一元一次方程的能力提升题目课讲解
能力提升类
例1 甲乙两地相距162千米，A、B两车分别从甲乙两地出发，A每小时行驶48千米，B每小时行驶36千米．
（1）如果两车同时开出，同向而行，A车在B车的后面，多少小时后A车追上B车 ? （2）如果B车先行驶1小时，两车同向而行，B车在前，A车在后，A车行驶多少小时能追上B车 ?
一点通：设x小时后A车追上B车，48x，36x表示x小时后两车各行驶的路程，找等量关系列方程。
解：（1）设x小时后A车追上B车，由题意，得： 48x－36x＝162， 解得 x＝13．
（2）设A行驶x小时能追上B，由题意，得：
48x－36－36x＝162， 解得：x＝16．
答：（1）13小时后A车追上B车．（2）A车行驶 16小时能追上B车．
点评：行程问题有三个基本量，分别是：路程，速度，时间，它们之间的关系是： 路程＝速度×时间；速度＝
例2 要加工300个零件，甲、乙二人一起加工2小时后，因乙另有任务，甲又单独加工了3小时完成任务．已知乙比甲每小时多加工3个．求甲、乙每小时各加工多少个零件?
一点通：题中含多少或倍数的数量关系时，设少的甲为x，同时用x+3表示乙，找等量关系列方程。
解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x＋3）个零件， 根据题意，得：
2x＋2（x＋3）＋3x＝300
解得 x＝42
答：甲每小时加工42个零件， 乙每小时加工45个零件．
点评：本题分别计算不同时间段甲、乙加工零件的数量，再计算总和。
例3 某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母），应如何分配加工螺栓、螺母的工人？
一点通：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2。设加工螺栓的人数为x人，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母的总数为24（100－x）个。 解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有 24(100x)218x, 解得 x40（人）
∴加工螺母的人数为 100－x＝100－40＝60（人）
12121212路程路程；时间＝． 时间速度答：应分配40人去加工螺栓，60人去加工螺母。 点评：此题重点是培养寻找等量关系的意识和能力。
综合运用类
例4 A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度原方向继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了
多少小时？
一点通：甲车从出发开始共行驶了x小时，同时用x的时间；依据行程问题的公式找等量关系列方程。
解：设甲车从出发开始共行驶了x小时，则乙车从出发开始共行驶了x根据题意，得： 72x＋48x5表示乙车从出发开始共行驶125小时． 125＝360＋100， 12解这个方程，得 72x＋48x－20＝460， 120x＝480， x＝4．
答：甲车从出发开始共行驶了4小时．
点评：行程问题是一元一次方程应用的重点题型，确定等量关系是列方程的依据。
例5 某工程，甲独做需要40天完成，乙独做需要30天完成，丙独做需要24天完成，甲、乙、丙合作3天后，乙、丙因事离开若干天，乙离开的天数比丙多3天，结果前后共用14天的时间将工程完成，问中途乙、丙各离开几天？
一点通：已知甲独做需40天完成这项工程，则甲每天的工作量是
1； 4011；丙的工作效率是．
2430解：设乙中途离开的天数为x，那么丙离开的天数为（x－3）．
同理，乙每天的工作量即工作效率是根据题意，得
111111x11(x3)131，
302440302440解这个方程，得
9＋12＋15＋33＋44－4x＋70－5x＝120，
x＝7．
所以 x－3＝7－3＝4．
答：中途乙离开7天，丙离开4天． 点评：工程问题常使用下列概念和公式： 工作效率＝
总工作量总工作量；工作时间＝．
工作时间工作效率
思维拓展类
例6 某服装个体户同时卖出两套服装，每套都以135元出售，按成本计算，其中一套盈利25%，另一套亏本25%。
（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a元，情况如何？
一点通：关键是把握等量关系：进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价。 解：（1）设第一套服装进价为x元，则x(125%)135， 解得x108，
设第二套服装进价为y元，则y(125%)135， 解得y180，
而(xy)2135(108180)213518。 所以该个体户赔了18元。
（2）仿（1）小题方法可得：
x(125%)a及y(125%)a，
44a， ya， 5342a40， 而(xy)2aaa2a5315 解得x 所以此时该个体户仍然是亏本。
点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系：
例7 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨的利润为1000元，经粗加工后销售每吨的利润为4500元，经精加工后销售每吨的利润为7500元，若当地一家公司有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：若对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；若对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种方式不能同时进行。受季节影响，该公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此该公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天内完成。 你认为选择哪种方案获利多？为什么？
一点通：本题题干较长，条件复杂，需要对每一个方案进行分析并计算。 解：方案一：15天粗加工16×15=240吨>140吨，总获利4500×140=630000元； 方案二：15天精加工6×15=90吨，总获利7500×90+1000×50=725000元； 方案三：x天精加工，15－x天粗加工， 所以6x+16（15－x）=140， 解得，x=10
总获利7500×60+4500×80=810000元 答：选择方案三获利多。
点评：方案类问题应先分别分析和计算每种方案，得出结果后再进行比较。
1. 题中含多少或倍数的数量关系时，设少的为x，同时也要用含x的代数式表示另一个未知量。
2. 几类不同问题的公式应掌握并熟练应用。
3. 列方程时左右两边的单位一定要统一，以免出现错误。
问题：一个人先沿水平道路前进，继而爬山到达山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了5小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是多少千米？
一点通：本题为典型的行程问题。路程，速度，时间三者之间的关系是： 路程＝速度×时间；速度＝
路程路程；时间＝．
速度时间解：设上山的路程为s，下山的路程也是s， 依题意，上山的时间为t1ss小时，下山的时间为t2小时，水平路上的时间为36sst35小时，
36总路程S总4（5）2s=20千米 答：此人所走的全程是20千米。
点评：本题中未知数的设法、等量关系的确定都值得推敲和总结。
ss36（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 某班同学到一养殖场参观，发现A养殖区母鸡与猪的头数共70，而腿数共196，那么A养殖区的母鸡比猪多（ ）。
A. 14只
B. 16只
C. 22只
D. 42只
2. 某老师开车从家到学校，每分钟行1.5km，某天回家时，速度提高到每分钟2km，结果提前5分钟到家，设原来从学校到家之间用x分钟，则列方程为（ ）
A. 1.5x2(x5) B. 1.5x2(x5)
C. 1.5(x5)2x
二、填空题
3. 小张有三种邮票共18枚，它们的数量之比为1：2：3，则最多的一种邮票有___________枚。
4. 一件工作，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成，若他们合做需________天完成。 5. 一条环形公路长18千米，甲沿公路骑车每分钟行550米，乙沿公路跑步每分钟跑250米，两人同时从同一起点向相反方向出发，经过x分钟两人相遇，列出方程为_____________。
D. 1.5(x5)2x
三、解答题
6. 把一个边长为25cm的正方形铁丝框重新围成长方形。 （1）使得该长方形的长比宽多14cm，此时的长宽各是多少？ （2）使得长方形的长比宽多8cm，此时长方形的面积是多少？
7. 某水池有一进水管和一放水管，若单独开进水管6小时可注满水池，若单独开放水管8小时可放完一池水，若同时开两水管，那么多少小时可注满水池的一半？
9. 一船在两码头间航行，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度。
9. 今有鸡兔同笼，上有头共30个，下有腿共96条，问鸡兔各几只？
10. 将内径分别为5cm和15cm ，高均为30cm的两个圆柱形容器注满水，再将水倒入内为径20cm，高为30cm的圆柱形容器中，水是否会溢出？
12. 一个两位数，个位与十位上的数字和为15，若把个位与十位的数字对调，则所得的新数比原数小27，求原两位数。
12. 上午7点20分，旅游者张某骑自行车从住地到火车站转乘某次列车，如果他每小时行驶10千米，火车开出时他离车站还有0.5米，如果每小时多行驶2千米，则在火车开出前15分钟到达车站，求住地到火车站的路程和火车开出的时间。
