消元法，简称加减法． 6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组3(x1)y5 ①5(y1)3(x5) ②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的

看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解． （3x+5）

1x+3y19 ①3（2）整体加减，如因为方程①和②的未知数3x+1y11 ②3x、y的系数正好对调，所以可采用两

个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①

得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用

21

一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．

8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．

（二）：【课前练习】

1. 若(32x)∶2＝(32x)∶5，则x＝ 。

2. 如果

2x32与x3的值互为相反数，则x＝ 。 533. 已知x1axby12是方程组的解，则ab＝ 。

y14xby242m14. 若单项式ab2m2m7与ab是同类项，则m＝（ ）

3 A.2 B.±2 C.－2 D.4 5. 已知方程组5xy3x2y5与有相同的解，则a、b的值为（ ）

ax5y45xby1A、a1a4a6a14 B、 C、 D、

b2b6b2b2二：【经典考题剖析】

x37x 1. 解方程：2(x1)1

32k(x3)k(x2)12x2. 若关于x的方程：10与方程52(x1)的解相同，求k的值。 3x5433. 在代数式axbym中，当x2,y3,m4时，它的值是零；当x3,y6,

m4时，它的值是4；求a、b的值。

4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共

有换法（ ）

A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种

解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x、y为非负数），则有：

1、2、3、4、5。2xy10y102x，0x5且x为整数x0、

5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；

（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。 略解：（1）设CE线长为x千米，列方程可得x＝0.4。

D•11.2•C22

xE•0.4

（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A 环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时， 故先后者。

三：【课后训练】

1. 若2x+1= 7，则x的值为（ ）

A．4 B、3 C、2 D、－3

2. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入x → x+6 → 输出 当输出为10时，则输人的x＝______

3. 三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11

4. 已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则x=___________；当y=1时，x=________

xy+7-1-4y2x

5. 若3ab和－7ab是同类项，则 x、y 的值为（ ）

A．x＝3，y ＝－1 B．x＝3，y＝ 3 C．x =1，y=2 D．x＝4，y＝2 6. 方程3x+y=2没有解，由此一次函数y=2－x与y=－x的图象必定（ ）

22x+2y=3y=2x1的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的交点坐标

y=2x+32 A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 6. 二元一次方程组是 ；

7. 已知a、b是实数，且2a6b20，解关于x的方程：(a2)xba1 8. 若ab4b与3ab是同类二次根式，求a、b的值. 9. 解方程（组）

1xx21.80.8x0.030.02xx5；； （1）3（2）341.20.032x1y22(xy)2x3y5345（4）； （3）x3y33x2y12yx3410. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解

的解加以验证

四：【课后小结】

23

一元二次方程

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它

的一般形式是 （其中 、 ）

它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有

实数根；当△＜0时，方程有 实数根；

一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：

⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方

2

法解一元二次方程：ax＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程

两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m)=n的形式；⑤如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b4ac0)

注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项：

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二

22

次方程．如关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、

222

c的值；③求出b－4ac的值；④若b－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b－4a＜0，则方程无解．

2

⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）

⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．

22（二）：【课前练习】

1. 用直接开平方法解方程(x3)8，得方程的根为（ ）

A. x323 B. x1322,x2322 C. x322 D. x1323,x2323 2. 方程x(x1)0的根是（ ）

A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1

3. 设(x1)(x2)0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x12x2＝ 。

24

22

4. 已知关于x的方程4x4kxk0的一个根是－2，那么k＝ 。

224x ＝(x________)2 3二：【经典考题剖析】

5.x2 1. 分别用公式法和配方法解方程：2x3x2

分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关

键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

2. 选择适当的方法解下列方程：

2（1）7(2x3)28； （2）y2y3990

222（3）2x125x； （4）(2x1)3(2x1)20

2分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

223. 已知(ab)(ab)60，求ab的值。

22222 分析：已知等式可以看作是以ab为未知数的一元二次方程，并注意ab的值应为非负数。

4. 解关于x的方程：(a1)x2axa0

22222分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．

2

已知：m是关于x的方程mx －2x＋m＝0的一个根，求m的值．

32

解：把x=m代人原方程，化简得m=m，两边同时除以m，得m =1，所以m=l，

把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．

三：【课后训练】

1. 如果在－1是方程x+mx－1=0的一个根，那么m的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 2. 方程2x(x3)5(x3)的解是（ ）

Ax3 Bx Cx13,x2 Dx3

3. 已知x1，x2是方程x－x－3=0的两根，那么x1+x2的值是（ ） A．1 B．5 C．7 D、

2

2

2

2

525249 44. 关于x的方程(k1)x23(k2)xk2420的一次项系数是－3，则k=_______

25

5. 关于x的方程(a1)xa22a1x50 是一元二次方程，则a=__________.

6. 飞机起飞时，要先在跑道上滑行一 段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为S=

12

at，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求所用的时间t． 2227. 已知三角形的两边长分别是方程x3x20的两根，第三边的长是方程2x5x30的根，求这个三角形的周长。 8. 解下列方程：

（1）x5x20；（2）9(2x3)4(2x5)0；

222xx（3）5(6x27x)22(6x27x)3； 60；（4）x1x19. 在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。

10. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

2x2(2k3)xk23k20的两个实数根，第三边BC的长是5。

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

四：【课后小结】

分式方程及应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出

现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有 和 。

（二）：【课前练习】

11x1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） 1. 把分式方程

x22x

26

A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2

232的根是（ ） xx111 A.－2 B. C.－2， D.－2，1

2212mx13. 当m=_____时，方程2的根为

mx22. 方程4. 如果

AB5x4，则 A=____ B＝________. 2x5x2x3x10ax13有增根，则增根为_____，a=________. x2x25. 若方程

二：【经典考题剖析】

2xx52x11 1. 解下列分式方程： （）11；（2）1；（ 3）；xx32x552xx32x3x2x213(x1)11（4）x；（5）24；（6）2x223x1 分析：

x22xx1x1xx（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别

x211设y，yx，解后勿忘检验。

x1x

1111ABxy31132. 解方程组： 分析：此题不宜去分母，可设＝A，＝B得：，用根

2y112xAB9xy9与系数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。 3. 若关于x的分式方程

2m6x有增根，求m的值。 2x2x2x4

4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18

3

元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．

33

解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根据题意，得36186， 解得x=1.8

(125%)xx 经检验，x=1．8是原方程的解．所以(125%)x2.25 ． 答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．

27

3

点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意

3

找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m.

5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。

三：【课后训练】

1x1 1.方程1去分母后，可得方程（ ）

xx1 A2xx10;Bx2x0;C2xx10;Dx2x20 2.解方程

22222222yxx，将原方程化为（ ） ，设1xx2xx222 Ay10;Byy20;C2yy0;Dyy20 3. 已知方程

ax261的解与方程=3的解相同，则a等于（ ） a1x1xA．3 B．－3 C、2 D．－2 4. 方程

10311的解是 。 x24x3xkx0有增根x=1，则 k的值为________ x1x1x1x+1x1的x值是（ ） x-2x25. 分式方程

6. 满足分式方程

A．2 B．－2 C．1 D．0 7. 解方程： (1)x13x31123x5 2;(2)1;(3)x1x1x1x1x11x1x225x2x83xx211x(4)60;(5)2 x3xx43x1x18. 先阅读下面解方程x＋x2＝2的过程，然后填空.

2

解：（第一步）将方程整理为x－2＋x2＝0；（第二步）设y＝x2，原方程可化为y＋y＝0；

（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，

x2＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x2＝－1，方程无解；（第五步）所以

x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，能够判定方程x2＝

28

－1无解原根据是 。上述解题过程不完整，缺少的一步是 。

9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．

10. 2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．

四：【课后小结】

方程及方程组的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.列方程解应用题常用的相等关系

题型 基本量、基本数量关系 寻找思路方法 工作 工作量、工作效率、工作时间 相等关系：各部分工作量之和=1 （工程） 把全部工作量看作1 常从工作量、工作时间上考虑相等关系 问题 工作量=工作效率×工作时间 相等关系：各部分量之和=总量。设其比例问题 甲:乙:丙=a:b:c中一分为x，由已知各部分量在总量中 所占的比例，可得各部分量的代数式 年龄问题 大小两个年龄差不会变 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。 溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、 溶液（盐水、酒精溶液） 由加溶剂前后溶质不变。两个相等关 稀释系： 问题 百分比浓度溶质溶液100%加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量 加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加 溶质=溶液×百分比浓度 入溶剂后的溶液质量 浓 由加溶质前后溶剂不变。两个相等关度加浓同 系： 问问题 上 加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量 题 加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加入溶质后的溶液质量 等量关系： 混合混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混配制合后所含溶质 问题 混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混合后所含溶剂 利息 本息和、本金、利息、利率、期相等关系： 问题 数关系：利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 1：同地不同时出发：前者走的路程=追 追击路程、速度、时间的关系： 击者走的路程 问题 路程=速度×时间 2：同时不同地出发：前者走的路程+两行地间的距离=追击者走的路程 程相遇同 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲问问题 上 乙两地间的路程

29

题 顺水（风）速度=静水（风）速度航行+水流（风）速度 问题 逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度 多位数的表示方法：abc是一个多位数可以表示为a10b10c（其中0＜a、b、c＜10的整数） 商品利润=商品售价－商品进价 商品利润率=商品利润100%商品进价 2 1：与追击、相遇问题的思路方法类似 2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。 1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。 2：常常设间接未知数。 首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。 数字问题 商品利 润 率问题 2.列方程解应用题的步骤:

（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；

（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程；

（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位．

（二）：【课前练习】

1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则

该商品的进货价是

2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元 3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元

4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为

5. 一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给

22

学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m－1)元（m为正整数，且m－1>100）；

2

如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，

则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元

二：【经典考题剖析】

1. A、B两地相距千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，•如果甲乙二人分别从A、

B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，•求甲乙二人 的骑车速度．

2. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，•决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．为使工 程能提前3•个月完成，•需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

30

（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

4. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，•入场券分为团体票和零售票， 其中团体票占总票数的共售出团体票数的

2．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，33，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每5张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

2

5. 要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

F CAB

三：【课后训练】

DE1. 如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利润率

比2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）

利润（万元） A.1个 B.2个 资金投放总额（万元） 5040 C.3个 D.4个 300

250200100302010200120022000200120022.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年 200010月21日起，某客 年份（年）年份（年）运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1 小时，求列车提速前的速度（只列方程）．

3. 2003年春天，在党和的领导下，•我国进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？

4. 一水池有甲、乙两水管，•已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？

5. 某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％ （不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元， 应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝ 销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？ 6. 某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），1996年由于在销售管 理上进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元， （1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？

（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，

31

求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？

7. 甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。

8. 正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？

9. 某同学把勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15％，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？

10. 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

四：【课后小结】

一元一次不等式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的方向 ．

3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．

4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式．

6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．

7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．

8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）

9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．

10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集．

12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．一元一次不等式组的解．

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即

这个不等式的解。（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。）

32

14.不等式组的分类及解集(a＜b）．

（二）：【课前练习】

1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A.-2>-5 B.x>4 C.xy>0 D.

2

x–x< -1 22．下列说法正确的是（ ）

A.不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；

B.不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变； C.不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；

D.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

3. 关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ） A.0 B.－3 C.－2 D.－1 4. 不等式2x≥x+2的解集是_________． 5. 把不等式组

x+1>0的解集表示在数轴上，确的是图中的（ ） x-10二：【经典考题剖析】

y1y1y1 1. 解不等式1，并在数轴上表示出它的解集。

326分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。答案：y6

x2(x1)32. 解不等式组2x5，并在数轴上表示出它的解集。

x3分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求出解集，标

到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。答案：－1≤x＜5 3. 求方程组xyk的正整数解。

5x3y26分析：由题设知，k必为正整数，由方程组可解得用含k的代数式表示x、y，又x、y 均大于零，可得出不等式组，解出k的范围，再由k为正整数可得k＝6、7、8，分别代入可得解。答案：当k＝6时，x4x1；当k＝8时，

y2y7aa，考虑整数解的定义，并结合数轴确定允许的范围，可得3≤334. 已知不等式3xa≤0，的正整数解只有1、2、3，求a。 略解：先解3xa≤0可得：xa＜4，解得9≤a＜12。不要被“求a”二字误导，以为a只是某个值。 35. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品

33

用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y 与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？略解：（1）设生产A种产品x件，那么B种产品(50x)件，则： 9x4(50x)3603x10(50x)290解得30≤x≤32

∴x＝30、31、32，依x的值分类，可设计三种方案； （2）设安排生产A种产品x件，那么：y700x1200(50x) 整理得：y500x60000（x＝30、31、32）

根据一次函数的性质，当x＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45 000元。

三：【课后训练】

1.如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量

都是1g，则物体 A的质量m(g)的取值范围． 在数轴上：可表示为图⑵中的（ ）

2.使不等式x－5＞4x—l成立的值中的最大的整数是（ ） A．2 B．－1 C．－2 D．0

3.不等式2（x－2）≤x—2的非负整数解的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.使x1、1x、(x－3)0

三个式子都有意义，x的取值范围是（ ） A．x＞0 B．x≥0且x≠3 C．x＞0且x≠3 D．一l≤x≤0 5.不等式组2x+4>0的解集为（ x-1<0）

A．x＞l或x＜－2 B．x＞l C、－2 ＜x＜1 D、x＜2 6.不等式组2x-3<03x+2>0的整数解是______________.

7.解不等式并把解集在数轴上表示出来； （1）

x22(x1)1；（2）x-73x-22+1<2；（3）y1y1y1326

8.解不等式组

3x4(x2)(1)3x+2>2(x-1)2x+4<04x-33x-2;(2)1;(3)2x-10x+8>4x-1212x1

3

9.已知a33a，当a为何整数时，方程组3x6y15x11ya的解都是负数？



34

10.将若干只鸟放入若干个笼子，若每个笼子里只放4只，则有一只鸟无笼可放；若每个笼子放5只，则有一个笼子无鸟可放。问至少有几只鸟？几个鸟笼？

四：【课后小结】

不等式(组)的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不

大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．

2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。（其中检验是正确求解的必要环节）

（二）：【课前练习】

1.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给会4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错倒扣 2分，得分不低于 60分得奖，那么得奖至少应选对（ ）道题．

A．18 B．19 C．20 D．21

2.某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形彩条a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24； B．25； C．26； D．27

3.一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两 位数大于20而小于40，求这个两位数．

4.若干学生分住宿舍，每间4人余20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？

5.某通讯公司规定在营业网内通话收费为：通话前3分钟0.5元，通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元，问此人此次通话时间大约为多少？

二：【经典考题剖析】

1. 光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同，均多于300元且

少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？

2.若方程xkx3k20一个根大于-1，另一个根小于-1，求k的取值范围

3. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电．规定：在每天的7：00至 24：00为用电高峰期．电价为a元／度；每天0：0 0至7：0 0为用电平稳期，电价为 b元／度．下表为某厂4、5月份的用电量和电费的情况统计表：

35

2

⑴ 若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的5月份在平稳期的用电量占当月用电量的

1， 31，求a、b在的值； 4⑵ 若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在 10万元至10．6万元之间（不含10万元和10．6万元），那么该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应 在什么范围？

4.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂 有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元。 （1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？ （3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？

5. 在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?

分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。

三：【课后训练】

1. 已知导火线的燃烧速度是0.7厘米／秒，爆破员点燃后跑开的速度为每秒5米，为了点火后跑到130

米外的安全地带，问导火线至少应有多长？（精确到I厘米）

2. 甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件，乙车间有1人每天生产7件，其余的生产10件，已知各车间生产的零件数相等，且不少于100件又不超过200件，求甲、乙车间各多少人？

3. 商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱

高出10％，但每日耗电量却为0．55度．现将A型冰箱打折出售时一折后的售价为原价的

1，问商10场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0．4 0元计算）． 4. 现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4 人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生人数和宿舍间数．

5. 为了保护环境．某企业决定购买10台污水处理设备，设有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． ⑴清你设计该企业有几种购买方案； ⑵若企业每月产生的污水蟹为2040吨． 为了节约资金，应选择哪种购买方案；

36

⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

6. 某钢铁企业为了适应市场需要，决定将一部分一线员工调整到服务岗位．该企业现有一线员11000人．平均每人全年可创造钢铁产品产值 30万元．根据规划，调整后，剩下的一线员工平均每人全年创造钢铁产品产值可增加30％，调整到服务岗位人员平均每人全年可创造产值24万元．要求调整后企业全年的总产值至少增加 20％，并且钢铁产品的产值不能超过33150万元．怎样安排调整到服务岗位的人数？ 7. 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

⑴ 按该公司要求可以有几种购买方案？ ⑵ 若该公司购进的 6台机器的日生产能 力不能低于 380个，那么为了节约资金 应选择哪种购买方案？

8. 某生产“科学计算器”的公司有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多方考察，发现公司的生产能力受到．决定引人一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作．分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20％，而分派到新生 产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值。而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半，试确定分派到新生产 线的人数．

9. 某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.5千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表示试验的相关数据：

（1）假设甲种饮料配制x千克，请你写出满足提议的不等式组，并求出其解；

（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式，并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？

10. 某校计划明年暑假组织初三教师到新、马、泰（新加坡、马来西亚、泰国）旅游，校长从网上了解

到甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到新、马、泰的标价都是每人3580元，暑期对于教师可给予优惠：甲旅行社可给予每位教师（包括一名带队校长）七五折优惠；乙旅行社可免去一名带队校长的费用，其余教师八折优惠．

（1）若共有x人（含一名带队校长）参加旅游活动，请你帮助校长作出选择：选两家旅行社中的哪

一家，能使学校支付的旅游总费用最少． （2）若初三教师共有18人（不包括校长），问应选哪家旅行社？这时应支付旅游总费用多少元？

四：【课后小结】

平面直角坐标系与函数的概念

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

32 1.平面直角坐标系 第二象限第一象限1(1) 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴，构成平面

O231直角坐标系，其中，水平的数轴叫做_____轴或_____轴， -3-2-1-1第三象限第四象限 通常取向右为正方向；铅直的数轴叫做____轴或_____轴， -2取竖直向上为正方向，两轴交点O是原点，在平面中建 -3立了这个坐标系后，这个平面叫做坐标平面。

(2) 坐标平面的划分:x轴和y轴将坐标平面分成四个象限，如图所示，按___________

37

方向编号为第一、二、三、四象限。注意：坐标原点、x轴、y轴不属于任何象限。

(3) 点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由两个有顺序的实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，其位置不能颠倒，(-2，3)与(3，-2)是指两个不同的点的坐标。

(4) 各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律 ①x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的点的_____坐标为正数；x轴下方的点的______坐标为负数。即第_____、_____象限及y轴正方向(也称y轴正半轴)上的点的纵坐标为______数；第_____、______四象限及y轴负方向(也称y轴负半轴)上的点的纵坐标为_______数。反之，如果点P(a，b)在轴上方，则b____0；如果P(a，b)在轴下方，则b_____0。

②y轴将坐标平面分为两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第____、______象限和x轴负半轴上的点的______坐标为负数；第______、_______象限和和_____轴正半轴的的点的______坐标为正数。反之，如果点P(a，b)在轴左侧，则a_____0；如果P(a，b)在轴右侧，则a_____0。

③规定坐标原点的坐标是(0，0)

④各个象限内的点的符号规律如下表。 坐标符号 点所在位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 横坐标 纵坐标 上表反推也成立，如：若点P(a , b)在第四象限，则a > 0 ,b < 0等等。 ⑤坐标轴上的点的符号规律

坐标符号 点所在位置 X轴 Y 轴 原点 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 横坐标 纵坐标 说明：a:由符号可以确定点的位置，如：横坐标为0的点在y轴上；横坐标为0，纵坐标小于0的点在y轴的负半轴上等等；b:由上表可知x轴的点可记为(x , 0) ,y轴上的点可记做(0 , y )。

(5) 对称点的坐标特征:①关于x轴对称的两点：______坐标相同，_____坐标互为________。如点P(2，-4)关于x轴对称的点的坐标为__________________；反之亦成立；②关于y轴对称的两点：______坐标相同，_____坐标互为________。如点P(2，-4)关于y轴对称的点的坐标为__________________；反之亦成立；③关于原点对称的两点：横坐标、纵坐标都是互为___________；如P(-2，3)与Q__________关于原点对称。

(6) 坐标平面内的点和有序实数对(x , y)建立了___________关系。即：在坐标平面内每一点，都

可以找到惟一一对有序实数与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都可以在坐标平面内找到惟一一个点与它对应。

(7) 第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；

第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。 2.函数基础知识

(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的 ，y都有

与之对应，此时称y是x的 ，其中x是自变量，y是因变量．

(2) 自变量的取值范围：①函数关系式是整式，自变量取值是 ．②函数关系式是分式，

38

自变量取值应使得 不等于0．③函数关系式是偶次根式，自变量取值为 为非负数．（4）实际问题的函数式，使实际问题有意义。

(3)常量与变量：常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。

(4) 函数的表示方法:① ；② ；③ 。

（二）：【课前练习】

1.点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 .

2.点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）

A.（－1，2） B.（－1，－2） C.（1，－2） D.（2，－1） 3. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，6）、B（2，3）、C（3，2）． ⑴ 在下面的平面直角坐标系中描出点A、B、C； ⑵ 根据你所学过的函数类型，推测这三个点会同时在哪种函数的图像上，画出你推测的图像的草图. 4.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).

5.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（ ） A. （－1，1）B. （－1，2）C. （－2，1） D. （－2，2）

二：【经典考题剖析】

炮 1.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 帅相2.在直角坐标系中，点P（3，5）关于原点O的对称点P的坐标是 图 3 ； 3.函数y

x1中，自变量x的取值范围是 ( )

A. x < 1 B. x ≤ 1 C. x > 1 D. x ≥1

4.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是 上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时

到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

5.下图是由权威机构发布的，在1993年4月～2005年4月期间由中国经济状况指标之 一中国经济预警指数绘制的图表．

（1）请你仔细阅读图表，可从图表中得出：

我国经济发展过热的最高点出现在 年 我国经济发展过冷的最低点出现在 年 （2）根据该图表提供的信息，请你简单描述我国从

1993年4月到2005年4月经济发展状况，并预 测2005年度中国经济发展的总体趋势将会怎样？

三：【课后训练】

39

1. 如图 ，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），

( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（ ） A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）

2.已知M(3a－9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．0

3.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于原点的对称点在（ ） A．第一象限；B．第M象限；C．第M象限；D．第四象限

○

4.如图， △ABC绕点C顺时针旋转90后得到AA′、B′C′， 则A点的对应点A′点的坐标是（ ） A．（－3，－2）；B．（2，2）；C．（3，0）；D．（2，l） 5.点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于

x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____． 6.李明、王超、张振家及学校的位置如图所示．

⑴ 学校在王超家的北偏东____度方向上，与王超家大约_____米。 ⑵ 王超家在李明家____方向上，与李明家的距离大约是____米； ⑶ 张振家在学校____方向上，到学校的距离大约是______ 米．

7.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为了促销制定了两种优惠方法，甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某书法兴趣小组欲购买这种毛笔10支，书法练习本x（x＞10）本．

（1）写出每种优惠办法实际付款金额 y甲(元)、y乙（元）与x（本）之间的关系式； （2）对较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠方法付款更省钱？

8. 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0．4%．

（1）若第x(x≥2）年小明家交付房款y元，求年付房款y（元）与x(年）的函数关系式；（2）将第三

年，第十年应付房款填人下列表格中

9. 如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1；第二次将OA1B1变换成OA2B2 ，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知 A(1，3)， A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3 (6，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的

坐标是________，B4的坐标是_______；

（2）若按第（1）题的规律将△OAB进行第n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律推测An的坐标是_____，Bn的坐标是_____.

10.已知平面直角坐标系上有六个点，

请将上述的六个点按下列要求分成两类，并写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征（请将答案按要求写在横线上，特征不能用否定形式表述，点用字母表示）． ．．．．．．．．．．．⑴甲类含两个点，乙类含其余四个点．

甲类：点___，___是同一类点，其特征是 ；

乙类：点__、__、__、__是同一类点，其特征是 ； ⑵甲类含三个点，乙类含其余三个点．

甲类：点__，__，___是同一类点，其特征是 ； 乙类：点__，__，___是同一类点，其特征是

四：【课后小结】

40

一次函数

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 一次函数的意义及其图象和性质

（1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形

式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数．

（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经

过点( ， ),( ， ）的一条直线，正 比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条 直线，如右表所示．

（3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而 ；

当k＜0时，y的值随x值的增大而 ．

（4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

k0①； 直线经过第 象限（直线不经过第 象限）k0②

k0； 直线经过第 象限（直线不经过第 象限）

k0k0③； 直线经过第 象限（直线不经过第 象限）k0④

k0； 直线经过第 象限（直线不经过第 象限）

k0 2. 一次函数表达式的求法

（1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析式

的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：① ；②

得到关于待定系数的方程或方程组；③ 从而写出函数的表达式。

（3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，

只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

（二）：【课前练习】

3x

1. 已知函数：①y=－x，②y= ，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y= ，⑥y=7－3x中，正比例函数有

x3（ ）

A．①⑤ B．①④ C．①③ D．③⑥

2. 两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+n，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）

3. 如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（ ）

A．k＞0，b＞0； B．k＞0，b＜0； C．k < 0，b＜0； D．k ＜0，b＞0

41

4. 生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_________㎝； 5. 若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x 的减小而____________

二：【经典考题剖析】

1.在函数y=－2x+3中当自变量x满足______时，图象在第一象限．

3

解：0＜x＜ 点拨：由y=2x+3可知图象过一、二、

2

33

四象限，与x轴交于( ，0)，所以，当0＜x＜ 时，图象在第一象限．

22

2.已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时：

（1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y轴交点在x轴下方．

3.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息： （1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；

（2）一个月内（以30天计）有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；

（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,当天卖不掉的报纸，以每份0．1元退给报社． ①填下表：

②设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200 )时，月利润为y元，试求出y与x之间的函数表达式，并求月利润的最大值．

4. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小

－

时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝103毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

（1）分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的

y时间多长？ （微克） 6 3

xO210（小时）

问题二图

5.如图，直线l1、l2相交于点A,l1与x轴的交点坐标为（－1，0），

l2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：

⑴求出直线l2的一次函数的表达式；

⑵当x为何值时, l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

42

三：【课后训练】

1. 在下列函数中，满足x是自变量，y是因变 量，b是不等于0的常数，且是一次函数的是（ ） A. y2x B.y=-5 C.y=-5x+2 D.y=x2

x2. 直线y=2x+6与x轴交点的坐标是（ ）

9 A．（0，－3）；B．（0，3）；C．（3，0）；D.（－ ,1）

23. 在下列函数中是一次函数且图象过原点的是（ ） A.y=-1x2 B.y=-5x+1 C.y=4x+8 D.y=-5x

34

4. 直线 y= x＋4与 x轴交于 A，与y轴交于B, O为原点，则△AOB的面积为（ ）

3

A．12 B．24 C．6 D．10

5. 若函数 y=（m—2）x＋5－m是一次函数，则m满足的条件是__________. 6. 若一次函数y=kx—3经过点(3，0)，则k=__，该图象还经过点( 0， ）和 （ ，－2）

7. 一次函数y=2x＋4的图象如图所示，根据图象可知， 当x_____时，y＞0；当y>0时，x=______．

8．观察函数图象l－6－40，并根据所获得的信息回答问题： ⑴折线OAB表示某个实际问题的函数图象， 请你编写一道符合图象意义的应用题；

⑵根据你所给出的应用题，分别指出x轴，y轴所 表示的意义，并写出A由两点的坐标；

⑶求出图象AB的函数表达式，并注明自变量x的取值范围.

9. 某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需1/3天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需1/2天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。

⑴设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系或（不要求写自变量的范围） ⑵如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

10. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度，得到如下数据见下表： ⑴ 小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x 的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式 ⑵ 小明回家后测量了家里的写字台和凳于，写

字台的高度为77厘米，凳子的高度为43．5厘米，请你判断它们是否配套，并说明理由．

四：【课后小结】

反比例函数

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的

-1

形式（或y=kx，k≠0），那么称y是x的反比例函数．

43

kx

2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2） 中分母x的指数为1；例如y=

xk就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y

≠0的一切实数．

3．反比例函数的图象和性质．

k

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= 具

x

有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势． 5. 反比例函数y=

kk (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂xx线,所得矩形面积为│k│。

6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为

（二）：【课前练习】

1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. y2x；B. y2. 反比例函数y211x；C. y；D. y 2xx3212m中，当x＞0时，y随x的增大而增大， x则m的取值范围是（ ） A. m＞

11；B. m＜2；C. m＜；D. m＞2 22k

3. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）

x

4. 已知函数 y=（m－1）x2

m2m1，当m=_____时，它的图象是双曲线．

ym 5.如图是一次函数y1kxb和反比例函数y2的图象， x观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围

-2o3x二：【经典考题剖析】

44

1.设y(2n1)xn2n1

（1）当n为何值时，y与x是正比例函数，且图象经过一、三象限

（2）当n为何值时，y与x是反比例函数，且在每个象限内y随着x的增大而增大

2.有x的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知x4,y8是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而x2,y2是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值 （1）求这三个函数的解析式，并求x1.5时，各函数的函数值是多少？ （2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果

k

3. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k≠0）的图象交于M、N两点．

x ⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 解：（1）将N（1，4）代入y反比例函数的解析式为yk中 得k=4 x44将M（2，m）代入解析式y中得m2将 xx2ab2M（2，2），N（1，4）代入yaxb中解得a2,b2

ab4一次函数的解析式为y2x2

（2）由图象可知：当x＜1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值.

点拨：用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式

4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线． 直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4． 求一次函数和反比例函数的解析式．

5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：

⑴请你认真分析表中数据，从你所学习 过的一次函数、二次函数和反比例函数

45

中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； ⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到

0．01万元）

三：【课后训练】

k 1.关于y(k为常数)下列说法正确的是（）

x A．一定是反比例函数； B．k≠0时，是反比例函数

C．k≠0时，自变量x可为一切实数； D．k≠0时, y的取值范围是一切实数

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生

产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A．yx500050003；B．y；C．y；D．y 50003xx500x15m213. 已知点（2，）是反比例函数y=图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）

x2 A．（3，－5）； B．（5，－3）； C．（－3，5）； D．（3，5）

4. 面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的（ ） 5. 已知反比例函数y=

k的图象在第一、三象 x2限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而__________________. 6. 已知反比例函数y=（m－l）x3m的图象在二、四象限，则m的值为_________. 7. 已知：反比例函数y=

k和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A（－3，4）且一次函数的图象与xx轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式． 8. 某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至

0.55—0.75元之间，经测得，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度） 与(x－0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％

【收益=用电量×（实际电价一成本价）】 9. 反比例函数y=

k的图象经过点 A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式； xk⑵经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？若有，求出

x坐标；若没有，说明理由

10. 如图所示，点P是反比例函数y一上图象上的一点，过P作x

轴的垂线，垂足为E．当P在其图象上移动时，△POE的面积将 如何变化？为什么？对于其他反比例函数，是否也具有相同的 规律？

四：【课后小结】

46

反比例函数

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的

-1

形式（或y=kx，k≠0），那么称y是x的反比例函数．

kx2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2） 中分母x的指数为1；例如y=

xk就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y

≠0的一切实数．

3．反比例函数的图象和性质．

k

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= 具

x

有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势． 5. 反比例函数y=

kk (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂xx线,所得矩形面积为│k│。

6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为

（二）：【课前练习】

1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. y2x；B. y2. 反比例函数y21x1；C. y；D. y 2x2x312m中，当x＞0时，y随x的增大而增大， x则m的取值范围是（ ） A. m＞

11；B. m＜2；C. m＜；D. m＞2 22k

3. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）

x

47

4. 已知函数 y=（m－1）x2

m2m1，当m=_____时，它的图象是双曲线．

ym 5.如图是一次函数y1kxb和反比例函数y2的图象， x观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围

-2o3x二：【经典考题剖析】

1.设y(2n1)xn2n1

（1）当n为何值时，y与x是正比例函数，且图象经过一、三象限

（2）当n为何值时，y与x是反比例函数，且在每个象限内y随着x的增大而增大

2.有x的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知x4,y8是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而x2,y2是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值 （1）求这三个函数的解析式，并求x1.5时，各函数的函数值是多少？ （2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果

k

3. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k≠0）的图象交于M、N两点．

x

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线． 直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4． 求一次函数和反比例函数的解析式．

5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：

⑴请你认真分析表中数据，从你所学习 过的一次函数、二次函数和反比例函数 中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； ⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到

0．01万元）

三：【课后训练】

48

1.关于yk(k为常数)下列说法正确的是（） x A．一定是反比例函数； B．k≠0时，是反比例函数

C．k≠0时，自变量x可为一切实数； D．k≠0时, y的取值范围是一切实数

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生

产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ） A．yx500050003；B．y；C．y；D．y 50003xx500x15m213. 已知点（2，）是反比例函数y=图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）

x2 A．（3，－5）； B．（5，－3）； C．（－3，5）； D．（3，5）

4. 面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的（ ） 5. 已知反比例函数y=

k的图象在第一、三象 x2限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而__________________. 6. 已知反比例函数y=（m－l）x3m的图象在二、四象限，则m的值为_________. 7. 已知：反比例函数y=

k和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A（－3，4）且一次函数的图象与xx轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式． 8. 某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至

0.55—0.75元之间，经测得，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度） 与(x－0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％

【收益=用电量×（实际电价一成本价）】 9. 反比例函数y=

k的图象经过点 A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式； xk⑵经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？若有，求出

x坐标；若没有，说明理由

10. 如图所示，点P是反比例函数y一上图象上的一点，过P作x

轴的垂线，垂足为E．当P在其图象上移动时，△POE的面积将 如何变化？为什么？对于其他反比例函数，是否也具有相同的 规律？

四：【课后小结】

二次函数(二)

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．二次函数与一元二次方程的关系：

22

（1）一元二次方程ax+bx+c=0就是二次函数y=ax+bx+c当函数y的值为0

时的情况．

2

（2）二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；

49

当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元

2

二次方程ax＋bx＋c=0的根．

22

（3）当二次函数y=ax+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax+bx+c有两个不相

22

等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax＋bx＋c＝0

2

有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程

2

y=ax+bx+c没有实数根 2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 3.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

2

（二）：【课前练习】

1. 直线y=3x—3与抛物线y=x －x+1的交点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定

2. 函数yaxbxc的图象如图所示，那么关于x的方程ax2bxc0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根； B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根； D．无实数根

2

3. 不论m为何实数，抛物线y=x－mx＋m－2（ ） A．在x轴上方； B．与x轴只有一个交点 C．与x轴有两个交点； D．在x轴下方

2

4. 已知二次函数y =x－x—6·

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标； （2）画出函数图象；

2

（3）观察图象，指出方程x－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积.

22

二：【经典考题剖析】

1. 已知二次函数y=x－6x+8，求：

（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

2

①方程x －6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？

2

2. 已知抛物线y＝x－2x－8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

50

2

3.如图所示，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以

线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90， 过C作CD⊥x轴，垂足为D

OA（1）求点A、B的坐标和AD的长

（2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式

4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB D边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向 点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：

（1） 设运动后开始第t（单位：s）时，五边形APQCD的面积为S

2

（单位：cm），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围 （2）t为何值时S最小？求出S的最小值 A5. 如图，直线yo

BCDCQ8。 yx2bxc经过点A、P、O（原点）

33x3(k0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线4kyBPB（1）求过A、P、O的抛物线解析式；

OA（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使

第2题图 0

∠QAO＝45，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

Px三：【课后训练】

1.已知抛物线y5x(m1)xm与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于值为（ ）

A.－2 B.12 C.24 D.－2或24

22.已知二次函数y1axbxc（a≠0）与一次函数y2kxm（k≠0）的图像交于点A（－2，4），

249，则m的25B（8，2），如图所示，则能使y1y2成立的x的取值范围是（ ） A.x2 B.x8 C.2x8 D.x2或x8

yyy

A AOBx B

OxEAOBx3题图 4题图 2题图 23.如图，抛物线yaxbxc与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE

2＝BE，则下列关系：①ac0；②b0；③ac1；④SABEc其中正确的有（ ）

A..4个 B.3个 C.2个 D.1个

51

4.设函数yx2(m1)xm1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为

21∶3，则m的值为（ ） A.

11或2 B. C.1 D.2 3325.已知二次函数yax3x5a的最大值是2，它的图像交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，则SABC＝ 。

6.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地 面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用 米的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。 AOB（精确到0.1米）

6米 8米 27.已知二次函数yaxbxc（a≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为x1，它的图像与x轴交

题图 4 第3题图 22于两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，x1x210。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

8.已知抛物线yx(m4)x2m4与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1x2，x12x20，若点A关于y轴的对称点是点D。

（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；

（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且 △HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；

2

9.已知如图，△ABC的面积为2400cm，底边BC长为80cm，若点D 在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行

2

四边形，设BD=xcm，S□BDEF=y cm． 求：（1）y与x的函数关系式；（2）自变量 x的取值范围； （3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

10.设抛物线yaxbxc经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M。 （1）求b和c（用含a的代数式表示）；

（2）求抛物线yaxbxc1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；

（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线yaxbxc上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由。

2222四：【课后小结】

函数的综合应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.解决函数应用性问题的思路

52

面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。

2.解决函数应用性问题的步骤

（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本

质抽象转化为数学问题。

（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验

所得的解，写出实际问题的结论。

（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。）

3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，

运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。

（二）：【课前练习】

1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余

油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）

A．Q＝0．2t； B．Q＝20－2t； C．t=0．2Q； D．t=20—0．2Q

2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ）

A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小 B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平 C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产 D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产

3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）

A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元

4.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y1上，点N在直线yx3上，设点M（a，2x2，则抛物线yabx(ab)x的顶点坐标为 。 b）

5.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空： ⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_______， 自变量x的取值范围是_________；

（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式为___________．

二：【经典考题剖析】

1.如图（ l ）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象．目前

这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（ l ）分别改画成图（ 2 ）和图（ 3 ) , ①说明图（ 1 ）中点 A 和点 B 的实际意义：

②你认为图（ 2 ）和图（ 3 ）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 .

③如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象。

53

2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．

2

(1)储存室的底面积S(单位：m)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?

2

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m，施工队施工时应该向下挖进多深?

(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。

3.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：

25 … 刹车距离y（米） 0 3 2 15 6 35 … 444（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在平面坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。

（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数 ，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。

4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件． ⑴ 写出售价x（元／件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式； ⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？

5.启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万元）时，产品的年销售

速度x（千米/小时） 0 5 10 15 20 x277量将是原销售量的y倍，且y=x，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：

101010（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？

（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如表：

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收 益总额不得低于1.6万元，问：有几种符合要求的投资 方式？写出每种投资方式所选的项目． 三：【课后训练】

1.一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出

发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．

根据图象，下列说法错误的是（ ） A．爸爸登山时，小军已走了50米

B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C．小军比爸爸晚到山顶

D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快

54

2.已知圆柱的侧面积是10π㎝ ，若圆柱底 面半径为r cm，高为h cm，则h与r的函 数图象大致是图中的（ ）

3.面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的 高为y，则y与x的变化规律用图象表示大 致是图中的（ ）

4.如图，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数

2

h=3.5t-4.9t(t的单位：s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s

5.一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式__________ 1

6. 有一面积为100的梯形，其上底长是下底长的 ，若上底长为x，高为y，则y与x的函数关系式

3为_________-

7.为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度，得到如下数据见下表： ⑴ 小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x 的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式 （不要求写出x的取值范围）

⑵ 小明回家后测量了家里的写字台和凳于，写字台的高度为77厘米，凳子的高度为43．5厘米，请你判断它们是否配套，并说明理由．

8.“给我一个支点，我可以把地球撬动” 这是古希腊科学家阿基米德的名言。小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。

（1）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

25

（3）假定地球重量的近似值为6х10牛顿（即为阻力）假设阿基米德有500牛的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？

9.某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．

⑴ 用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵ 求y与x之间的函数关系式；

⑶ 当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

10.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示直角坐标系下经过原点O的一条抛物线；图中标出的数据为已知条件,在跳某个规定动作时，正常情况下，运动员在空中的最高处距离水面10千米，人水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误． ⑴求这条抛物线的关系式；

⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是⑴中的抛物 线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为 3千米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

2

四：【课后小结】

55

数据的收集

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.统计学中的基本概念．

（1）总体： 。 （2）个体： 。

（3）样本： 。 （4）样本容量： 。

（5）样本是从总体中抽出来的，它能在一定程度上反映总体的情况，但样本既然是总体的一部分，

用样本反映总体就会有一定的局限性，一般来说，样本容量越大，用样本估计总体就越准确。 2.数据收集方法的选择： 、 。 （1）普查： 。

（2）抽样调查： ；抽样调查时要注意样本的 性和

性。

（二）：【课前练习】

1.为了解我县5000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩

进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这5000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．l个

2.某校为了解八年级10个班学生（每班40名）吃零食情况，下列做法中，比较合理的是（ ） A.了解每一位学生吃零食情况； B.了解每一位男生吃零食情况； C.了解每一位女生吃零食情况；

D.每班个抽取5名男生和5名女生，了解吃零食情况 3.下列几次调查中，比较适合抽样调查的有（ ）

①为了解某种炮弹的威力，需要发射炮弹测量它的杀伤半径。②为了解某种汽车的安全装置，需要对这种汽车作破坏实验。③为了解某水库情况。 A.0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个；

4.要对空调的质量进行调查分析，从中抽取一部分进行实验，这样的调查方法叫

5.为了解某一地区八年级学生的身体发育情况，将对学生的身高调查分析，方法是从这一地区的不同区域选20所学校，共抽取男女学生200名，测出每位学生的身高共200个数据，在这个问题中： ①总体是指 。 ②个体是指 。 ③样本是指 。 ④样本容量是指 。

二：【经典考题剖析】

1.为了解某小区居民的用水情况，随机 月用水量（吨） 10 13 14 17 18 抽查了该小区10户家庭的月用水情况 户数 2 2 3 2 1 结果如表：

这个抽样调查的总体是 ，个体是 ，样本

是 ，样本容量是 。

2.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对80%初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：

A.测量体校中80%男子篮球、排球队员的身高； B.查阅有关外地80%男生身高的统计质料；

C.在本市的市、区、郊、县各选一所高级中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，

56

用抽签的方法分别选取10名男生，然后测量他们的身高。

（1）为准确估计本市初中这三个年级男生身高分布情况，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理？ （2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的： 人数 年级 七年级 八年级 九年级 总计（频数） 身高（cm） 143~153 12 0 15 153~163 18 9 6 33 163~173 33 39 96 173~183 6 15 12 183~193 0 0 3 3

（注意：每组含最低值，不含最高值），根据表中的数据填写表中的空格。

3.要想了解养鱼池中鱼苗的成活情况，采用了估计的方法。先撒一网到50尾鱼，再将这些鱼做上标记后，又撒一网，捕到40尾鱼，其中做有标记的鱼有2尾，估计池中大约有多少尾鱼？（假设鱼在鱼池中的分布是均匀的）

4.小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天中小轿车每天行驶的路程： 时间 路程（km） 第1天 46 第2天 39 第3天 36 第4天 50 第5天 54 第6天 91 第7天 34 请你运用统计知识，解答下列问题：

（1）小谢家每月（按30天计算）要行驶多少千米？

（2）若每行驶100千米需汽油8L，汽油每升3.45元。小谢家一年（按12个月计算）的汽油费用是多少元？

5.某农户承包荒山后种了44棵苹果树，现在进入第三年收获期，收获时，先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的批改质量如下（单位：千克）：35，35，34，39，37。

（1）在这个问题中，总体是指 ；个体是指 ； 样本是指 ；样本容量是指 。

（2）试根据样本平均数去估计总体情况，你认为该农户共可收获苹果多少千克？ （3）若市场上苹果价为每千克5元，则该农户今年苹果收入将达多少元？

三：【课后训练】

1.下列调查方式不合适的是（ ）

A.为了解全市初中生每周阅读课外书的时间，采取抽样调查的方式。 B.为了解全班同学的睡眠状况，采用普查的方式。

C.为了解人们保护水资源的意识，采取抽样调查的方式。

D.对载人航天器“神州六号”零部件的检查，采取抽样调查的方式。

2.为检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取50个进行检测，在这个问题中， 个体是（ ）

A.每个零件； B.每个零件的长度； C.50； D.50个零件的长度

57

3.为考察某地区12000名学生的中考数学成绩，从中抽取40袋试卷，每袋试卷30份，在这个问题中，样本容量是（ ）

A.40； B.30； C.12000； D.1200

4.为了解水果在民众中受欢迎情况，采用 方式调查。

5.某市上学期共有7500名初中毕业生，为调查分析毕业考的数学成绩，从中抽取50所学校共500份毕业数学试卷，在这次抽样分析中，样本是 ， 样板容量是 。

6.为了完成下列任务，你认为应采用什么调查方式更合适？ ①了解你们班同学假期时间是如何安排的； ②考察一批汽车的抵抗碰撞的情况； ③了解某市2005年内发生的交通事故；

④了解某汽车站出入人员的SARA病毒感染情况。

7.为掌握某轮渡码头今年内每天的客运量，在一周内作了详细统计如下表： （1）求这一周平均每天的客运量．

（2）本周哪几天的客运量超过了平均客运量？

8.为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总质量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量240克． （1）求1号电池和5号电池每节各重多少克； （2）学校环保小组为了估计四月份收集电池

的总质量，他们随机抽取了该月某5天收集废电池的节数如上表：

分别计算这5天两种废电池每天平均收集多少节？并由此估计4月份环保小组收集废电池的总质量是多少克？

9.为了估算冬季取暖一个月使用天 然气的开支情况，从11月15日起，小刚连续八天

3

每晚记录了天然气表显示的读数如下表（单位：m） 小刚妈妈11月15日买了一张面值500 元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1．60

元，请你估计这张卡够小刚家用一个月（按30天算）吗？

10.人工养殖鱼苗成活率为75%，某专业户放养鱼苗2万尾，一年后在出售前捕捞100尾，称得质量如下：0.35千克的20尾，0.4千克的30尾，0.45千克的20尾，0.5千克的30尾。 （1）根据样本平均数估计鱼的产量；

（2）如果按每千克8元出售，鱼苗及饲养成本为2万元，头一年的收入可达多少元？ （3）若第三年的收入是45500元，则后两年收入的平均增长率是多少？

四：【课后小结】

数据的描述

58

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.描述数据集中趋势和平均水平特征的数

（1）平均数： 。 （2）加权平均数： 。 （3）中位数： 。 （4）众数： 。 2.描述数据波动大小（离散程度）特征的数

（1）方差： 。 计算公式： 。 （2）标准差： 。 计算方法是 。 （3）极差： 。

（二）：【课前练习】

1.已知一组数5，7，6，6，4，7，10，7，7，1。 （1）这组数据的平均数是 。（2）这组数据的中位数是 。 （3）这组数据的众数是 。

2.若数据5，1，0，x，4，10的众数为5，则它的中位数是 。 3.已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的方差是（ ）

A.0； B.11； C.2； D.2

4.甲、乙两名学生在相同条件下各射靶10次，两人命中环数的平均数为x甲x乙7

22 方差S甲3；S乙1.2，射击情况较稳定的是（ ）

A.甲； B.乙； C.甲、乙一样稳定； D.不能确定 5.在样本方差的计算公式中S21222x110x210x510中，数5和10分别表5示（ ）

A.样本容量、样本方差；B.样本平均数、样本容量； C.样本容量、样本平均数；D.样本标准差、样本平均数

二：【经典考题剖析】

1.银河公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表： （1）求销售额的平均数、众数、中位数。 销售额（万元） 3 4 5 6 7 （2）今年公司为了调动员工的积极性，提高 销售人数（人） 1 3 2 1 1 销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据 （1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少元？ 2.一家饭庄所有工作人员的月收入（单位：元）情况如下：

8 1 10 1 59

（1）该饭庄所有员工的平均收入 职位 经理 领班 领位员 厨师 是多少？ 人数 1 2 2 2 （2）该饭庄所有员工收入的中位 收入（元） 4000 1200 800 1500 数是多少？ 职位 厨师助理 服务员 洗碗工 （3）该饭庄所有员工收入的众 人数 3 8 2 数是多少？ 收入（元） 800 700 500 （4）你觉得用以上三个数中的哪 一个数来代表饭庄员工收入水平更恰当？说说你的理由。

（5）某天，该饭庄全体人员有一名辞职，如果其他员工月收入不变，那么全体人员的平均工资就会降低。如果知道辞职的人是厨师或厨师助理，你能确认辞职的是哪个岗位上的员工吗？

3.某校要从A、B两名选手中选一名参加全市中学生100米短跑比赛，在最近的8次预选赛中，他们的成绩如下：

A：12.1，12.5，13.0，12.5，12.8，12.2，12.4，12.5 B：12.0，12.9，12.2，13.1，12.2，13.0，12.1，12.9 （1）他们的平均成绩格式多少？ （2）他们这8次成绩的方差是多少？

（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？

（4）历届比赛表明，成绩达到12.6秒就有可能夺冠，若以夺冠为目标，你认为应选谁参加这次比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到12.2秒就能打破记录，那么若以破记录为目标，你认为应选谁参加这次比赛？

4.甲、乙两人在相同的条件下个射击10次，成绩如图所示。 （1）填写下表： 分类 平均数 方差 中位数 命中9环以上 （2）从四个不同的角度进行分析： 甲 7 1.2 1 ① 从平均数和方差结合（分析偏离程度） 乙 ② 从平均数和中位数结合看（分析谁的成绩好些）

环数10③ 从平均数和命中9环以上的

98次数相结合看（分析谁的成绩好些）

7④从折线图上两人射击命中环数及走势看 654（分析谁更有潜力）

35.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的 21台阶.图11是其中的甲、乙路段台阶的示意图.请你用

一二三四五六七十次数所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： 甲乙（1）两段台阶路有哪 些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起 来更舒服？为什么？ （3）为方便游客行走， 需要重新整修上山的 小路.对于这两段台阶

路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.

三：【课后训练】

1.某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按5 0％20 0％、30％的比例计人学期总

评成绩，9 0分以上为优秀，

甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分）， 学期总评成绩优秀的是（ ）

A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙

60

2.下列说法中，错误的有（ ）

①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据8，9，10，11，1l的众数是2；③如果数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么(x1－x）＋（x2－x）+…（xn－x）=0；④数据0，－1，l，－2，1的中位数是l．

A．4个 B．3个 C．2个 D．l个

23.已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2=0．055，乙组数据的方差S乙=0.105，则

（ ）

A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大

C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较

4.刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这10次成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 5. 下表是一文具店6～12月份某种铅笔 销售情况统计表：

姓名 极差 平均成绩 中位数 众数 方差 观察表中数据可知，平均数为 、中位数为 小王 40 80 75 75 190 和众数为 ．

小李 6.已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c

＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为__________. 7.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁） 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57．

⑴甲群游客的平均年龄是多少？中位数、众数呢？其中能较好反映甲群游客年龄特征的是什么？ ⑵乙群游客的平均年龄是多少？中位数、众数呢？其中能较好反映乙群游客年龄特征的是什么？ 8.个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资：王某3000元，厨师甲450元，厨师乙 400元，杂1320元，招待甲 350元，招待乙 320元，会计410元． ⑴计算工作人员的平均工资；

⑵计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收人的一般水平？ ⑶去掉王某的工资后，再计算平均工资；

⑷后一个平均工资能代表一般帮工人员的收人吗？ ⑸根据以上计算，从统计的观点看，你对（3）、（4）的结果有什么看法？ 9.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数次数 1 2 3 4 5 学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如姓名 成绩 表： 小王 60 75 100 90 75 根据右表解答下列问题： 小李 70 90 80 80 80 （1）完成下表：

（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的 同学是谁？若将80分以上（含 80分）的成绩视为优秀，则小王、 小李在这五次测试中的优秀率各 是多少？

（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很有可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）

就很有可能获得一等奖，那你认为应选谁参加比赛比较合适？说明理由

10.如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．

（1）请根据图中所提供的信息填写下表：

61

（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断： ①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙的体能测试成绩较好； ②依据平均数与中位数比较甲和乙，的体能测试成绩较好．

（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果好．

四：【课后小结】

统计的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.频数与频率

（1）频数：某个数据在一组数据中出现的 为频数；或将数据分组后，落在各小组的数据的

叫做该小组的频数。

（2）频率：每个数据出现的次数与总次数的比值为频率；或每一小组的频数与样本容量的比值叫做

这一小组的频数。 （3）频数和频率的基本关系式：频率频数

总次数样本容量 （4）绘制频数分布直方图的步骤：①计算 ；②决定

③决定 ；④列 ；⑤画出

2.统计图

（1）条形统计图：用长方形的高来表示数据的图形。它的特点是：

① ；② 。

（2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形。它的特点是： 。

（3）扇形统计图：在同一个圆中，用扇形的大小来表示数据占总数的百分比的图形。它的特点是：

① ；② 。

（4）频数分布直方图：与条形统计图类似，它们的区别是频数分布直方图的横轴的数据是连续的。

它的特点是：① ；②

（二）：【课前练习】

1.某市对2400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.68~1.70这一小组

的频率为0.25，则该组的人数为（ ）

A.600人； B.150人； C.60人； D.15人 人数/人302.某校测量了初三（1）班学生的男生（精确到1cm）按

2010 cm为一段进行分组，得到如图所示的频数分布直

10方图，则下列说法正确的是（ ） l0140.5150.5160.5170.5180.5身高/cmA.该班人数最多的身高段的学生人数为7人

B.该班身高低于160.5cm的学生人数为15人； 人数150C.该班身高最高段的学生数为20人； 12090D.该班身高最高段的学生数为7人

603.如图所示是某校七年级学生到校方式的条形统计图，根据图 300坐骑步形可得出步行人数占总人数的（ ） 汽自行车行A.60%； B.50%； C.30%； D.20% 车4.某农场今年对农作物种植作规划，分布情况如图所示，则该农场棉花种植面积占总面积的（ ）

62

A.36.5%；B.37.5%；C.38%；D.40% 60 56 5.美化城市，改善人们的居住环境已成为 51 48 城市建设的一项重要内容。某市区近几 年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使 1998 1999 2000 2001 年份 城区绿地面积不断增加。根据下图中所提供的信息，回答 城区每年年底绿地面积统计图 下列问题：比2000年底增加了__ 公顷；在1999年，2001年底的绿地面积为_____ 公顷，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是_____年；

其他1.5万 小麦 亩 棉花5万亩6万亩 水稻3.5万亩 绿地面积（公顷） 二：【经典考题剖析】

1.在今年“五一”长假期间，某学校团委要求学生参加 频数分布表

一项社会调查活动，小青想了解她所居住的小区500户居民的家庭收分组 频数 频率 入情况，从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入去整数，单600~800 2 0.050 位：元），并绘制了频数分布表和频数分布直方图。根据以上提供的信800~1000 6 0.150 息，解答下列问题： 1000~1200 0.450 （1）补全频数分布表； 户数频数分布直方图1200~1400 9 0.225 20（2）补全频数分布直方图； 1400~1600 16（3）这40户家庭收入的 121600~1800 2 0.05. 中位数落在哪一个小组？ 8合计 40 1.000 4（4）请你估计该居民小区

60080010001200140016001800元 家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少？

人数

1210

82.如图所示是某单位职工的年龄（取整数）的频数 分布直方图根据图中提供的信息，回答下列问题： 2年龄3448363840424446（1）该单位职工共有多少人？

（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少？ （3）如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有多少人？

3.如图是某训练班全体学生年龄的统计图。根据图中提供的 人数25信息，求出该班学生年龄的众数和平均数，画出该班学生

年龄的扇形统计图

15

年龄/岁016141513

4.国家课改实验区S市在2006年进行了中考评价改革：由过去的“分分计较”变为注重对学生“学业水平”的考核，下面列举了部分考试科目的相关信息。

63

（1）：甲同学 语文 数学 英语 物理 化学 的五科等2003年中考试卷满分 120分 120分 120分 80分 60分 级为2004年中考试卷满分 120分 120分 120分 100分 100分 1A4B，乙同方法：2004年采用将考生100分≤X≤120分， 记为A等级，位次值为6 学的五科各科的中考分数转化“等90分≤X≤99分， 记为B等级，位次值为5 等级为级（A、B、C、D、E、F）” 80分≤X≤分， 记为C等级，位次值为4 2A2B1C丙，再计算各科等级的位次70分≤X≤79分， 记为D等级，位次值为3 同学的五值之和作为毕业和高一级60分≤X≤69分， 记为E等级，位次值为2 科等级为学校录取的重要依据 0分≤X≤59分， 记为F等级，位次值为1 1A3B1C请规则：X（X为整数）为考生各科的中考分数，当两人各科分别计算的位次值之和相同时，则采用“金牌领先原则”：即谁的A三人的位等级的个数多，则谁的名次排在前；若A等级一样，则看B次值之和，等级个数，依次类推… 并将三人的成绩按规则由优到劣依次进行排序。 （2）：丁同学参加中考，五科位次值之和为25（已知他五科等级中均没有D、E、F这三个等级），试问他五科中有几个A，几个B，几个C？

5.某商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放270份（问卷由单卷和多卷组成）。对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下： 6.62% 其它用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：

CA 质量 内容 广告 价格 22.12%40.69% A 品牌 B C A B C A B C B30.57% 评价的用户 194 121 117 163 172 107 98 96 100 最近一次购（1）A品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？为什么？ 买品牌洗衣粉（2）广告对用户选择品牌有影响吗？说明理由。 （3）你对厂家有何建议？

（4）请设计一种三个竞争优势的比例，重新计算，得出用户对洗衣粉的满意程度。

三：【课后训练】

1.天籁音乐行出售三种音乐CD，即古典音乐、流行音乐、民族音乐，为了表示这三种唱片的销售量占总

销售的百分比，应该用（ ）

A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．以上都可以

2.为了了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生， 测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直 方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（ ） A．0．1 B．0．2 C．0．3 D．0．4

3.某校初中二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以统一标准划 30分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个

25等级。为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得 20培训前到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制 15培训后10的统计图如图所示。试结合图示信息回答下列问题：5 （1）这32名学生培训前考分的中位数所在的等级 0不合格合格优秀

是 ，培训后考分的中位数所在的等级是 。

（2）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 。 （3）估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名。

（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？答： ，理由： 。 4.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： （1）填充频数分布表中的空格；

（2）补全频数分布直方图； 频数分布直方图 （3）在该问题中的样本

容量是多少？

（4）全体参赛学生中，

竞赛成绩落在哪组 范围内的人数最多？ （5）若成绩在90分

以上（不含90分）

为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？

5.在图l和图2中的两幅统计图，反映了某市甲、乙 两所中学学生参加课外活动的情况，请你通过图中 信息回答下面的问题：

⑴通过对图l的分析，写出一条 你认为正确的结论_____________. ⑵2003年年甲、乙两所中学参加 科技活动的学生人数共有多少？

四：【课后小结】

简单随机事件的概率

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.简单事件

（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；

（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事

件与不可能事件都是确定的。

（3）不确定事件： 。 2.概率： 。 P必然事件=1，P不可能事件=0，0＜P不确定事件＜1 3.概率的计算方法

65

（1）用试验估算：某事件发生的概率此事件出现的次数

试验的总次数（2）常用的计算方法：① ；② 。 4.频率与概率的关系：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数 （也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这 个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的 大小。频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要 有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得 到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率 附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来 估计事件的概率。

（二）：【课前练习】

1.下列事件中确定事件是( )

A.掷一枚六个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上 B.从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃 C.任意选择电视的某一频道，正在播放动画片

D.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天.

2.下列事件中，是必然事件的是（ ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．父亲年龄比儿子年龄大

C．通过长期努力学习，你会成为数学家 D．下雨天，每个人都打着雨伞

3.在对某次实验次数整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图，这个图中折线变化的特点是_______，估计该事件发生的概率_________________.

4. 在100张奖券中，有4张中奖，某人从中任抽1张，则他中奖的概率是（ ）

A.

1111 B. C. D.

410020255.在一个不透明的袋中装有降颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红球、两个黄球．如果第一

次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄球的概率是 。

二：【经典考题剖析】

1.从26张不同的英语字母卡片中随机地同时抽出三张，下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，

哪些是随机事件？为什么？ （1）三张卡片可以排成“top”；（2）三张卡片可以排成“see”； （3）三张卡片可以排成“xyz”；

2.小铭和小浩在玩摸球的游戏，已知口袋中有两个红球和一个黄球，（1）如果将摸出的第一个球放回袋中，充分摇匀后再摸出第二个球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分，否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗？（2）如果是不放回地从袋中取两次球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分，否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗？

3.甲袋中有红球16个、黑球10个和白球24个，乙袋中有红球54个，黑球70个和白球32个，如果你想取出一只白球，取哪个袋子中，的球成功的机会大？请说明理由．如果你想取一个红球，取哪个袋

66

中的球成功的机会大？如果从两袋中各取走10个白球后，此时再取一个白球，选哪个袋成功 的机会大？

铅笔可乐

4.某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图）并规定：顾客购物10 元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一 区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： ⑴计算并完成表格： ⑵请估计，当n很大时， 频率将会接近多少？

⑶假如你去转动该转盘一次， 你获得铅笔的概率约是多少？

⑷在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少？（精确到1°）

⑸如果转盘被一位小朋友不小心损坏，请你设计一个等效的模拟实验方案（要求交代清楚替代工具和游戏规则）

5.如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A上，转盘A被均 匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转 盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5， 6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如 下：（1）同时自由转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）把所指的两个数字相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜(如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）．你认为这样的游戏是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由

三：【课后训练】

1.从一幅扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃，放在一起洗匀后．从中一次随机抽出 10张，

恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（ ）

A．可能发生；B．不可能发生；C．很有可能发生；D．必然发生 2.以下事件中不可能事件是（）

A．一个角和它的余角的和是90°；B．连接掷10次骰子都是6点朝上 C．一个有理数与它的倒数之和等于0；D．一个有理数小于它的倒数 3.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个 扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指 针都落在奇数上的概率是（ ） A.

2331 B. C. D. 5102054.小华与父母一同从重庆乘火车到广安故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ） A.

1111 B. C. D. 23455.小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率是 。

67

6.如图，某班联欢会上设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果， 标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀地等分成四个区域），转盘 可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一个 区域，就获得哪种奖品，则获得糖果的概率为多少？

7.口袋中有五张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，口袋外有两张卡片，分别写有4cm和5cm，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外有两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题： （1）求这三条线段能构成三角形的概率 （2）求这三条线段能构成直角三角形的概率 （3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率

8.为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出100条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出200条鱼，其中有标记的有20条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由．

9.某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示可以自由转动的转盘，并 规定：顾客每买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转 盘停止后，指针正好对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得30 元、20元、10元的购物券．（转盘等分成20等价）甲顾客购物120元， 他获得购物券的概率为多少？他得到30元、20元、10元的购物券的 概率分别为多少？

10.联欢会上，墙上挂着两串礼物:A、B、C、D、E如图，每次从某一串 的最下端摘下一个礼物，这样摘了五次可将五件礼物全部摘下，那么 共有一种不同的摘法．

四：【课后小结】

概率的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

68

1.概率是表示事件发生的可能性大小的数；通常概率的大小是通过若干次重复实验，用观察到的频

率值的方法估计，有些问题的频率值，也可以开动脑筋分析出来。

2.概率的预测：通常概率可以通过若干次重复实验来进行预测。但是由于受环境的影响不能做实验

时，可选用模拟试验，其方法是：①用替代的实物模拟试验；②用计算器产生的随机数来模拟试验；不论选择哪种方法，都必须保证试验在相同的条件下进行，否则回影响其结果。

（二）：【课前练习】

1.抛掷两枚分别标有 1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件

为 ；再写出这个实验中的一个必然事件为 。 2.如图 是一个被分成6等份的扇形的转盘，小明转了2次， 结果指针都停留在红色区域．小明第3次再转动，指针停留 在红色区域的概率是（ ）

A.1 B.0 C.

21 D. 333.冰柜里装有四种饮料：5 瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普

通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ） A.

351517 B. C. D.

83232324.盒子里有11个除颜色外完全相同的球，若摸到红球的概率是0.7，

则其中有红球（ ）

A．8个 B．6个 C．4个 D．无法确定

5.甲组有 5位女生和10位男生，乙组有 8位女生和15位男生， 以下说法正确的是（ ）

A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大 B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大 C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大 D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小

二：【经典考题剖析】

1.某号码锁有2个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当2个拨盘上的数字组成某一个二位数字号码(即：开锁号码）时，锁才能打开．如果不知道开锁号码，问：试开一次就能把锁打开的概率是（ ） A.

2.甲、乙两人一起玩转盘游戏，如图，甲先转动转盘一，若指针指向黄色部分，则甲胜．否则，由乙转动转盘二，若指针指向红色部分，则乙胜，否则甲胜，你觉得这个游戏公平吗？为什么？

3.如图若紫色、黄色、绿色区域面积分别为1、5、10,点D为线段BC中点. 有一只猫在三角形ABC内随意走动,求小猫停留在黑色区域的概率是多少？

4.两个袋中分别放有5个球，各球上分别标有l～5这五个数中的一个，这五个球除数字标号外没有任何区别，现从中各摸出1球，其数字之差的绝对值为3的概率为多少？

69

111 B. C. D．以上结论都不对 1020100

5.小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画出半径分另为2m和 3m的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子， 掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷人圈内不算，你来当裁判． ⑴你认为游戏公平吗？为什么？ ⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则 图形的面积呢?”请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原 理，写出公式）

三：【课后训练】

1.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚

向其中放人8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A．28个 B．30个 C．36个 D．42个

2.军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ） A.

5111 B. C. D. 63563.小华与父母一同从重庆乘火车到广安故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ） A.

1111 B. C. D. 23454.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图所示的某个 方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是_________

5.密码锁里的密码是一个5位密码,每位密码的数字都可以是从0到9中的任何一个。某人忘了密码中的最后一位,此人开锁时,随意拨动最后一位号码正好是开锁号码的概率是______若此人忘了后2位号码,随意拨动后2位好码正好是能开锁的概率是___

6.某灯泡厂的一次质量检查，从2000个灯泡中抽查了100个，其中有8个不合格，则出现不合格灯泡的频率为______，在这2000个灯泡中，估计有______个灯泡为不合格产品. 7. 李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．

（1）当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什

么？

（2）当两枚骰子的点数之和大于 7时，李红得 1分，否则张明得 1分，这个游戏对双方公平吗？为什

么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见．

8.根据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘。闯关游戏规则：如图所示的面板上有左右两组开关按钮，每组中的两个按纽分别控制一个灯泡和一个发音装置．同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音． （1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况； （2）求出闯关成功的概率．

70

9.盒子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外都相同，每次从盒子里摸出一个球，然后放回盒中摇匀后再摸，在摸球活动中，得到下表的部分数据： ⑴请你将表中的数据补充完整； ⑵画出折线图；

⑶观察所画的折线图，可以发现什么？。 ⑷你认为盒里的球哪种颜色的球多？

⑸如果任意从盒中摸出一球，你认为摸到红球的机会有多大

10.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，请你设计方案，估计盒中大约有多少白球？（要求说明设计步骤、原理，写出公式）

四：【课后小结】

基本图形及其位置关系

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.直线、射线、线段之间的区别：

联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质：

(1)直线的性质：①经过两点 直线，即两点确定一条直线；

②两条直线相交，有 交点.

(2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．

3.角的定义：有公共端点的 所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的

端点旋转而成的图形．

(1) 角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类：

（3）相关的角及其性质：

①余角：如果两个角的和是直角， 那么称这两个角互为余角．

②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠

○○

l十∠2=90 ，∠1+∠3= 90，则∠2 ∠3．

○

⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果

○

∠A＋∠C=180，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等．

（4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这

个角的平分线．

4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行

5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正

71

确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截， 角相等， 角相等， 同旁内角互补．（2）过直线外一点 直线和已知直线平行．（3）两条 平行线之间的距离是指在一条直线上

7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内． 的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．

10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错

角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三 个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的， 因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错 角或同旁内角．

11.常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．

（二）：【课前练习】

1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（ ） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定

2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度 分 秒．

⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____

3.下列说法中正确的个数有（ ）

①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直线AB和直线

BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________

○

5.如果一个角的补角是150 ，那么这个角的余角是____________

二：【经典考题剖析】

1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，． （1）求∠EOF的大小；

（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线， 问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 ．

3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）

A．60° B．75° C．90° D．95°

4.如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．2个

72

5.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与 AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C， 求证：∠A=∠D．

三：【课后训练】

1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm

2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．

3.如图，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个

4.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分 ∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．

5.已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm． （1）求第三边BC的取值范围；

（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长； （3）若第三边BC长为整数，求BC的长

○

6.如图，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59． （1）求∠AOD的度数；

（2）求∠AOB和∠DOC的度数；

（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；

（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？

7.如图，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，

○

∠1=50求∠2的度数．

8.如图，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2． 求证：∠AGD=∠ABC．

73

9.已知：如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2． 求证：∠AGD=∠ACB．

○○○○○○○

10.根据补角和余角的定义可知：10的补角是170，余角为80；15的补角是165，余角为75；40

○○○○○

的补角是140，余角为50；52的补角为128，余角为38……观察以上几组数据，你能得出怎样的

○○○○

结论？请用任意角α代替题中的10，15，4 0，5 2，来说明你的结论．

四：【课后小结】

三角形

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.三角形中的主要线段

（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的

顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫

做三角形的高．

(4) 三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。 2.三角形的边角关系

（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；

o

（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180． 3.三角形的分类

不等边三角形 （1）按边分：三角形底和腰不等的等腰三角形

等腰三角形等边三角形直角三角形 （2）按角分：三角形锐角三角形

斜三角形钝角三角形 4.特殊三角形

（1）直角三角形性质

①角的关系：∠A+∠B=90；②边的关系：abc

0

AEcDhBabC222C900C90011BCABCEAB ③边角关系：；④022AEBEA30ca+b-c⑤chab2s；⑥外接圆半径R；内切圆半径r= 22 （2）等腰三角形性质

CADB74

①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③

ACBCADBD ④轴对称图形，CDABACDBCDA有一条对称轴。 （3）等边三角形性质

0

①角的关系：∠A=∠B=∠C=60；②边的关系：AC=BC=AB；

③

ABACBDCD；④轴对称图形，有三条对称轴。 ADBCBADCADADBEBDC1ADBDDEBC （4）三角形中位线： 2AEBEDE∥BCC 5.特殊三角形的判定[略，见《浙江中考》P106] 6.两个重要定理：

（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等

的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）

（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点

的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）

（二）：【课前练习】

1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A．1cm，2cm，4 cm B．8 crn，6cm，4cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ，6 cm

2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a，则（ ） A．a =8 B．a =4 C．a =4或8 D．4＜a<8

3.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（ ） A．15cm B．20cm C．25 cm D．20 cm或25 cm

4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.

○

5.如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=6，AC=35，AD=2，∠D=90，

求CD的长和四边形 ABCD的面积．

二：【经典考题剖析】

1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，

最多有______个钝角，最多有______个锐角．

2.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________

3.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点，F是BE的中点．若面ΔDEF的面积是10，则ΔADC的面积是多少？

4.正三角形的边长为a，则它的面积为_____.

75

5.如图，DE是△ABC的中位线， F是DE的中点，BF的延长线交 AC于点H，则AH：HE等于（ ）

A．l：1 B．2：1 C．1：2 D．3：2

三：【课后训练】

1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm 2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．

3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，

o

∠ACD=50，则 ∠CDE的度数是（ ）

A．175° B．130° C．140° D．155°

○

4.如图，△ABC中，∠C＝90 ，点E在AC上，ED⊥AB，垂足 为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC等于（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：2 D．1：4

5.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ） A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13

6.如图，直角梯形ABCD中,AB∥ CD，CB⊥AB，△ABD是等边 三角形，若AB=2，则CD=_______，BC＝_________. 7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分 ∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．

8. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm． （1）求第三边BC的取值范围；

（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长； （3）若第三边BC长为整数，求BC的长

9. 已知△ABC，

1A； 2(2)如图1－1－28，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=90A；

1(3)如图1－1－29，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则P=90A。

2(1)如图1－1－27，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则 P=90

76

10.已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC于点P．

（1）求证：PD=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长.

四：【课后小结】

全等三角形

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或\"ASA”

（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”． 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3.注意事项：

（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，

弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边

与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．

（二）：【课前练习】

1.如图，若 △ABC≌△DEF，∠E等于（）

A．30° B．50° C．60° D、100°

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件____， 就可确定△ABD≌△ACD

3.在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形 C．腰长相等的两个等腰直角三角形

D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形

4.下列说法中不正确的是（）

A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B． 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C． 有一边对应相等的两个等边三角形全等 D． 面积相等的两个直角三角形全等

5.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在 △ABC中与这个100°角对应的角是（ ）

A．∠A B．∠B C．∠C或∠C

二：【经典考题剖析】

1.如图，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，

则∠BCD的度数为（）

A．145° B．130° C、110° D．70° 2.两个直角三角形全等的条件是（ ）

A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等

77

C．一条边对应相等 D．两条边对应相等

3.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，且 S△DEF=2， 则△ABC的面积为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

4.如图，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F， AE=CF，则图中全等三角形有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线 段AB、DC、CA上的点，

（1）若 AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

三：【课后训练】

1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙

三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

2.如图，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入 射到α上，经两次反射后的反射光线CB平行于α，则∠α等于（） A．30o B．45 o C．60 o D．90 o

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E、AD、 CE交于点H，请你添加一个适当的条件，使△AEH≌△CEB．你的 条件是 ，

4.如图 ，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE． （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．

你添加的条件是 ；

（2）证明：

5.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，

（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线） （2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．

6.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？

78

并任选其中一对给予证明．

7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB． 求∠BOC的度数．

8.如图，AC和BD交于点O，OA= OC，OB=OD，试说明 DC∥AB．

9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB 上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．

10.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点 （1）求证：AF⊥CD；

（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？ 请写出三个．（不要求证明）

四：【课后小结】

平行四边形及密铺

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角

相等和直线平行的根据之一．

2.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即

“四边形”和“两组对边分别平行”．

四边形的边角按位置关系可分为两类：

对边（没有公共端点的两条边）；邻边（有一个公共端点的两条边） 对角（没有公共边的两个角）；邻角（有一条公共边的两个角） 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段

3.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行

线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

79

4.平行四边形的性质：

平行四边形的两组对边分别平行；

平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形ABCD是平行四边形

5.平行四边形的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言表达：

AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形． OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB边形ABCD是平行四边形．

6.平面的密铺定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．

7.对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角．

（二）：【课前练习】

1.四边形任意两个相邻的角都互补，那么这个四边形是________．

2.在四边形ABCD中，给出下列条件：

①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的组合是_______ 3.当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成__________时，多边形可以密铺． 4.请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若不能打“ ×” （1）正方形（ ）； （2）正七边形（ ）； （3）正六边形（ ）；

（4）正三角形与正十边形（ ）； （5）正方形与 正八边形（ ）；

（6）正三角形、正方形与正六边形（ ）； （7）任意四边形（ ）；（8）任意三角形（ ）．

○

5.n边形的每个内角等都等于120 ，则n等于_____.

二：【经典考题剖析】

1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（）

A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3

2.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

80

3.如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ） A．1＜m＜11；B．2＜m＜22；C．10＜m＜12；D．5＜m＜6

○

4.一个正多边形的每个外角都是36 ，则这个多边 形是_________边形．

5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．

三：【课后训练】

1.平行四边形一组对角的平分线（ ）

A．在同一条直线上；B．平行；C．相交； D．平行或在同一直线上 2.如图，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那 么SΔDMN：S□ABCD为（ ）

A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6

3.已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.

4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（ ）

A．1＜x＜9；B．2＜x＜18；C．8＜x＜10；D．4＜x＜5

○

5.现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．

6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可） （1）连接_______；（2）猜想________ （3）说明理由.

7.如图，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．

8.已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任

81

意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. (1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

9.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图1－4－61甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1－4－61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)

10.用三种不同的方法把平行四边 形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．

四：【课后小结】

矩形、菱形、正方形

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.性质：

（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③

具有平行四边形所有性质．

（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相

垂直平分，每条对角线平分一组对角．

2.判定：

（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个

角是直角的四边形是矩形．

（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条

边都相等的四边形是菱形．

（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等

的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

3.面积计算：

（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：S （3）正方形：S=边长

4.平行四边形与特殊平行四边形的关系

82

2

1l1l2（l1、l2是对角线） 2

（二）：【课前练习】

1.下列四个命题中，假命题是（ ）

A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形

B．菱形的一条对角线平分一组对角

C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 D．等腰梯形的两条对角线相等

2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED=60°，则∠AED的大小是（ ）

A．60°. B．50°. C．75°. D．55°

3.正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A、

22a

a B、 a C、 D、22 a 242

4.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱 形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度 5.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行 （1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金

窗料（如图①），使AB=CD，EF= GH； （2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框

的形状是 ，根据的数学道理是____．

（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时

(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________

二：【经典考题剖析】

1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ）

A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形

2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ） A．98 B． 96 C．280 D．284

3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80 ，AB的垂直平分线EF交 对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ） A．80° B．70° C．65° D．60°

4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看

见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）

5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、

DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由， 添加的条件__________，理由：

三：【课后训练】

83

1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）

A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直 2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形 的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四 边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________- 3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l：3 , 若AB=2，求菱形ABCD的面积．

4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形， 即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重 叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是 一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看

法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．

6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。

○

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当上B的大小满足什么条件时，

四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； （3）四边形ACEF有可能为正方形吗？为什么？

8.如图，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BE⊥AC于 E，CF⊥BD于 F．求证：BE=CF．

9.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与

ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由

84

10.如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论

四：【课后小结】

梯形及多边形

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.多边形：

（1）多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形

叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

（2）多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°

（3）正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．

（4）多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外

角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360° （5）过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有

n(n3)条对角线． 2 （6）过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形． 2.梯形：

（1）定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰

和底垂直的梯形叫做直角梯形．

（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等．

（3）等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯

形．

（4）等腰梯形常见的作辅助线的方法．

①作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，

如图l－4－26

②平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

如图l－4－27．

③平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．

④如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29．

（二）：【课前练习】

1.四边形的内角和 ；外角和 。

2.等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为（ ）

85

A．30 B．45 C．60 D．75

3.顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（ ） A．梯形 B．矩形 C．平行四边形D．菱形

4.在学校的大操场，小明从A点出发向前直走50m，向左转18°继续向前走50m，再左转18°他以同样走法回到A点时，共走了________m． 5.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

（1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长； （2）若AD=a，BC=b，梯形的高是 h，梯形的周长为C，

则C=___________（请用含a、b 、c的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明) （3）若AD=3，BC=7，BD=5 5 ，求证：AC⊥BD．

o o o o

二：【经典考题剖析】

1.如图，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：

2.已知：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm， 则梯形的高是_________cm．

3.正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n=______

4.同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）.

5.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）

⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价 为8元/m，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影 部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。 ⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，

单价分别为12元/m和10元/m，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ ⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，

即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由。

86

222

三：【课后训练】

1.当多边形的边数由n增加到n＋1时，它的内角和增加（ ）

○ ○ ○ ○

A．180B．270C．360D．120

2.下面角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ）

○ ○ ○ ○

A．540B．280 C．1800D．900

3.若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与下底的夹角为（ ）

o o o o

A．60 B．30 C．45 D．15

4.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A．正方形B．正六边形C.正八边形 D.正十二边形

6.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠， 那么图中阴影部分的面积是_________

7. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D+∠E＋∠F+∠G的和．

○

8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A点开始沿边AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点 开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同 时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设

运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形？

9.阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1－4－74给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图l45中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形．

10.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．

o

证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE＝∠AOF＝90，BO=AO，又因为AG⊥EB，所以∠l+∠3 =90°=∠2+∠3，所以∠l＝∠2，所以 Rt△BOE≌Rt△AOF，所以OE=OF．

解答此题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，AG交 EB的延长线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

87

四：【课后小结】

相似图形

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.比例基本性质及运用

（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条

am线段的比是a：b=m：n，或写成=，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b

bn叫做比的后项．

注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；

③其比值为一个不带单位的正数．

（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

ac那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果=或a：

bdb=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即

段b叫做线段a和c的比例中项．

（3）比例的性质，

①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。

acabcd②合比性质：若=，则 bdbdab

或a：b=b：c，那么线bc

③等比性质：若

acem，则 …（bdf…+n0）bdfn

ace…+ma

bdf…+nbacbd 注意：灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由=推出=等，但无论怎样变化，它

bdac们都保持ad=bc的基本性质不变．

（4）黄金分割：在线段AB上有一点C，若AC：AB=BC：AC，则C点就是AB的黄金分割点．一

条线段有两个黄金分割点。

2. 相似三角形的性质和判定

（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，

相似三角形的对应边的比叫做相似比．相似比为1的两个三角形是全等三角形。

（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角

形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角 形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．

（3）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两

个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质

88

和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．

（二）：【课前练习】

1.已知

xxy=3，那么的值是____________ yy2.已知点C是线段AB的黄金分割点，带

ACCB≈0．6 18，那么的近似值是_______ ABAC3.已知三个数1，2，3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数

是 。

4.两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ） A．5：3 B．5：4 C．5：12 D．25：12 5. 如图，各组图形中相似的是

___________________（只填序号）．

二：【经典考题剖析】

1.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗

杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是___________m.

2.在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（ ） A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m

3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行，

请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．

4.如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB 于E，交 AD于F，图中相似 三角形的对数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5.创新实验学校设计的矩形花坛的平面图，这个花坛的长为10m，宽为6m． ⑴ 在比例尺为1：50的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少cm？ ⑵ 在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？ ⑶ 花坛的长和宽的比为多少？ ⑷ 你发现这两个比有什么关系？

三：【课后训练】

1.下列各组线段中．能成比例的是（ ）

A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4

2.某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）

A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米 3.下列说法中正确的是（ ）

A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似 4.如图，D是△ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使△ACD与 △ABC相似．你添加的条件是___________

5.如果点C为线段 AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下 列各式不正确的是（ ） A．AB：AC＝AC：BC B．AC＝ C、AC＝35AB 251AB D．AC≈0．61 8AB 26.△ABC中，D是AB上的一点，再在 AC上取一点 E，使得△ADE与△ABC相似，则满足这样条件的E

点共有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

7.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ） A．

1413 B． C． D． 4134

8.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B点与C点重合，如图，则折痕DE的长是多少？

9.如图，在yABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为 AE上一点，且∠BFE＝∠C． ⑴ 求证：△ABF∽△EAD；

⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE的长；

⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.

10.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3㎝的速度向A点运动，设运动的时间为x. ⑴当x为何值时，PQ∥BC？ ⑵当

SBCQSABCSBPQ1时，求的值。 3SABC⑶ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．

四：【课后小结】

相似三角形应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.相似多边及位似图形

(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．

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(2) 相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的

比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．

(3) 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，

那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．

2.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来

求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等

（二）：【课前练习】

1.下列说法正确的是（ ）

A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形

C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似

2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm， △ABC∽△APQ的相似比是（ ）

A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5

4.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等于( )

A.175° B．180° C．210 ° D．225° 5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm， GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．

二：【经典考题剖析】

1.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，

幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片

到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ） A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm

2.如图是跷跷板的示意图．支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA）是（ ） A．80° B．60° C．40° D．20°

3.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度．

4.(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2； (2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )、

91

5.我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由

三：【课后训练】

1.针孔成像问题：根据图中尺寸(AB∥A′B′)，可以知道

物像A′B′的长与物AB的长之间的关系是____________.

2.如图，上是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4

3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________. 4.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2， 那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似．

5.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别 为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的 点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF， 屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就 将EG与EF的差值y（厘米）作为此人此次的弹跳成绩. （1）设CE=x（厘米），EF=a（厘米），求出由x和a算出y的计算公式；

（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为x150厘米，a=205厘米，请你计算C同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩。

6.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3 cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”你认为谁说得对，并说明你的理由．

7.某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度．

92

8.如图，已知Rt△ABC与Rt△ DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC分成的两个三角形与ADEF所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案．

9.王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米．

A⑴他这种测量的方法应用了物理学科

的什么知识？请简要说明； D⑵请你帮他计算出树AB的高度．

P

CB

10.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1)求直线AB的解析式；

(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3)当t为何值时，△APQ的面积为

24个平方单位？ 5四：【课后小结】

圆的有关概念和性质

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． （2）圆的有关性质

①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

93

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径． ④三角形的内心和外心

ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心

就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三

条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度

数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形． 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

（二）：【课前练习】

1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°

则∠BOC的大小是（ ）

○ ○○ ○

A．60B．45 C．30D．15

2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工 具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心． 3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时， 能得出结论_______（任写一个）．

4.如图是中国主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆， 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）

A．180° B．15 0° C．135° D．120°

5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在

○

⊙O上．如果∠P＝50 ，那么∠ACB等于（ ）

○ ○

A．40 B．50

○ ○

C．65D．130

二：【经典考题剖析】

1.如图，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60 ，AC＝3， 则△ABC的周长是____________.

2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有

圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸

3.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，

94

○

CD

那么 等于（ ）

AB

A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．cot∠BPD

4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8， 求 AB与CD之间的距离．

0

5.如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。 YD（1）求圆心M的坐标；

（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积 M AOBXC

三：【课后训练】

1.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30 ，

则 ⊙O的直径等于_________cm．

2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠=35°， 则∠AOB的度数为（ ）

○ ○ ○ ○

A．35B．70 C．105D．150

○

3.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD 则图中和∠1相等的角有______

4.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2， 则 ∠BAC的度数为多少？

5.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上，

则∠C的度数是_______.

6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°， 则∠DAB的度数为（ ）

95

A．50° B．80° C．100° D．130°

7.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上， 如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．120° 8.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，

根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）

9.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2． （1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，

若PC=225，求PD的长．

10.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面;

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.

BA

四：【课后小结】

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r． 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r，直线与圆相切d=r，直线

与圆相离d＞r 3.圆与圆的位置关系

(1)同一平面内两圆的位置关系：

①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离． ②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.

③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切． ④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交． (2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．

(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则

①两圆外离d＞R+r；有4条公切线；

96

②两圆外切d=R＋r；有3条公切线；

③两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线； ④两圆内切d=R－r（R＞r）有1条公切线； ⑤两圆内含d＜R—r（R＞r）有0条公切线．

（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）

4.切线的性质和判定

(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．

(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

（二）：【课前练习】

1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：

⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____； ⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____； ⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.

2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ） A．3 B．23 C．3 D．4

3.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半 径 cm．

4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ） A．d＞8 B．0＜d≤2

C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8

5.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．

二：【经典考题剖析】

1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论： ①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；

③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个

2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．

3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内含 B．外离 C．内切 D．相交

4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于点B，PA=4， OA=3，则cos∠APO的值为（ ） A.3 B.3 C.4 D.4

4553

97

5.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径， ∠P=40°，则∠BAC度数是（ ）

A．70° B．40° C．50° D．20°

三：【课后训练】

1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、

B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.

2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共 有_________个．

3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

○

4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65 ， 则∠BAC等于（ ）

○ ○ ○ ○

A．35B．25C．50D．65

5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是

（ ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面 积为9π，求AB的长．

2

7.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4， 求⊙O的半径．

8.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C， 且分别交OA、OB于点E、F． （1）求证：AB是⊙O切线；

（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=43 ，求ECF的长

98

9.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．

（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明； （2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．

10.如图,⊙O的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O于点B,交y轴于点C

y (1)求线段AB的长

CB (2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式

A

xO

四：【课后小结】

弧长、扇形的面积和圆锥侧面积

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.弧长公式：l180(n为圆心角的度数上为圆半径)

nR21 2.扇形的面积公式S=3602lR(n

nR为圆心角的度数,R为圆的半径）．

3.圆锥的侧面积S=πRl ,(l为母线长，r为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的

全面积．

（二）：【课前练习】

1.在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为

2.扇形的周长为16，圆心角为’，则扇形的面积为（ ） A．16 B．32 C． D．16π

3.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，

2

则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm (不考 虑接缝等因素，计算结果用π表示）．

4.底面半径为人高为h的圆柱，两底的面积之和与它们的侧面积相等中与r的关系为__________

5.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm

99

二：【经典考题剖析】

1.制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），

222 2

A．1425πcm B．1650πcm C．2100πcmD．2625πcm

2.如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，ACR.求：

3(1)∠AOC的度数.

(2)若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点. 试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.

3.如图，把直角三角形 ABC的斜边AB放在定直线l上，按 顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，

设BC=1，AC=3 ，则顶点A运动到 A″的位置时，点A经

过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）

4.如图1－3－29，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，

母线长为8m．为防雨需在粮食顶部铺上油毡，需要铺油毡的面积是_________好．

5.如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是________.

三：【课后训练】

1.已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的

侧面积为（ ）

A．8π B．12π C．15π D．20π

2.如图，圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）

ZZZZ

A．3πcm ；B．9πcm ；C．16πcm ；D．25πcm

3.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_____

100

4.正方形ABCD的边长为2 cm，以边AB所在直线为轴旋转一周， 所得到的圆柱的侧面

2

积为（ ）m

A．16π B．8π C．4π D．4

o

5.有一弓形钢板ACB，ACB的度数为120，弧长为l，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为

6.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm

7.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为 20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．

8.把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开，可得一个半径为

0

24cm、圆心角为118的扇形，求该纸杯的底面半径和高度（结果精确到0.1cm）

9.一个三角尺的两直角边分别为15cm和20cm，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的

A旋转题体，求这个旋转体的全面积（取3.14）

DC

B10.如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）

的面积之和是多少？

A

四：【课后小结】

BC图形的对称

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 轴对称及轴对称图形的意义

(1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直

线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．

(2) 如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴．

(3) 轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点

所连的线段被对称轴垂直平分．

101

(4) 简单的轴对称图形：① 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． ②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．

③等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． ④等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 2. 中心对称图形

○

（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．

（2）性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．

o

（3）中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180的旋转对称．

（4）中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．

（二）：【课前练习】

1. 如右图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

2. 下列图形中对称轴最多的是（ ）

A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段 3. 数字______在镜中看作

4. 如右图的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 4张扑克牌如⑴所示放在桌子上小敏把其中一张旋转180° 后得到如图⑵所示，那么她所旋转的牌从左数起是 （ ）

二：【经典考题剖析】

1.如图，已知直线l1⊥l2，垂足为O，作线段PM关于直线l1、l2的对称线段M1P1、M2P2 ，并说明M1P1和

M2P2关于点O成中心对称．

2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是______

3.如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，

102

填空： A与_____对应， B与______对应，

C与___ _对应， D与______对应．

4. 如图所示图案中有且只有三条对称轴的是（ ）

5.已知四边形ABCD和AB的中点O，求作四边形ABCD关于点O的对称图形．

三：【课后训练】

1.如图是四幅美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2.若图形关于某一条直线对称，则连结相应两对称点的线段必被对称轴________.

3.如图，由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）

4.下列说法中，正确的是（ ）

A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．正方形的对角线互相垂直平分且相等 C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．菱形的对角线相等

5.在右图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

6. 字母A，B，C，D，E，F，S，X，Y，Z中，是轴对称图形的有_______个．

7.某学校搞绿化，计划在一矩形空地上建一个花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（个数不限）并使矩形场地成轴对称图形，请你试试看．

8. 已知四边形ABCD，如图，求作四边形 ABCD关于点A的对称图形．

9.如图，请在ABCDE中，以线段DE所在的直线为对称轴，画出它的轴对称图形．

10.小明发现：如果将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图⑴所示，恰好构成一轴对称图形．你还能找

103

到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？请在图⑵、⑶上表示出来．如果是栽5棵，又如何呢？6棵、7棵呢？请分别在⑷、⑸、⑹上表示出来．

四：【课后小结】

图形的平移与旋转

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.图形的平移

(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，

平移不改变图形的形状和大小．

注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形

在同一平面内的变换．

②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．

③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相

同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．

②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

（3）简单的平移作图

平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平

移的距离．

2. 图形的旋转

（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。理

解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．

（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心

的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．

（3）简单图形的旋转作图

两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．

作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形．

（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。

其中中心对称是旋转变换的一种特例。

104

（二）：【课前练习】

1.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，

填空（1）CD=______， （2）∠ F＝______

（3）HE= ，（4）∠D=_____， （5）DH=_________

2.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的， 则线段CD、AB关系是__________.

3.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ） A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm 4.关于平移的说法，下列正确的是（ ）

A．经过平移对应线段相等； B．经过平移对应角可能会改变 C．经过平移对应点所连的线段不相等； D．经过平移图形会改变

o

5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180后不变的字是_______

在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____

二：【经典考题剖析】

1.下列说法正确的是（ ）

A.由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等

B.我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方

向的平移”

C.小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”

D.在图形平移过程中，图形上可能会有不动点

2.如图，已知△ABC，画出△ABC沿 PQ方向平移2cm后的△A′B′C′．

○o

3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0～90的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）

（图1） （图2）

4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

105

5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，∠CAO= 25○， （1）画出在空中划过的线；

（2）上下最多可以转动多少角度？

三：【课后训练】

1.将△ABC平移10cm，得∠EFG，如果∠ABC＝52 ，则∠EFG=_____．BF=_____.

2.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________

3.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ） A．旋转使图形的形状发生改变

B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小 D．对应点到旋转中心距离相等

4.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转 中心为______点，旋转角度依次为________，________，________. 5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时 针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ） A．3 B．32 C．52 D．4

6.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°， D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则 其旋转角的度数为（ ）

A．90° B．120° C．60° D．45°

7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．

8.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法 ．

9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC，

○

（1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30 作出这个图形；

○○○

（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60、90、120，作出这些图形．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题： （l）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？

（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合？为什么？

（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？

106

○

四：【课后小结】

视图与投影

主视图高平齐左视图一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.三视图

宽（1）主视图：从 看到的图；

（2）左视图：从 看到的图； 长对正相俯等视（3）俯视图：从 看到的图；

图2.画三视图的原则（如图）

长对正，高平齐，宽相等；在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线。 3.投影

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是 ；投影分 投影和 投影。

（1）平行投影：太阳光线可以看成 光线，像这样的光线所形成的投影称为 投影；

物体的三视图实际上就是该物体在垂直于投影面的平行光线下的平行投影。

（2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是由一点出发的光线，像这样的光线所形成

的投影称为 投影。

（3）像眼睛的位置称为 ，由视点出发的线称为 ，两条视线的夹角称为 ，

看不到的地方称为 。

（二）：【课前练习】

1.小明从正面观察图（1）所示的两个物体，

看到的是图（2）中的（ ）

（图1） （图2）

2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A．小明的影子比小强的影子长； B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长； D．无法判断谁的影子长

3.你在路灯下漫步时，越接近路灯，其影子成长度将（ ） A．不变B．变短C．变长D．无法确定

4.一个矩形窗框被太阳光照射后，留在地面上的影子是________ 5.将如图1－4－22所示放置的一个直角三角形 ABC( ∠C=90°)，绕斜边AB旋转一周所得到的 几何体的主视图是图1－4－23四个图形中的 _________（只填序号）．

二：【经典考题剖析】

1.某物体的三视图是如图所示的3个图形， 那么该物体的形状是（ ）

A．长方体B．圆锥体C．立方体D．圆柱体

2.在同一时刻，身高1．6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（ ） A．16m B．18m C．20m D．22m

3.一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师

107

在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（） A．乙照片是参加100m的 B．甲照片是参加 400m的 C．乙照片是参加 400m的

D．无法判断甲、乙两张照片

4.已知：如图，AB和DE是直立在地面

上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下 的投影BC=3m．

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．

5.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时. （1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （结果保留整数，参考数据：

sin32531065,cos32,tan32） 1001258

三：【课后训练】

1.如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由7

个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）

DCBA2.夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ）。

A、路灯的左侧 B、路灯的右侧 C、路灯的下方 D、以上都可以

3.如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ） 4.图是一天中四个不同时刻同一物体价影子，（阴影部分的影子）它们按时间先后顺序排列的是（ ） A．（1）（2）（3）（4）；B．（4）（3）（2）（1） C．（4）（1）（3）（2）；D．（3）（4）（1）（2）

5.如图是两根杆在路灯底下形成的影子，试确定路灯灯泡所在的位置． 6.如图（l），小明站在残墙前，小亮在残墙后面活动，又不被小明看见，请你在图⑴的 俯视图（2）中画出小亮的活动区域

（图1） （图2） （第5题） （第6题） （第7题） 7.如图（1），一个小孩在室内由窗口观察室外的一棵树，在图（1）中，小孩站在什么位置就可以看到树的全部请你在图（2）中用线段表示出来．

108

8.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射人的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30 ，在教室地面的影长MN=23，若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1m，则窗户的上檐到教室地面的距离AC是多少？

9.如图，住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24cm，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，当太阳光与水平线的夹角为30”时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

○

10.图1－4－29至1－4－35中的网格图均是20 ×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长），

侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙〕，设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）． （1）在区域MNCD内，请你针对图1－4－29，图l－4－30，图l－4－31，图l－4－32中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影；

（2）只考虑在区域ABCD内形成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）．

①如图 1－4－33，当 5＜t＜10时，请你求出用 t表示 y的函数关系式；②如图1－4－34，当10＜t＜15时，请你求出用t表示y的 函数关系式；③如图1－4－35，当 15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况； （3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小 的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶）是额外加分题，加分幅度为 1～4分)

109

四：【课后小结】

锐角三角函数

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.直角三角形的边角关系（如图）

222

（1）边的关系（勾股定理）：AC+BC=AB；

0

（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=90； （3）边角关系：

C9001①：BCAB 02A30②：锐角三角函数：

∠A的正弦=∠A的对边，即sinA=a；

斜边c∠A的余弦=∠A的邻边，即cosA=b ,

斜边c∠A的正切=∠A的对边，即tan=a

∠A的邻边b注：三角函数值是一个比值．

2.特殊角的三角函数值． 3.三角函数的关系

(1) 互为余角的三角函数关系．

○○

sin（90－A）=cosA， cos（90－A）=sin A

○○

tan（90－A）= cotA cot（90－A）=tanA (2) 同角的三角函数关系．

22

①平方关系：sin A+cosA=l ②倒数关系：tanA×cotA=1

sinAcosA ③商数关系：tanA ,cotAcosAsinA 4.三角函数的大小比较

(1) 同名三角函数的大小比较

①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名三角函数的大小比较

110

①tanA＞SinA，由定义，知tanA=

abbc，sinA=

acba；因为b＜c，所以tanA＞sinA

②cotA ＞cosA．由定义，知cosA=

○

○

，cotA=；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．

③若0＜A＜45，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；

○○

若45＜A＜90，则cosA＜sinA，cotA＜tanA

（二）：【课前练习】0

1.等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ）

124.cos300cos4501232 A． B.0 C.022sin4525.3sin602sin300cos3003 、4sin605cos6003(1sin300)222 D．20l 0022sin30cos60sin90sin4502.点M(tan60°，－cos60°）关于M′的坐标是（ ） 000x轴的对称点07.cos60cos30cos30sin30sin3006.sin300cos450cos4503.计算:3

tan600cot4509.2sin300cot600tan450

4.在 △ABC中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA的值是（ ） sin600cot45010.344300tan602tanA. B. C45. D.0411.2sin3035 4cos253003二：【经典考题剖析】 15.已知∠A为锐角，且0.52，那么（ ） 12.(1cot300)2cosA≤1cos300A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90° 13.2sin300cot450(2tan600)0sin900

2tan600200230C=90°(cos0)A=45°sin中，∠1.如图，在14.Rt△ABC，∠，点D在AC上，∠BDC=60°，AD=l，求BD、DC的长．

23115.2sin300tan600cos450cot3002.先化简，再求其值，

x1xx22(x23x2)其中x=tan45－cos30°

2○2○

3. 计算：①sin248○＋ sin242○－tan44○×tan45○×tan 46○ ②cos55＋ cos35

4.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）

○

若α=45，则sinα________cosα；

○

若α＜45，则sinα cosα； 若α＞45°，则 sinα cosα.

5.⑴如图①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的

增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；

○○○○○

⑵根据你探索到的规律，试比较18、34、50、61、88这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．

三：【课后训练】

1. 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A．3 B.32 C.32 D．0

111

2.在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=

32，sin(90°－B）=

32，则△ABC一定是（ ）

A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形

3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos∠OAB等于__________

22○

4.cosα+sin42 =1，则锐角α=______. 5.在下列不等式中，错误的是（ ）

○○○○○○○○

A.sin45＞sin30；B.cos60＜oos30；C.tan45＞tan30；D.cot30＜cot606.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（） 3434A. B. C D.355 47.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长．

8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8 ，CD⊥AB，求：①sin∠ACD 的值；②tan∠BCD的值 C

BDA

9.如图 ，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至1米．参考数据：sin32○○

≈0．5299，cos32≈0．8480）

10.某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米）

四：【课后小结】

解直角三角形应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 直角三角形边角关系．

222 （1）三边关系：勾股定理：abc

（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系tanA=

ab，sinA=

ac,cosA=

bc，

112

2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；

（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； （3）已知两边解直角三角形．

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

（二）：【课前练习】

1.如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为山则重叠部分的面积为（ ） A.1sina ; B.1cosa; C.sina; D.1

2.如上图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽为3

米，路基高为4米，则路基的下底宽是（ ） A．15米 B．12米 C．9米 D．7米

3.我市东坡中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部12米行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角为45°，若他的双眼离地面1．3米，则旗杆高度为_________米。

4.太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时，测得大树在地面上的影长为10米，则大树的高为_________米．

5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米 处的C点（AC⊥BA）测得∠A＝50°，则A、B间的距离应为（ ） A．15sin50°米；B.15cos50°米；C.15tan50°米；D.

15tan500米

二：【经典考题剖析】

1.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．

2. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处(C与塔底B在同一水平线上)，用高1.4米的测角仪CD测得塔项A的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到0.1米).（参考数据：tan43°≈0.9325,cot43°≈1.0724） A

3.在一次实践活动中，某课题学习小且用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计如下方案如图①所示； （1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的角∠MCE＝α；

α （2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离A N＝m； D （3）量出测倾器的高度AC=h，根据上述测量数据，即可求出旗杆

C B 的高度MN．

如果测量工具不变，请你仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 ①在图②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）； ②写出你的设计方案．

4.已知如图，某同学站在自家的楼顶A处估测一底部不能直接到达的宝塔的高度（楼底与宝塔底部在同一水平线上），他在A处测得宝塔底部的俯角为30°，测得宝塔顶部的仰角为45°，测得点A到地面的距离为 18米，请你根据所测的数据求出宝塔的高．（精确到0．01米）

113

○

5.如图，一艘军舰以30海里／时的速度由南向北航行，在A处看灯塔S在军舰的北偏东30方向，半小时后航行到B处，看见灯塔S在军舰的东北方向，求灯塔S和B的距离.

三：【课后训练】

1.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与地面成α角，

房屋朝南的窗子高AB=h米，要在窗子外面上方安装一个水平挡 光板AC，使午间光线不能直接射人室内如图，那么挡光板AC的 宽度为=__________．

2.如图，河对岸有一滩AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α， 向塔前进s米到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为____米. 3.初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度如图，他们 离旗杆底部E点30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°， 已知测角仪器高AD=1．4米，则旗杆BE的高为_______米（精确 到0．1米）．

4.如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB 等于（ ）

A．6米 B．3米 C．23米 D．22米

5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．则sin∠ABD的值是（ ） 4334A. B. C. D.455 36.如图所示，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C 处，BC′交AD于E，

下列结论不一定成立的是（ ）

A.AD=BC′；B.∠EBD= ∠EDB；C.△ABE∽△CBD；D.sin∠ABE=

AEED

7.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向，如图，以航标C为圆心，120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

8.身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分），甲、乙、丙放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地平面的夹角分别为30 °，45°，60°，假设风筝线是拉直的）请你给三位同学打一下分数？

9.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，

114

tan37°≈0．75）

10.在一次暖气管道的铺设工作中，工程由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60°方向上有一所学校B，如图，占地是以 B为中心方圆 100m的圆形，当工程进行了200m后到达C处，此时B在C南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．

四：【课后小结】

115